Huy chương Fields 2010 và vật lý

Tôi (chắc nhiều bạn đọc khác cũng thế) hôm qua nóng lòng đón chờ thời điểm công bố huy chương Fields cho năm 2010. Tôi không chờ đợi có bất ngờ gì lớn, vì trên internet trước đó mọi tranh cãi đều quanh chủ đề “ngoài Ngô ra, ai sẽ được nữa”. Nhưng lúc trao giải vẫn là một khoảnh khắc hân hoan.

Sau đó đọc về những người khác được huy chương Fields, thì lại có một sự bất ngờ nho nhỏ: cả 4 huy chương Fields trao năm nay đều liên quan đến vật lý. Tôi đã viết về mối liên hệ giữa công trình của Ngô Bảo Châu và tính đối ngẫu điện từ trong một bài trước đây.  Smirnov thì làm về cơ sở của vật lý thống kê, Villani được giải vì công trình liên quan đến phương trình Boltzmann và sự suy giảm Landau trong plasma, còn Lindenstrauss có làm về quantum chaos.

Tôi không thạo về quantum chaos, nhưng có dịp nào đó tôi sẽ viết về phương trình Boltzmann và sự suy giảm Landau. Hôm nay tôi viết về một công trình  của Smirnov, từ quan điểm của một người làm vật lý. Công trình này Smirnov làm cùng với Duminil-Copin. Tôi phải nói ngay với các bạn là những điều tôi viết ra đây chỉ là dựa vào đọc (rất qua loa) những thông tinh trên website của ICM, không phải là do đọc những công trình nguyên thủy.

Công trình của Smirnov ta sẽ bàn ở đây là về “self-avoiding random walk on a hexagonal lattice”. Để giải thích kết quả này, ta sẽ dùng một mô hình vật lý như sau.

Giả sử ta có một phân tử polymer. Nhắc lại, phân tử polymer là một chuỗi các mắt xích ngắn. Ta giả sử tất cả các mắt xích đều là những đoạn thẳng có độ dài bằng 1. Tất cả các mắt xích đều nằm trên một mặt phẳng, và tất cả các góc giữa các cặp hai mắt xích liền nhau là 120 độ. Ngoài ra, polymer không được có đoạn nào khép kín. Ví dụ một cấu hình của polymer có 11 xích là như dưới đây:

nhưng có rất nhiều cách vẽ một polymer có 11 xích và thỏa mãn các điều kiện trên.

Giả sử số lượng mắt xích là , và số lượng cấu hình không tương đương của polymer là . Ta giả sử tất cả các cấu hình có năng lượng bằng nhau. Ta định nghĩa entropy của polymer là . Entropy trên một mắt xích là . Duminil-Copin và Smirnov chứng minh được là ở giới hạn (trong vật lý gọi là giới hạn nhiệt động học), entropy của trên một mắt xích tiến tới một giới hạn nhất định:

Bài toán trên gọi là self-avoiding random walk vì hình polymer giống như quỹ đạo một người say đi một cách ngẫu nhiên, cứ đi được 1 bước thì đổi hướng 60 độ sang trái hoặc sang phải, tất cả các bước đi đều bằng nhau, và bị giới hạn là không bao giờ quay về  những vị trí đã từng đi qua rồi.

Bài toán này được Pierre-Gilles de Gennes, một nhà vật lý Pháp, chứng minh là tương đương với bài toán tìm nhiệt độ Curie trong một mô hình của chất sắt từ. Chất sắt từ là chất mà tự nhiên tất cả các nguyên tử trong tinh thể đều có mômen từ hướng về một hướng. Lý do là  khi các mômen từ lân cận chỉ về một hướng thì năng lượng là cực tiểu. Khi ta nung một chất sắt từ lên nhiệt độ cao thì dao động nhiệt của các môment từ quay lung tung do chuyển động nhiệt, và từ tính bị mất đi hoàn toàn ở một nhiệt độ tới hạn nào đó. Nhiệt độ này gọi là nhiệt độ Curie. Ông de Gennes chỉ ra rằng số trên kia có liên quan chặt chẽ đến nhiệt độ Curie trong một mô hình của chất sắt từ. Ông de Gennes được giải thưởng Nobel về vật lý năm 1991. Sử dụng kết quả của de Gennes, các nhà vật lý tìm ra giá trị của từ lâu, nhưng không chứng minh chặt chẽ.

Trong trường hợp bài báo này của Smirnov và Duminil-Copin, vật lý đi trước khai phá, toán học đi sau và xây dựng lại cho chặt chẽ. Mối tương quan giữa vật lý và toán nhiều khi là như vậy.

Đoạn sau viết dành cho các bạn biết về vật lý thống kê:

Mô hình toán học mô tả chất sắt từ là mô hình spin, ở đó ta có một tinh thể, ở mỗi điểm trong tinh thể là một vectơ. Năng lượng của một cấu hình là tổng các năng lượng tương tác giữa 2 cặp spin. Năng lượng tương tác thì bằng âm của tích vô hướng của hai spin:

Mô hình này được gọi là mô hình O(n), n là số chiều của vectơ . Bình thường nhưng về nguyên tắc n có thể là số bất kỳ. de Gennes chứng minh được rằng con số trên kia chính là nghịch đảo của nhiệt độ Curie trong mô hình spin O(n), trong giới hạn (và trong trường hợp này là lưới lục giác hai chiều).

Sau đó, Nienhuis trong một bài báo viết năm 1982, dùng các lý luận vật lý đưa tìm ra kết quả chính xác cho nhiệt độ Curie trong mô hình O(n) trên lưới lục giác,

Thay ta tìm được kết quả nói trên. Nhưng Duminil-Copin và Smirnov có vẻ là những người đầu tiên chứng minh được công thức này một cách chặt chẽ toán học.

Viết thêm ngày 22/8: Bài toán sau đây là một bài rất khó. Chứng minh rằng

tiến tới một giá trị hữu hạn khi . Đây là một mệnh đề các nhà vật lý tin là đúng.