Nhóm tái chuẩn hoá: một cuộc cách mạng về nhận thức

(Bài này tôi viết cho kỷ yếu Hạt Higgs và mô hình chuẩn, cuộc phiêu lưu kỳ thú của khoa học do Cao Chi, Chu Hảo, Pierre Darriulat, Nguyễn Xuân Xanh và Phạm Xuân Yêm chủ biên, NXB Tri Thức, 2014.)

Đôi khi trong các tác phẩm khoa học thường thức, những tiến bộ của vật lý trong thế kỷ 20 được mô tả như một cuộc khám phá các cấu trúc vật chất ở mức ngày càng bé. Từ cấu trúc nguyên tử, loài người tìm ra cấu trúc hạt nhân, rồi khám phá tiếp cấu trúc các hạt cơ bản. Theo câu chuyện này, việc khám phá ra hạt Higgs ở CERN vừa là bước cuối cùng trong cuộc chinh phục của loài người vào thế giới vi mô.

Tuy nhiên, một khía cạnh quan trọng hơn của vật lý thế kỷ 20 là sự khám phá ra các định luật mang tính chất phổ quát của tự nhiên. Các định luật này đôi khi có thể áp dụng được vào những hệ vật lý hết sức khác nhau, ví dụ như các quark và các nguyên tử trong chất lỏng. Điển hình của những khám phá loại này là sự khám phá ra và ứng dụng “nhóm tái chuẩn hoá”.

Câu chuyện về nhóm tái chuẩn hoá có hai phần. Phần đầu tiên liên quan đến lý thuyết “điện động học lượng tử”, lý thuyết đã mang lại cho Feynman, Schwinger và Tomonaga giải Nobel về vật lý. Lý thuyết này mô tả tương tác giữa các điện tử. Khoảng giữa những năm 50, người ta tìm ra rằng hằng số tương tác giữa các điện tử (“hằng số cấu trúc tinh tế”), không phải là hằng số. “Hằng số “này là khoảng 1/137 khi hai điện tử ở xa nhau, nhưng tăng dần lên khi hai điện tử vào gần nhau, càng gần thì hằng số tương tác càng cao. Nếu ta cứ cho khoảng cách giữa các điện tử ngày càng giảm đi thì sẽ đến một lúc hằng số tương tác trở thành vô cùng. Điều này được nhà vật lý Xô viết Lev Landau tìm ra khoảng năm 1955. Phương trình mô tả biến thiên của hằng số tương tác theo khoảng cách gọi là “phương trình nhóm tái chuẩn hoá”.

Nguồn gốc thứ hai của nhóm tái chuẩn hoá là một vấn đề hoàn toàn khác: vấn đề chuyển pha bậc hai. Chuyển pha bậc hai là gì thì cần giải thích một chút.

Một quá trình chuyển pha mà ai cũng biết xảy ra khi ta đun sôi một nồi nước: nước chuyển từ trạng thái lỏng sang trạng thái khí. Chất lỏng và khí khác nhau như thế nào thì hầu như ai cũng cảm thấy được: nước và hơi nước có mật độ rất khác nhau, nước đặc hơn hơi nước rất nhiều. Những chuyển pha như vậy gọi là chuyển pha bậc một.

Thế nhưng thế kỷ 19 người ta phát hiện ra rằng ranh rới giữa chất khí và chất lỏng có thể không rạch ròi như thế. Khi tăng áp suất lên thì đầu tiên ta vẫn có chuyển pha giữa lỏng và khí, nhưng chênh lệch mật độ giữa chất lỏng và chất khí ngày càng ít đi. Đến một áp suất nhất định thì hoàn toàn không còn sự khác nhau giữa lỏng và khí nữa (đối với nước áp suất này bằng 218 lần áp suất khí quyển). Tại áp suất này, chuyển pha bậc một biến thành chuyển pha bậc hai. (Ngược lại, sự khác nhau giữa thể rắn và các thể lỏng, khí không bao giờ biến mất).

Chuyển pha bậc hai không chỉ xảy ra giữa chất lỏng và chất khí. Pierre Curie, năm 1895, đã tìm ra nhiều chất sắt từ cũng đi qua chuyển pha bậc hai khi nhiệt độ thay đổi. Những chất này có tính nam châm ở nhiệt độ thấp và không còn là nam châm ở nhiệt độ cao. Nhiệt độ mà ở đó tính nam châm mất đi là nhiệt độ của một chuyển pha bậc hai.

Lý thuyết chuyển pha Landau

Lev Landau là người đầu tiên xây dựng một lý thuyết các chuyển pha. Theo Landau, mỗi chuyển pha đều được gắn liền với một khái niệm gọi là “tham số trật tự”. Trong trường hợp chuyển pha trong chất sắt từ thì tham số trật tự là độ nhiễm từ của chất sắt từ đó, còn trong trường hợp của nước, tham số trật tự là mật độ. Dựa vào khái niệm “tham số trật tự” này, trong những năm 1930, Landau đã xây dựng một lý thuyết mà ngày nay ta gọi là “lý thuyết chuyển pha Landau” – một lý thuyết trực giác, đơn giản đưa ra để giải quyết một vấn đề vật lý thực nghiệm nóng hổi, nhưng mang tính phổ quát cao.

Lý thuyết Landau giải thích tại sao lại phải có các chuyển pha. Tuy nhiên, một số chi tiết của lý thuyết này không phù hợp với thực nghiệm. Những chi tiết này liên quan đến sự biến thiên của tham số trật tự ở ngay xung quanh chuyển pha bậc hai. Tham số này gọi là beta, lý thuyết Landau tiên đoán giá trị của beta phải bằng 1/2. Tuy nhiên, thực nghiệm ngay từ đầu thế kỷ trước cho thấy beta không phải bằng 1/2, mà gần bằng 1/3 thì đúng hơn. Khác với giá trị 1/2 của Landau, không có một lý thuyết đơn giản nào cho giá trị beta bằng 1/3. Điều này làm cho nhiều người thấy những kết quả thực nghiệm khó có thể chấp nhận – có lẽ có một sự sai gì đó trong các thí nghiệm chăng?

Năm 1944, nhà vật lý Mỹ Onsager đưa ra lời giải chính xác cho một mô hình đơn giản của chất sắt từ – mô hình Ising hai chiều. Đây là một mô hình đơn giản nhất của chất sắt từ. Lời giản của Onsager cho thấy, beta trong mô hình hai chiều này bằng 1/8 – một con số khác rất nhiều so với con số 1/2 của Landau. Và như vậy đã có một bằng chứng không thể phủ nhận được là lý thuyết Landau về chuyển pha cần được thay đổi. Tuy nhiên, mọi cố gắng giải chính xác mô hình Ising ba chiều đều không thành công.

Cuộc cách mạng của Kenneth Wilson

Khoảng những năm 60, một chuỗi các khám phá trong vật lý thống kê đã dẫn đến lời giải cho bài toán về chuyển pha bậc hai. Điểm mấu chốt trong lời giải này là ta phải thay đổi cách nhìn vấn đề. Leo Kadanoff là người đầu tiên nhận thức được điều này. Ông cho rằng, để giải quyết vấn đề chuyển pha trong chất sắt từ, ta phải tưởng tượng là gộp 2 nguyên tử lại và thay nó bằng một nguyên tử đại diện. Tương tác giữa các nguyên tử đại diện này sẽ hơi khác so với tương tác giữa các nguyên tử ban đầu. Bước tiếp theo, ta lại thay 2 nguyên tử đại diện bằng một đại diện cấp cao hơn. Luật tương tác giữa các nguyên tử ở mức này cũng phải thay đổi một các tương xứng. Nói một cách nôm na, ta có thể tưởng tượng ra là ta tổ chức một tập hợp người ở mức xã, mức huyện, mức tỉnh, mức quốc gia, v.v., và có những luật riêng cho việc tương tác giữa các xã, giữa các huyện, giữa các tỉnh, v.v.

Bức tranh của Kadanoff như vậy có liên quan gì đến lý thuyết chuyển pha bậc hai? Đó là vì tại điểm chuyển pha, luật tương tác giữa các nguyên tử đại diện không thay đổi khi ta đi từ mức thấp lên mức cao hơn. Lấy ví dụ nôm na của ta ở trên, lúc đó luật mô tả sự giao tiếp giữa các xã giống hệt như luật mô tả giao tiếp giữa các huyện, và giống hệt luật mô tả sự tương tác giữa các tỉnh. Điều này chỉ xảy ra khi hệ vật lý nằm đúng ở điểm chuyển pha bậc 2 mà thôi.

Kenneth Wilson nhận ra mô tả sự biến thiên của các đại lượng vật lý khi ta đi từ cấp dưới lên cấp trên chính là phương trình nhóm tái chuẩn hoá của lý thuyết trường, và các chuyển pha bậc hai là những nghiệm đặc biệt của phương trình này (gọi là “điểm cố định”). Và Wilson cùng với nhiều người khác đã ứng dụng thành công lý thuyết trường vào việc mô tả các chuyển pha bậc hai. Sau công trình của Wilson, có thể nói ta đã hiểu được bản chất của các chuyển pha.

Lý thuyết nhóm tái chuẩn hoá mới đã dẫn đến một cuộc cách mạng về nhận thức về vai trò của lý thuyết trường trong vật lý hiện đại. Lý thuyết trường, từ lý thuyết mô tả các hạt cơ bản, trở thành một lý thuyết vạn năng có khả năng mô tả cả các hiện tượng trong nhiều hệ vật lý khác nhau, kể cả những hệ không liên quan gì đến vật lý hạt cơ bản mà thuộc về vật lý chất rắn, chất lỏng.

Nhóm tái chuẩn hoá đã làm dừng lại xu thế ly tâm giữa các ngành vật lý. Trước đó, các nhà vật lý lý thuyết hạt cơ bản không có lý do gì để nói chuyện chuyên môn với các đồng nghiệp của mình trong lý thuyết chất rắn. Điều này gây ra nhiều sự mâu thuẫn trong ngành vật lý. Sau khi nhóm tái chuẩn hoá được ứng dụng vào lý thuyết chuyển pha, vật lý lý thuyết lại trở nên một thể thống nhất: các công cụ ở một ngành vật lý có thể được ứng dụng vào một ngành khác.

Lời kết

Lý thuyết Landau-Wilson đóng vai trò trung tâm trong bức tranh về các chuyển pha. Tuy nhiên, từ cuối thế kỷ 20 – đầu thế kỷ 21, ngày càng có nhiều những chuyển pha có vẻ không thể mô tả được bằng lý thuyết này. Đây là những chuyển pha mà khái niệm “thông số trật tự” do Landau đưa ra vào những năm 30 của thế kỷ trước không tồn tại.

Một trong những chuyển pha hiện đang được nghiên cứu rất mạnh là các chuyển pha tô-pô. Đây là chuyển pha giữa các trạng thái có tính chất tô-pô khác nhau. Nôm na ra, đó là chuyển pha từ cái cốc không quai sang cái cốc có quai. Liệu những nghiên cứu này đã dần dần đưa đến một sự thay đổi về nhận thức trong vật lý chất rắn. Một lần nữa lý thuyết trường – lần này là một dạng lý thuyết trường gọi là “lý thuyết trường tô-pô” – có thể là ngôn ngữ cần dùng để mô tả những trạng thái mới của vật chất, thường được gọi là các trạng thái tô-pô.

Liệu những nghiên cứu này có dẫn đến những đột phá về kỹ thuật hay không? Nhiều người đặt hy vọng là những trạng thái tô-pô sẽ giúp chúng ta làm ra máy tính lượng tử. Nhưng đây là chủ đề của một bài khác.

Advertisement

Huy chương Dirac của ICTP năm 2018

Tôi cảm thấy rất vinh dự là một trong ba người được Trung tâm Vật lý lý thuyết quốc tế (ICTP) trao huy chương Dirac năm 2018. Tôi rất vui là cùng nhận giải với tôi là hai người đồng nghiệp tôi rất kính trọng, Subir Sachdev và Xiao-Gang Wen. Giải thưởng còn có ý nghĩa đặc biệt với tôi vì ICTP là một tổ chức đã giúp nhiều nhà khoa học từ các nước đang phát triển, trong đó có Việt Nam, tiếp xúc với cộng đồng khoa học quốc tế.

Tôi muốn nhân dịp này bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với các thầy cô, và chân thành cảm ơn đồng nghiệp, bạn bè, người thân đã tin, ủng hộ và giúp đỡ tôi suốt những năm qua.

Tôi cũng muốn chia sẻ đôi chút về công việc của mình. Thời gian sắp tới, cùng với đồng nghiệp và học trò, tôi sẽ tiếp tục tiến hành nghiên cứu các hiện tượng lượng tử trong các hệ nhiều hạt, đặc biết là các hệ tương tác mạnh. Bài toán về tương tác mạnh trong vật lý nhiều hạt là một bài toán khó và quan trọng đối với nhiều lĩnh vực, trong đó có vật lý hạt nhân và khoa học vật liệu. Rất nhiều khả năng là những phương pháp ta dùng hiện nay, bao gồm những phương pháp đối ngẫu mà tôi tham gia phát triển, sẽ chỉ là một phần nhỏ của những công cụ người ta sử dụng trong tương lai.

Về lâu dài, tôi muốn tìm tòi học hỏi về các lĩnh vực khác nhau của vật lý và khoa học nói chung, không nhất thiết liên quan trực tiếp đến những đề tài hiện nay tôi đang nghiên cứu.

Và cuối cùng, không thể không nhắc đến mối quan tâm lớn của tôi là sự phát triển của ngành Vật lý Việt Nam. Tôi đang cùng đồng nghiệp trong và ngoài nước bàn bạc, tìm cách cải thiện ngành vật lý Việt Nam hiện nay. Chúng ta có tiềm năng, và tôi tin rằng tương lai của ngành vật lý ở Việt Nam sẽ rất xán lạn nếu chúng ta có một chính sách đúng đắn nhằm thu hút được những tài năng trẻ và tạo điều kiện cho họ phát triển tài năng của mình. Tôi rất mong có được sự ủng hộ thiết thực từ phía nhà nước để sớm ra được một chính sách như vậy.

Thừa giấy vẽ voi

Có một bài viết hay của Freeman Dyson, “A meeting with Enrico Fermi. How one intuitive physicist rescued a team from fruitless research“, kể lại một sự kiện rất quan trọng trong cuộc đời của ông. Dyson kể lại rằng sau khi giải quyết xong vấn đề tương tác điện từ, ông bắt đầu nghiên cứu tương tác mạnh (lực hạt nhân). Năm 1953, ông cùng một số học trò rất say sưa với một lý thuyết tương tác mạnh, mô tả tương tác giữa proton, neutron và hạt pion gọi là “pseudoscalar meson theory”. Những tính toán của nhóm ông cho ra kết quả gần với kết quả thí nghiệm của Fermi. Ông ta rất tự hào với kết quả của mình và hẹn gặp Fermi để trình bày kết quả. Ông lên xe bus đi từ Ithaca, NY đến Chicago. Câu chuyện tiếp theo như sau (bản dịch của Nguyễn Đình Đăng):

Khi tới văn phòng của Fermi, tôi trao các đồ thị cho Fermi, nhưng ông hầu như không thèm nhìn chúng. Ông mời tôi ngồi, thân thiện hỏi thăm sức khỏe vợ tôi và con trai mới sinh của chúng tôi, hiện nay 50 tuổi. Rồi, với giọng nhẹ nhàng và đều, ông ra phán quyết, “Có hai cách tính toán trong vật lý lý thuyết,” ông nói. “Một cách, là cách tôi thích hơn, đó là có một bức tranh vật lý rõ ràng về quá trình anh tính toán. Cách kia là có một hình thức luận toán học chính xác và nhất quán. Anh chẳng có bất kỳ cách nào cả.” Tôi hơi choáng, nhưng đánh bạo hỏi ông vì sao ông không coi lý thuyết meson giả vô hướng (pseudoscalar meson theory) là một hình thức luận toán học nhất quán. Ông trả lời, “Điện động lực học lượng tử là một lý thuyết tốt vì các lực yếu, và khi hình thức luận còn mơ hồ, chúng ta có một bức tranh vật lý rõ ràng dẫn dắt chúng ta. Với lý thuyết meson giả vô hướng thì không có bức tranh vật lý nào cả, còn các lực thì quá mạnh đến nỗi chẳng có gì hội tụ được. Để đạt được kết quả tính toán, anh đã phải đưa vào một quy trình cắt bớt tùy tiện chẳng dựa trên cơ sở vật lý hay toán học chắc chắn nào cả.”

Tuyệt vọng, tôi hỏi liệu Fermi có ấn tượng với việc các con số tính toán của chúng tôi phù hợp với các con số mà ông đã đo được hay không. Ông trả lời, “Anh đã dùng bao nhiêu tham số tự do trong các tính toán của anh?” Tôi nghĩ một thoáng về quy trình cắt bớt của chúng tôi rồi nói, “Bốn.” Ông nói, “Tôi nhớ ông bạn Johnny von Neumann của tôi từng nói, với bốn tham số tôi có thể mô tả được con voi, còn với năm tham số tôi có thể làm nó ngọ nguậy cái vòi.”

Fermi cuối cùng đã đúng. Phải 20 năm sau đó người ta mới tìm được lý thuyết đúng đắn của tương tác mạnh, “sắc động học lượng tử”, mô tả tương tác giữa các quark. Các hạn như proton, neutron, pion đều làm từ quark. Trong lý thuyết meson giả vô hướng, các hạt này được coi là các hạt cơ bản, nên không thể là lý thuyết đúng. Tính toán của Dyson và học trò hầu như không còn được ai nhớ đến nữa. Không biết gì về quark, chỉ dùng trực giác vật lý, Fermi biết ngay là không thể tin được lý thuyết meson giả vô hướng. Dyson viết rằng nếu không có Fermi, ông ta và học trò chắc chắn sẽ mất nhiều năm vào một hướng nghiên cứu vô ích.

Đọc câu chuyện này tôi cũng nhận ra chính mình: bản thân tôi đã làm nhiều tính toán không có bức tranh vật lý rõ ràng, không có hình thức luận chặt chẽ, và thậm chí cũng không có cả thực nghiệm để so sánh!

Trở lại với vấn đề con voi. Tôi loay hoay mãi không vẽ được con voi mà chỉ dùng 4 tham số, như von Neumann nói. Tìm đọc trên internet tôi thấy đã có người viết là đã vẽ được voi dùng 4 tham số, nhưng tìm hiểu kỹ hơn thì hoá ra họ ăn gian: 4 tham số của họ là số phức, thực chất là 8 tham số thực. Chi tiết có thể đọc ở đây. Tuy nhiên chỉ cần dùng 2 tham số thực có thể vẽ được bức tranh “con trăn nuốt con voi” trong truyện Hoàng tử bé của Saint-Exupery. Bức tranh như sau:

và đây là đồ thị hàm số

với a = 0.8 và b = 1.75.

Số phận của vũ trụ đã an bài

Trong bài trước ta tìm được điều kiện để vũ trụ nở ra mãi mãi hoặc cuối cùng sẽ co lại. Nếu

vũ trụ sẽ co lại. Ngược lại thì vũ trụ sẽ nở ra mãi mãi. Hằng số Hubble là một đại lượng đo được khá chính xác. Sau khi đo được , theo công thức trên, ta có thể đo mật độ khối lượng trong vũ trụ để biết số phận cuối cùng của nó thế nào.

Nhưng ta đã dùng cơ học Newton để tìm ra công thức này, mà như ai cũng biết lý thuyết đầy đủ về trường hấp dẫn là thuyết tương đổi rộng của Einstein, chứ không phải lý thuyết của Newton. Theo lý thuyết của Newton thì nguồn của lực hấp dẫn là khối lượng. Nhưng theo lý thuyết của Einstein thì nguồn của lực hấp dẫn là cả khối lượng lẫn áp suất. Trong bài này tôi sẽ giải thích tại sao công thức trên không bị thay đổi khi ta dùng lý thuyết của Einstein, ngay cả khi áp suất trong vũ trụ rất lớn, khi định luật vạn vật hấp dẫn của Newton không còn áp dụng được.

Trong bài trước là ta coi vật chất trong vũ trụ là vật chất phi tương đối tính, dân dã gọi là “bụi”. Bụi có mật độ khối lượng là , và áp suất của bụi là rất thấp. Ở đây “thấp” là so với mật độ năng lượng. Nếu một vật có mật độ khối lượng là thì mật độ năng lượng sẽ là (theo công thức ). Mật độ năng lượng đo bằng J/m³, cũng chính là N/m², như vậy mật độ năng lượng và áp suất có cùng thứ nguyên.

Bụi được định nghĩa là các thể vật chất mà nhỏ hơn nhiều lần . Định luật vạn vật hấp dẫn của Newton áp đụng được đối với bụi. Chẳng hạn không khí có mật độ là kg/m³, nếu tính ra mật độ năng lượng tương đương với 10¹⁷ J/m³, tức là 10¹⁷ Pa, cao 1 nghìn tỷ lần áp suất không khí. Như vậy rõ ràng từ quan điểm của vũ trụ học, không khí là “bụi”, cũng như phần lớn các chất khác quanh ta. Các lý luận ta áp dụng trong bài trước mặc định vật chất trong vũ trụ là “bụi”.

Ngược lại, bức xạ không phải là bụi. Bức xạ có thể coi là khí tạo thành từ các hạt photon, chuyển động rất nhanh nên khi đập vào thành tường chúng gây ra áp suất rất lớn. Bức xạ có mật độ năng lượng và áp suất cùng một độ lớn, chính xác hơn là: .

Lý thuyết tương đối của Einstein cho thấy không những năng lượng gây ra trường hấp dẫn, mà cả áp suất cũng gây ra trường hấp dẫn. Như vậy, về nguyên tắc công thức ở trên có thể thay đổi. Ví dụ ta có thể tưởng tượng ra vũ trụ co lại nếu

và nở ra nếu ngược lại. Đối với bụi thì và coi như là như nhau, nhưng đối với các loại vật chất khác thì chúng có thể rất khác nhau. Làm sao ta biết (1) hay (2) là đúng?

Để trả lời câu hỏi này, ta dựa vào một Tiên đề

“Không thể thay đổi được số phận cuối cùng của vũ trụ”

Điều này nghĩa là nếu nếu đo đạc ở một lúc nào đó ta thấy vũ trụ có thể sẽ co lại thành một điểm, thì ta không có cách nào thay đổi được để vũ trụ lại nở ra. Hoặc ngược lại, nếu ta đo thấy vũ trụ đang trên đà giãn nở ra mãi mãi, thì sẽ không có cách nào làm cho nó co lại thành một điểm. Nói cách khác vũ trụ đã định co là co, đã định giãn là giãn.

Bây giờ giả sử tiêu chuẩn để vũ trụ cuối cùng nở ra/co lại là (2) chứ không phải là (1). Ta có thể thấy điều này trái với Tiên đề nói trên: ta có thể thay đổi được áp suất của vũ trụ (chẳng hạn, bằng cách dùng phản ứng hạt nhân, biết khối lượng thành năng lượng bức xạ), và như vậy nếu ta thấy vũ trụ của ta đang có hơi nhỏ hơn một tý và đang trên đà giãn ra vô cùng, ta có thể tăng lên để cho trở nên lớn hơn , và vũ trụ co lại thành một điểm.

Ngược lại, nếu cái quyết định số phận vũ trụ là thì con người coi như bất lực trước Đấng toàn năng, ít nhất về vấn đề số phận của vũ trụ: do định luật bảo toàn năng lượng, ta làm gì cũng không thay đổi được , vì mật độ năng lượng bị đóng cứng ở .

Vì vậy, nếu ta chấp nhận tiên đề nói trên, cái quyết định số phận cuối cùng của vũ trụ là mật độ khối lượng, chứ áp suất không đóng vai trò gì. Công thức ở đầu bài này đúng ngay cả trong lý thuyết tương đối rộng của Einstein.

Từ công thức này ta có thể suy diễn ra tại sao “năng lượng tối” (dạng vật chất chiếm 70% khối lượng của vũ trụ) có khối lượng dương lại có thể gây ra hiện tượng “phản hấp dẫn”, tức là đẩy các vật khác ra chứ không phải hút vào. Nhưng đây là đề tài của một bài khác.

(Cho các bạn biết lý thuyết tương đối rộng: nguồn gốc sâu xa của Tiên đề trên là trong lý thuyết của Einstein, nếu vũ trụ có mật độ lớn hơn tới hạn thì nó phải có thể tích hữu hạn, còn nếu mật độ nhỏ hơn tới hạn thì thể thích của nó là vô cùng)

Mật độ tới hạn của vũ trụ

Trong bài này chúng ta sẽ làm quen với khái niệm mật độ tới hạn của vũ trụ và một một đại lượng khác thường được gọi đơn giản là . Giá trị của là đại lượng quyết định số phận cuối cùng của vũ trụ, nên nó rất quan trọng. Để đọc bài này các bạn chỉ cần có kiến thức vật lý phổ thông.

Khi ta đứng trên mặt đất và tung một hòn đá lên, nó sẽ bay lên nhưng cuối cùng sẽ rơi xuống đất. Đó là do động năng của hòn đá không đủ để thắng thế năng của trọng trường của trái đất.

Bây giờ ta giả sử ta có thể giảm dần khối lượng của trái đất đi mà vẫn giữ kích thước của nó không thay đổi. Để làm như thế ta phải tưởng tượng mật độ của trái đất giảm dần đi. Lúc đó lực hấp dẫn của trái đất sẽ ngày càng yếu, vì lực hấp dẫn tỉ lệ thuận với khối lượng của vật thể. Đến một lúc nào đó hòn đá do ta tung lên sẽ vượt khỏi trọng trường để bay ra ngoài vũ trụ.

Trong vũ trụ học cũng có một hiện tượng như vậy. Qua quan sát ta biết vũ trụ đang giãn nở ra với tốc độ đặc trưng bằng hằng số Hubble (xem ở dưới). Với cùng một tốc độ giãn nở này, nếu vũ trụ có mật độ cao hơn một mật độ nào đó thì đến một lúc nào đó nó sẽ không nở ra nữa mà bắt đầu co lại. Ngược lại, nếu nhỏ thì vũ trụ sẽ giãn ra mãi. được gọi là tới hạn là mật độ tới hạn.

Trong bài này ta sẽ tính mật độ tới hạn, giả sử hằng số Hubble là đã biết. Định luật Hubble, xin nhắc lại, là như sau: trong vũ trụ đang giãn nở, hai thiên hà cách nhau khoảng cách bằng chạy ra xa nhau với vận tốc tỉ lệ thuận với . Hằng số tỷ lệ trong công thức được gọi là hằng số Hubble.

Ta tưởng tượng một mô hình vũ trụ rất đơn giản: ta giả sử vũ trụ là một quả cầu có mật độ vật chất là . Mô hình này không hoàn toàn đúng vì vũ trụ không có ranh rới, không có điểm nào có thể coi là tâm hình cầu. Tuy nhiên mô hình đơn giản này sẽ cho ta kết quả đúng.

Ta theo dõi một ngân hà cách tâm quả cầu một khoảng cách bằng . Gọi khối lượng của ngân hà này là .

Ta lấy tâm hình cầu làm gốc toạ độ, và xét hệ quy chiếu mà tâm hình cầu đứng yên. Do sự giãn nở của vũ trụ, thiên hà chuyển động ra xa tâm hình cầu. Nếu ta ký hiệu vận tốc chuyển động của thiên hà là , thì động năng của nó là .

Thế năng của ngân hà bằng , trong đó là khối lượng vật chất bên trong quả cầu bán kính : .

Như vậy vũ trụ sẽ giãn nở mãi mãi nếu

hay

Nhưng chính là hằng số Hubble . Bất đẳng thức trên có thể viết thành điều kiện để vũ trụ nở ra mãi mãi

trong đó

chính là mất độ tới hạn. Trong khi đó nếu vũ trụ sẽ co lại.

Tỷ số

quyết định số phận của vũ trụ (“Ta là và …”). Nếu thì vũ trụ sẽ kết thúc bằng một vụ nổ lớn ngược: mọi thiên hà trong vũ trụ lại vào một điểm, nhiệt độ càng ngày càng cao lên, tiến đến vô cùng. Nếu thì tương lai của vũ trụ sáng sủa hơn một chút: các ngân hà càng ngày càng xa nhau ra, vũ trụ ngày càng loãng đi, nhưng không có gì đặc biệt xảy ra.

Để biết tương lai vũ trụ thế nào như vậy ta cần biết và . Hiện nay ta biết hằng số Hubble khá chính xác:

Ở đây Mpc (megaparsec) là đơn vị độ dài dùng trong thiên văn, bằng m, từ đó ta có thể tìm thấy mật độ tới hạn:

Còn để tìm ta phải khoanh ra một thể tích trong vũ trụ và tìm cách “cân” vật chất bên trong thể tích này. Trong một thời gian dài người ta đo được chỉ độ 0.3, trong đó 0.04 từ vật chất nhình thấy, còn lại từ vật chất không nhìn thấy (“vật chất tối”). Tuy nhiên lý thuyết inflation tiên đoán với độ chính xác cao. Trong nhiều năm (đầu và giữa những năm 90) nhiều nhà vật lý lý thuyết  vẫn giữ niềm tin sắt son là mặc dù quan sát có vẻ cho thấy . Cuối cùng, năm 1998 ta biết trong vũ trụ còn một dạng vật chất nữa gọi là “năng lượng tối”, với mật độ bằng khoảng . Cộng thêm mật độ vật chất tối ta có phù hợp với tiên đoán của lý thuyết inflation.

Những tính toán trong bài này hoàn toàn dựa vào lý thuyết hấp dẫn của Newton, tuy nhiên kết quả chính của bài này (công thức liên hệ và ) không thay đổi nếu ta dùng thuyết tương đối rộng của Einstein.