Category Archives: Problems

Công thức Hardy-Ramanujan qua mô hình chất rắn Debye

Bạn nào đã xem cuốn phim The Man Who Knew Infinity chắc sẽ nhớ một công thức đóng vai trò rất quan trọng trong phim: công thức về hàm phân hoặch số nguyên, được Hardy và Ramanujan tìm ra năm 1918. Hàm phân hoạch p(n) định nghĩa rất đơn giản. Lấy ví dụ số 4; số này có thể biểu diễn bằng 5 cách khác nhau thành tổng các số nguyên:

4 = 4
4 = 3 + 1
4 = 2 + 2
4 = 2 + 1 + 1
4 = 1 + 1 + 1 + 1

Như vậy p(4) = 5. Tương tự p(5) = 7, p(10) = 42. Nhưng khi n tăng cao thì p(n) tăng lên rất nhanh, ví dụ, p(200) = 3.972.999.029.388. Trong phim MacMahon tính con số này bằng tay, không rõ bằng phương pháp nào. Hardy và Ramanujan tìm ra công thức cho tiệm cận của p(n) với n lớn,

p(n) \approx \displaystyle{\frac1{4n\sqrt3}}\exp\left(\pi\sqrt{\frac{2n}3}\right)

Nếu ta thay n = 200 vào công thức này thì ta sẽ tìm được p(200) = 4,10 × 1012, sai số 3.2% so với kế quả chính xác. n càng lớn thì sai số này càng bé.

Một cảnh trong phim

Có vẻ phương pháp mà Hardy và Ramanujan dùng để tìm được công thức này khá phức tạp. Trong bài này chúng ta sẽ dùng vật lý để tiếp cận công thức Hardy-Ramanujan. Tìm được toàn bộ tiệm cận của p(n) thì hơi khó, ta sẽ chỉ nhắm vào phần quan trọng nhất, phần exp thôi. Nói cách khác, chúng ta sẽ chứng minh:

\ln p(n) \approx \pi\sqrt{\displaystyle{\frac{2n}3}}

Để tìm được công thức này, chúng ta sẽ dùng một cách tiếp cận không chính quy. Ta sẽ dùng mô hình Debye của nhiệt dung của chất rắn. Công trình này của Debye được viết năm 1912, vài năm trước khi Hardy và Ramanujan công bố công thức cho p(n). Có lẽ Hardy và Ramanujan không biết về công trình của Debye.

Trước Debye người ta đã biết định luật Petit-Dulon, theo đó nhiện dung của một khối chất rắn là một hằng số không phụ thuộc vào nhiệt độ. Tuy nhiên thí nghiệm cho thấy định luật Petit-Dulon chỉ đúng ở nhiệt độ đủ cao, định luật này bị vi phạm ở nhiệt độ thấp. Einstein là người đầu tiên chỉ ra mối liên hệ giữa sự vi phạm định luật Petit-Dulon với cơ học lượng tử. Trong mô hình của Einstein, nhiệt dung là hằng số nếu nhiệt độ cao nhưng tiến tới 0 khi nhiệt độ giảm tới 0. Tuy nhiên trong mô hình của Einstein nhiệt dung tiến tới 0 nhanh hơn so với đo được trong thực nghiệm. Năm 1912 Debye đưa ra mô hình giải thích được sự biến thiên của nhiệt dung của chất rắn. Cách tiếp cận của Debye hết sức mới mẻ. Debye không nhìn chất rắn như một tập hợp các nguyên tử, ông nhìn chất rắn là một khí tạo ra bởi các hạt phonon – lượng tử của sóng âm thanh. Trong mô hình Debye, các nguyên tử chỉ là cái nền cho các hạt phonon lan truyển.

Để liên hệ với công thức Hardy-Ramanujan ta chỉ cần xem xét một chất rắn 1 chiều. Để dễ tưởng tượng, ta sẽ xét một chiếc dây đàn, căng giữa hai điểm A và B. Ta chọn trục x của hệ toạ độ chạy theo đường thẳng nối hai điểm A và B. Nếu độ dài dây đàn là L thì tại A ta chọn x = 0, tại B x = L.

Khi ta gẩy đàn sẽ có sóng lan truyền trên dây đàn. Sóng này coi như là âm thanh trong môi trường một chiều. Để cho đơn giản ta giả sử dây đàn chỉ dao động theo chiều y. Trạng thái của dây đàn tại một thời điểm nào đó được mô tả bới hàm y = y(x). Giả sử vận tốc lan truyền của sóng là v. Do hai đầu dây đàn bị đóng cứng, sóng trên dây đàn phải là sóng đứng, và biên độ của sóng biến thiên theo toạ độ và thời gian theo công thức

y = \sum\limits_{k=1}^\infty A_k\cos(k\omega_1 t + \alpha_k) \sin\left( \displaystyle{k \frac{\pi x}L}\right)

Trong công thức trên \omega_1 là tần số cơ bản của dao động của dây đàn,

\omega_1 = \displaystyle{\frac {\pi v}L}

và các hoạ ba (harmonic) cao hơn có tần số \omega_k=k\omega_1 với k=2,3,\ldots.

Bây giờ ta lượng tử hoá cái dây đàn. Mỗi tần số \omega_k nay tương đương với một dao động tử điều hoà, và dây đàn là một tổ hợp các dao động tử điểu hoà với tần số \omega_1, \omega_2, v.v. Các mức năng lượng của dao động tử điều hoà với tần số \omega\hbar\omega(n+\frac12). Như vậy để mô tả trạng thái lượng tử của dây đàn, ta cần một số vô hạn các số lượng tử n_1, n_2,\ldots n_k,\ldots trong đó n_k là số lượng tử của dao động tử với tần số \omega_k=k\omega_1. Như vậy

E = E_0 + \sum\limits_{k=1}^\infty \hbar k \omega_1 n_k

trong đó E_0 là năng lượng của trạng thái cơ bản. Để đơn giản từ nay ta sẽ đo năng lượng của dây đàn từ E_0, tức là cho E_0=0.

Bây giờ có thể nhận ra một điều như sau:

Có p(n) trạng thái lượng tử của dây đàn với năng lượng n\hbar\omega_1

Đây chính là điểm liên hệ giữa vật lý và công thức Hardy-Ramanujan. Nghĩ một lúc các bạn sẽ thấy điều này hầu như là hiển nhiên. Ví dụ ở mức năng lượng 4\hbar\omega_1 có năm trạng thái:

n_4=1; n_k=0, k\neq4
n_3=n_1=1; n_k=0, k\neq 1,3
n_2=2; n_k=0, k\neq 2
n_2=1, n_1=2; n_k=0, k\neq 1,2
n_1=4; n_k=0, k\neq 1.

Khi đã biết số trạng thái có năng lượng n\hbar\omega_1 bằng p(n), ta kết luận \ln p(n) chính là entropy khi năng lượng bằng n\hbar\omega_1, theo định nghĩa của entropy qua tập thống kê vi chính tắc (microcanonical ensenble).

Nhưng trong vật lý thống kê, ta có thể dùng tập thống kê chính tắc (canonical ensemble) để tính entropy của dây đàn, thay vì dùng vi chính tắc. Bình thường tính toán dùng tập thống kê chính tắc bao giờ cũng đơn giản hơn là dụng tập vi chính tắc.

Một điểm làm đơn giản bài toán là khi nhiệt độ lớn hơn tần số dao động cơ bản, ta có thể bỏ qua hiệu ứng bề mặt của hai đầu dây đàn. Bây giờ dây đàn có thể coi là một chất khí phonon một chiều. Bài toán như vậy được đưa về dạng một chiều của bài toán mà Debye đã giải quyết năm 1912 khi ông tính được nhiệt dung của chất rắn ở nhiệt độ thấp.

Bạn có thể làm tiếp những tính toán còn lại nếu bạn nào đã học vật lý thống kê; coi như đây là bài tập cho bạn. Bạn có thể tính entropy trực tiếp, hoặc tính nhiệt dung rồi lấy tích phân để tìm entropy. Kết quả là mô hình Debye của chất rắn cho ta phần exponent của công thức Hardy-Ramanujan.

\ln p(n) \approx \pi\sqrt{\displaystyle{\frac{2n}3}}

Cách tiếp cận vật lý cho công thức Hardy-Ramanujan trên đây có trong cuốn B. Zwiebach, A First Course in String Theory.

Công thức Euler-Maclaurin

Công thức Euler-Maclaurin

f(0) + f(1) + f(2) + \cdots = \displaystyle{\int\limits_0^\infty\!dx\, f(x)} + \frac12 f(0) - \frac{f'(0)}{12} + \frac{f'''(0)}{720} + \cdots

rất hay được sử dụng trong vật lý, ví dụ trong bài toán về nghịch từ Landau, hay hiệu ứng Casimir. Hôm trước tôi có học mót được từ một người bạn cách chứng minh như sau.

Ta bắt đầu từ khai triển Taylor:

f (x+a) = f(x) + a \displaystyle{\frac{d f(x)}{d x}} + \frac{a^2}{2!} \frac{d^2 f(x)}{d x^2} + \frac{a^3}{3!} \frac{d^3 f(x)}{d x^3} + \cdots

Để cho tiện ta ký hiệu \mathrm{d}=d/dx. Ta có thể viết công thức trên như sau:

f (x+a) = \left(1+ a\mathrm{d}+ \displaystyle{\frac{(a\mathrm{d})^2}{2!}} +\cdots \right)f(x) = e^{a \mathrm{d}} f(x)

đo đó

f(0) + f(1) + f(2) + \cdots = (1+ e^{\mathrm{d}} + e^{2\mathrm{d}} + e^{3\mathrm{d}}+\cdots) f(x)|_{x=0}

Lấy tổng cấp số nhân trong ngoặc ta nhận được

f(0) + f(1) + f(2) + \cdots = \displaystyle{\frac1{1- e^{\mathrm{d}}}} f(x)|_{x=0}

Bây giờ ta lại khai triển hàm số (1-e^{\mathrm{d}})^{-1} thành chuỗi Taylor theo \mathrm{d}. Ta nhận được

\left(-\mathrm{d}^{-1}  + \displaystyle{\frac12} - \frac{\mathrm{d}}{12} + \frac{\mathrm{d}^3}{720} + \cdots\right) f(x)|_{x=0}

Bây giờ ta phải xác định \mathrm{d}^{-1} là gì. Nếu \mathrm{d} là đạo hàm thì tất nhiên \mathrm{d}^{-1} phải là tích phân. Giới hạn trên của tích phân thì theo công thức trên phải là 0, giới hạn dưới thì cứ lấy đại +\infty,

\mathrm{d}^{-1} = \displaystyle{\int\limits^0_{+\infty}\!dx}

Và như thế ta nhận được công thức Euler-MacLaurin ở trên.

Bài tập: tìm khai triển của

f\left(\displaystyle{\frac12}\right) + f\left(\displaystyle{\frac32}\right) + f\left(\displaystyle{\frac 52}\right) +\cdots - \displaystyle{\int\limits_0^\infty\!dx\, f(x)}

qua các đạo hàm của hàm số f(x) tại x=0.

Trả tiền nhuận bút

Một tờ tạp chí quy định trả tiền nhuận bút theo số trang. Bài dài n trang được trả

1+\displaystyle{\frac12}+\displaystyle{\frac13}+\cdots+\displaystyle{\frac1n}

đồng.

Bạn Tèo có một bài báo dài 1/2 trang được đăng. Hỏi toà soạn phải trả bạn bao nhiêu tiền?

Tổng Ramanujan

Có một công thức thường được gắn với tên Ramanujan:

1+2+3+4+\cdots = - \displaystyle{\frac1{12}}

Về mặt toán học công thức này có vẻ không thể nào đúng, nhưng trong vật lý công thức này rất nổi tiếng. Nó liên quan đến lực Casimir và xuất hiện nhiều trong lý thuyết dây. Bình thường công thức này có thể giải thích được qua hàm zeta Riemann: \zeta(-1)=-\frac1{12}. Tuy nhiên ta có thể “chứng minh” nó chỉ dùng toán sơ cấp. Các bạn có thể xem video

Bài tập:

1+1+1+1+\cdots = ?

1 \times 2 \times 3\times 4\times \cdots = ?

Vận tốc âm thanh và vận tốc thoát ly

Để vượt ra ngoài trường hấp dẫn của của trái đất cần vận tốc 11 km/s (vận tốc thoát ly, còn gọi là “tốc độ vũ trụ cấp 2”). Vận tốc này lớn hơn nhiều vận tốc âm thanh trong không khí, 330 m/s.

Liệu trong vũ trụ có hành tinh nào mà ở đó tốc độ âm thanh (trong khí quyển của nó) lớn hơn vận tốc thoát ly ra khỏi hành tinh đó?

Lord Kelvin and the heat transfer problem

Lord Kelvin argued that life on Earth had to be younger than 100 millions years, the time it takes for heat from the center of the Earth to diffuse to its surface. For if the Earth’s surface had been cool enough for life for more than 100 millions years, its molten core would have long lost all its heat, and the Earth now would be too cold for volcanic activities. Lord Kelvin’s claim was later discredited by the discovery of radioactivity, but his treatment of the heat transfer problem is widely accepted as correct.

Diffusion of heat is essentially a Brownian motion, in which the distance traveled is proportional to the square root of time. If it takes 100 millions years for heat to travel the radius of the Earth, i.e., 6000 km, then it would take 100 years for heat to travel 6 km. Scaling down further, it would take 3000 seconds for heat to go 6 m, and only 0.3 seconds for 6 cm.

Then why do I have to cook an egg in boiling water for 6 minutes???

Luộc trứng

Trứng gà có kích thước khoảng 5 cm chiều dài, luộc 6 phút thì ăn được. Trứng đà điểu kích thước 15 cm chiều dài, hỏi luộc bao nhiêu phút thì ăn được?