Tính nhẩm

Bài tập: Ở một nước trong một đợt dịch số người nhiễm virus tăng lên gấp 10 lần sau 10 ngày. Không dùng máy tính, hãy tính xem mỗi ngày số người nhiễm tăng lên thêm bao nhiêu phần trăm.

Lời giải:

Ta phải tính nhẩm căn bậc 10 của 10, tức là 101/10. Một trong những phương pháp tính nhẩm như sau. Ai cũng biết một kilobit gần bằng 1000 bit:

2^{10} = 1024 \approx 10^3

Như vậy

10^{1/10} \approx 2^{1/3}

Để tính 21/3 ta có thể dùng mẹo sau:

\displaystyle{2^{1/3} = \left( \displaystyle{\frac{2^{10}}{2^9}} \right)^{1/3} \approx   \left( \frac{10^3}{2^9} \right)^{1/3} = \frac{10}{2^3} = \frac54 = 1.25}

Như vậy xấp xỉ một ngày số ca nhiễm tăng 25%.

Để tính toán chính xác hơn ta có thể nhận xét là 2 không hoàn toàn bằng 1.253. Ta có thể phân tích

\displaystyle{2 =\frac54\cdot \frac54\cdot \frac{32}{25} = 1.25 \cdot 1.25 \cdot 1.28}

từ đó suy ra

10 = 2^3 \cdot \displaystyle{\frac54} = (1.25^2 \cdot 1.28)^3 \cdot 1.25 =   1.25^7\cdot 1.28^3

nghĩa là số 101/10 là trung bình nhân của 10 số, trong đó có 7 số bằng 1.25 và 3 số bằng 1.28. Trong trường hợp các số gần nhau như vậy thì trung bình nhân gần bằng trung bình cộng, tức là

10^{1/10} \approx \displaystyle{\frac1{10}} (7\cdot 1.25 + 3\cdot 1.28) \approx 1.259

Như vậy chính xác hơn nữa là tốc độ tăng là 25.9% một ngày. Dùng máy tính ta có thể thấy tính toán này rất chính xác: 101/10 ≈ 1.258925…

Tương tự, ta có thể tính căn bậc 3 của 2:

2^{1/3} \approx \displaystyle{\frac13}(1.25+1.25+1.28) = 1.26

Giá trị này cũng rất gần với giá trị thực 1.259921…

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s