Category Archives: Math

Công thức Euler-Maclaurin

Công thức Euler-Maclaurin

f(0) + f(1) + f(2) + \cdots = \displaystyle{\int\limits_0^\infty\!dx\, f(x)} + \frac12 f(0) - \frac{f'(0)}{12} + \frac{f'''(0)}{720} + \cdots

rất hay được sử dụng trong vật lý, ví dụ trong bài toán về nghịch từ Landau, hay hiệu ứng Casimir. Hôm trước tôi có học mót được từ một người bạn cách chứng minh như sau.

Ta bắt đầu từ khai triển Taylor:

f (x+a) = f(x) + a \displaystyle{\frac{d f(x)}{d x}} + \frac{a^2}{2!} \frac{d^2 f(x)}{d x^2} + \frac{a^3}{3!} \frac{d^3 f(x)}{d x^3} + \cdots

Để cho tiện ta ký hiệu \mathrm{d}=d/dx. Ta có thể viết công thức trên như sau:

f (x+a) = \left(1+ a\mathrm{d}+ \displaystyle{\frac{(a\mathrm{d})^2}{2!}} +\cdots \right)f(x) = e^{a \mathrm{d}} f(x)

đo đó

f(0) + f(1) + f(2) + \cdots = (1+ e^{\mathrm{d}} + e^{2\mathrm{d}} + e^{3\mathrm{d}}+\cdots) f(x)|_{x=0}

Lấy tổng cấp số nhân trong ngoặc ta nhận được

f(0) + f(1) + f(2) + \cdots = \displaystyle{\frac1{1- e^{\mathrm{d}}}} f(x)|_{x=0}

Bây giờ ta lại khai triển hàm số (1-e^{\mathrm{d}})^{-1} thành chuỗi Taylor theo \mathrm{d}. Ta nhận được

\left(-\mathrm{d}^{-1}  + \displaystyle{\frac12} - \frac{\mathrm{d}}{12} + \frac{\mathrm{d}^3}{720} + \cdots\right) f(x)|_{x=0}

Bây giờ ta phải xác định \mathrm{d}^{-1} là gì. Nếu \mathrm{d} là đạo hàm thì tất nhiên \mathrm{d}^{-1} phải là tích phân. Giới hạn trên của tích phân thì theo công thức trên phải là 0, giới hạn dưới thì cứ lấy đại +\infty,

\mathrm{d}^{-1} = \displaystyle{\int\limits^0_{+\infty}\!dx}

Và như thế ta nhận được công thức Euler-MacLaurin ở trên.

Bài tập: tìm khai triển của

f\left(\displaystyle{\frac12}\right) + f\left(\displaystyle{\frac32}\right) + f\left(\displaystyle{\frac 52}\right) +\cdots - \displaystyle{\int\limits_0^\infty\!dx\, f(x)}

qua các đạo hàm của hàm số f(x) tại x=0.

Trả tiền nhuận bút

Một tờ tạp chí quy định trả tiền nhuận bút theo số trang. Bài dài n trang được trả

1+\displaystyle{\frac12}+\displaystyle{\frac13}+\cdots+\displaystyle{\frac1n}

đồng.

Bạn Tèo có một bài báo dài 1/2 trang được đăng. Hỏi toà soạn phải trả bạn bao nhiêu tiền?

Không phải cái gì máy tính cũng làm đuợc

Đây là chứng minh:

Chứng minh công thức Euler cho đa diện bằng vật lý

Giải Nobel vật lý năm nay được trao cho ba nhà vật lý, Thouless, Haldane và Kosterlitz, vì những đóng góp liên quan đến các chuyển pha và các trạng thái tôpô. Nhân dịp này chúng ta sẽ dùng vật lý để chứng minh một công thức khá nổi tiếng, liên quan đến tôpô – công thức Euler cho đa diện. Công thức này nói rằng với một đa diện bất kỳ, số đỉnh V, số mặt F và số cạnh E của nó thoả mãn

V + F – E = 2.

Ví dụ với hình lập phương ta có V = 8, F = 6, E = 12, và 8 + 6 – 12 = 2. Bạn có thể kiểm tra với một vài hình đa diện nữa để thấy công thức luôn đúng.

Để chứng minh công thức này, ta sẽ lắp một mạch điện theo hình đa diện, thay mỗi cạnh của đa diện bằng một điện trở. Không quan trọng lắm các giá trị của điện trở là bao nhiêu, miễn là tất cả các điện trở đều khác không. Để cho đơn giản ta cho mỗi điện trở là 1 Ω. Sau đó ta chọn hai đỉnh và nối hai cực của một nguồn điện vào hai đỉnh đó, cũng không quan trọng lắm là đỉnh nào. Chẳng hạn với hình lập phương ta có thể tưởng tượng ra mạch điện như sau:

Khi ta nối một mạch điện như vậy, tất nhiên điện sẽ chạy trong mạch một cách nhất định. Ta có thể đặt nhiều câu hỏi với mạch điện này. Ví dụ ta có thể hỏi điện trở của mạch là bao nhiêu. Câu hỏi tôi sẽ hỏi là như sau: giả sử tổng dòng điện chạy qua mạch là 1 Amper, dòng điện chạy qua từng điện trở là bao nhiêu? (Tất nhiên là nếu trả lời được câu hỏi này thì có thể tìm ra được điện trở của mạch).

Để trả lời câu hỏi trên, ta sẽ lập một hệ phương trình cho phép ta tìm được dòng điện chảy qua từng điện trở. Giả sử AB là một cạnh, ta ký hiệu IAB là dòng điện chạy từ đỉnh A đến đỉnh B. Ta có IAB = –IBA, và có tổng cộng E đại lượng này. Ta sẽ lập một hệ phương trình để tìm giá trị của các dòng điện này.

Có hai loại phương trình, xuất phát từ hai định luật Kirchhoff. Loại đầu tiên là như sau. Giả sử A là một đỉnh, và B, C, D… là các đỉnh kề A. Ta có phương trình:

IAB + IAC + IAD + … = 0 hoặc 1 hoặc –1.

Vế phải là 0 nếu như đỉnh A không phải một trong hai đỉnh nối vào nguồn điện, là 1 nếu A được nối vào cực dương và –1 nếu A nối vào cực âm. Đơn giản phương trình này nói dòng điện chạy vào một đỉnh phải bằng dòng chạy ra từ đó.

Ta có tổng cộng bao nhiêu phương trình như thế này? Đếm thì thấy tổng cộng là V phương trình, nhưng thực ra chúng không độc lập với nhau. Có thể thấy điều này bằng cách lấy tổng tất cả các phương trình trên. Ta sẽ được đồng nhất thức 0 = 0, vì ở vế trái với mỗi IAB bao giờ cũng có IBA. Vế phải thì tất nhiên tổng là 1 + (–1) cộng nhiều số 0, cũng bằng không. Như vậy chỉ có V – 1 phương trình độc lập.

Nhưng những phương trình trên không phải tất cả các phương trình ta phải viết ra. Có một loạt các phương trình khác (phương trình loại hai). Ta giả sử ABCD là một mặt (ta cho nó là tứ giác ở đây nhưng logic tiếp theo đúng với mọi đa giác). Ta sẽ có phương trình

IAB + IBC + ICD + IDA = 0.

Tại sao có phương trình này? Đó là do điện trở trên mỗi cạnh là 1 Ω nên IAB cũng là hiệu điện thế giữa hai đỉnh AB: IAB = UA – UB. Từ đó phương trình ở trên trở thành hiển nhiên. Tổng cộng có F phương trình như vậy. Tuy nhiên các phương trình này cũng không độc lập, nếu cộng tất cả các phương trình này lại ta lại có đồng nhất thức 0 = 0, do đó là chỉ có F – 1 phương trình loại hai.

Tổng cộng ta có như vậy là (V – 1) + (F – 1) = V + F – 2 phương trình.

Ta phải giải các phương trình này để tìm các dòng IAB. Có bao nhiêu ẩn số tất cả? Số ẩn là số cạnh E.

Thiên nhiên cho ta biết khi nối mạch điện thì chỉ có một nghiệm duy nhất, vậy số phương trình phải bằng số ẩn.

Do đó V + F – 2 = E.

Đây chính là công thức Euler phải chứng minh.

Tầm quan trọng của việc học ngoại ngữ

Tôi vẫn nhớ một câu thơ của Mayakovsky mà tôi đọc được từ rất lâu khi đang học tiếng Nga, dịch ra đại khái như sau (xin lỗi là dịch không vần):

Kể cả nếu tôi là người da đen cao tuổi
tôi cũng sẽ không chán nản lười biếng
học tiếng Nga chỉ vì đó là tiếng nói của Lênin

Trên thực thế, tôi không biết người nào (tất cả các màu da và tuổi tác) mà học tiếng Nga chỉ vì đó là tiếng nói của Lênin. Tuy vậy gần đây tôi đọc được một câu chuyện làm tôi nhớ tới câu thơ của Mayakovsky. Câu chuyện được nhà toán học Vladimir Voevodsky kể lại:

Năm 1984, Alexander Grothendieck nộp cho CNRS một đề án có tên là “Esquisse d’un Programme”. Ngay sau đó giới toán học bắt đầu chuyền tay nhau các bản sao của đề án này.

Vài tháng sau đó, thầy hướng dẫn khoa học đầu tiên của tôi, ông George Shabat, đưa đề án này cho tôi đọc. Lúc đó tôi là sinh viên năm thứ nhất trường Đại học Tổng hợp Mátxcơva.

Sau khi học một ít tiếng Pháp với mục tiêu duy nhất là để đọc được tài liệu này, tôi bắt đầu triển khai một số ý tưởng mà Grothendieck phác thảo trong đó…”

18 năm sau khi bắt đầu học tiếng Pháp, Voevodsky được huy chương Fields.

Đồng chí trượt môn toán rồi, đồng chí Einstein ơi !

Nhân dịp 7 tháng 11, tôi xin giới thiệu với các bạn cuốn sách “You failed your math test, comrade Einstein” của Mikhail Shifman biên soạn.

Ở Liên Xô trước đây nhiều trường đại học có chính sách bất thành văn hạn chế số lượng sinh viên gốc Do Thái. Do vậy, lúc thi miệng (kỳ thi tuyển vào các trường đại học ở Nga thường có thi miệng) các thí sinh gốc Do Thái hay bị hỏi những bài toán rất khó, để có cớ cho người ta đánh trượt. (Một câu chuyện như vậy cũng được Edward Frenkel kể lại trong cuốn sách “Love and Math” của mình.)

Cuốn sách là tổng hợp các bài toán này, trong đó có nhiều bài toán hay và khó. Ví dụ có một bài toán là như sau: Một tứ giác (ghềnh) có cả bốn cạnh đều tiếp xúc với một mặt cầu. Chứng minh rằng bốn điểm tiếp xúc nằm trên một mặt phẳng.

Các Mác học toán

Trong lời giới thiệu bản năm 1885 của cuốn “Chống Duhrinh” Ăng-ghen có viết:

Nhưng từ khi Các Mác qua đời, thời giờ của tôi phải ngừng công việc nghiên cứu của tôi lại. Lúc bấy giờ tôi đành tạm bằng lòng với những phác thảo đã đưa ra trong sách này và đợi sau này có dịp thì sẽ tập hợp và công bố những kết quả đã thu nhận được, có thể là cùng một lúc với những bản thảo toán học rất quan trọng do Mác để lại.

Đoạn tôi nhấn mạnh bằng chữ đậm ở trên liên quan đến một điều chắc ít ai biết: Các Mác lúc về già bỏ rất nhiều thời gian học toán, chủ yếu là môn giải tích. Có lẽ Mác cảm thấy cần thêm công cụ toán học để nghiên cứu kinh tế. Các ghi chép của Mác về toán cuối cùng phải đợi gần 50 năm sau khi Ăng-ghen viết những lời trên mới được công bố. Có thể đọc những ghi chép này (đã dịch sang tiếng Anh) ở đây:

http://www.marxists.org/archive/marx/works/1881/mathematical-manuscripts/

Đây là một trang trong bản thảo “On the Differential”

Rõ ràng Các Mác biết tính đạo hàm hàm số x^m.

Đọc qua bản thảo thì có lẽ không có kiến thức gì mới, và có lẽ cũng không có gì mới so với những gì người ta biết thời đó. Nhưng một người đã ở tuổi ngoài 50 mà chăm chỉ học toán như vậy có lẽ cũng là hiếm.