Hành khúc vật lý

Nhân dịp LHC đang tiến hành thí nghiệm va chạm giữa proton và hạt nhân (của nguyên tử chì), mời các bạn nghe lại bài hát của Vladimir Vysotsky (bằng tiếng Nga) từ những năm 1960:

Du dương như trống trường

Đầu đề của bài này là để các bạn tự hỏi: tại sao đánh trống thì chỉ ra tiếng “tùng tùng”, không ra nốt đồ rê mi, mà khi đánh đàn (piano hay ghi-ta) thì lại ra các nốt nhất định? Một điều đáng ngạc nhiên là không thể giải thích (hoặc ít nhất tôi không biết cách giải thích) điều này mà không dùng đến toán cao cấp: phương trình đạo hàm riêng, hàm Bessel.

Sự khác nhau giữa đàn và trống, từ quan điểm của vật lý, là sự khác nhau giữa không gian 1 chiều và không gian 2 chiều. Khi đánh đàn đàn (kể cả piano) tiếng phát ra do dao động của dây đàn, có thể coi là một vật thể 1 chiều. Trong khi đó vật phát ra tiếng ở trống là mặt trống, là một vật 2 chiều.

Tai ta cảm nhận được một nốt (ví dụ nốt “đô”) khi dao động tạo ra là tổ hợp của các dao động hình sin, trong đó có một tần số cơ bản (ví dụ 440 Hz) và các “harmonics” có tần số bằng một số nguyên lần tần số cơ bản. Dao động của một dây đàn thỏa mãn điều kiện này. Dao động của một dây đàn được mô tả bằng phương trình

với điều kiện biên (hai đầu của dây đàn bị cột chặt). Phương trình này có thể giải bằng phương pháp tách biến, dùng phương pháp này ta tìm được các tần số là

Như vậy các tần số dao động của dây đàn là bội của tần số cơ bản . Thừa số trong công thức trên thực ra là các nghiệm của phương trình

Bây giờ ta xét dao động của mặt trống. Dao động này được mô tả bằng phương trình

với điều kiện biên khi (ta giả sử mặt trống hình tròn với bán kính ). Phương trình này có thể giải bằng các chuyển sang tọa độ cực. Sau khi giải các bạn có thể thấy các tần số dao động của mặt trống tỉ lệ thuận với các nghiệm của các hàm Bessel , , , v.v. Các nghiệm này là

của : 2.4048, 5.5201, 8.6537 …

của : 3.8317, 7.0156, 10.1735 …

của : 5.1356, 8.4172, 11.6198 …

Các bạn có thể thấy các nghiệm này không phải là bội của một tần số cơ bản nào cả. Vì vậy tiếng trống không du dương như tiếng đàn.

Âm nhạc và các phân số

Xem update ngày 20/8 ở cuối bài.

Ai đánh ghita cũng biết khái niệm hợp âm (dân gian gọi là gam). Chỉ cần 3 gam là đánh đệm cho được rất nhiều bài hát. Bài nào vui, thì dùng hợp âm đô trưởng, fa trưởng, và son 7, bài buồn thì la thứ, rê thứ, mi 7. Nhưng trong các sách âm nhạc ít khi thấy giải thích nguồn gốc toán học của những hợp âm này.

Tại sao đánh 3 nốt Đô (C), Mi (E), Son (G) lên thì nó hòa với nhau rất tốt, thành hợp âm Đô trưởng, nhưng ví dụ đánh Đô và Fa thăng (F#) thì lại không hợp? Đó là do những hòa âm trong âm nhạc liên quan đến các phân số đơn giản.

Nhớ lại, trong 1 octave (quãng tám) có 12 nốt:

C, C#, D, D#, E, F, F#, G, G#, A, A#, B

Quy định là nốt A (La) của octave giữa tần số là 440 Hz. Giá trị chính xác của con số này không phải quan trọng đối với ta. Quan trọng là trong âm nhạc hiện đại, tần số các nốt trong octave lập thành một cấp số nhân, số sau hơn số trước 2^1/12≈1.0595 lần. Như vậy tần số các nốt là:

C= 440×2^-9/12≈261.6 Hz
C#= 440×2^-8/12≈277.2 Hz, v.v.

Ta lấy tần số của nốt Son chia cho tần số nốt Đô thì thương là:

G/C = 2^7/12=1.4983…≈3/2

đây gọi là quãng 5 (perfect fifth),

và nếu lấy thương của tần số nốt Mi cho nốt Đô thì có:

E/C = 2^4/12=1.2599…≈5/4 (quãng ba trưởng)

Như vậy tỉ lệ tần số của các nốt trong hợp âm trưởng (C:E:G) là gần bằng 4:5:6. Do tỷ lệ giữa các tần số gần với các phân số đơn giản (tử số và mẫu số nhỏ) nên nghe êm tai. Trái lại tỷ lệ giữa fa thăng (F#) và đô (C) là , là số không gần với một phân số đơn giản nào, nên đánh F# cùng với C không hợp. Bạn đọc có thể tự tìm ra tỷ lệ đằng sau hợp âm la thứ: La – Đô – Mi.

Nhạc truyền thống của Việt Nam và nhiều dân tộc là nhạc ngũ âm (pentatonic, “cung thương làu bậc ngũ âm”), có thể xây dựng bằng một cấp số nhân khác với công bội là 3/2. Các nốt trong cung ngũ âm đại khái gần với

F – C – G – D – A

trong nhạc phương tây (không có E và B). Nếu ta chỉnh các nốt cho có 4 quãng năm lý tưởng thì tỷ lệ các tần số phải là:

1, 3/2, 9/8, 27/16, 81/64

(Mỗi lúc xuống 1 octave tần số giảm đi 2 lần.)

Các bài ngũ âm cũng có thể đánh được hoàn toàn bằng các phím đen trên đàn piano: F#, C#, G#, D#, A#.

Ví dụ bài Xòe hoa là hoàn toàn ngũ âm (dân ca Thái — lời Kinh):

Cùng nhau múa vui, chân em bước nhịp câu ca
C     F    A   G    G   G   A    D    F  F

Em múa vui em mừng cuộc đời.
G   A   G  F   D    C    C

Ơn Bác Hồ ghi nhớ muôn đời.
G   A  D   F   G   F    D

Vui sống trong độc lập tự do
G    A     G    F   D   C  F

Nhạc hiện đại đôi khi cũng dùng ngũ âm. Bài Tiếng hát trong rừng Pắc Bó chỉ loanh quanh 5 nốt đến gần cuối:

Trông vời lưng núi
F      C  F-A   A
Khuổi Nậm rì rào núi cao tầng mây
F      C  D   F   G   F   D    G

Nhạc Scotland truyền thống (Auld Lang Syne chẳng hạn) cũng là ngũ âm.

Vấn đề của thang có 4 quãng năm lý tưởng là giữa A và F tỉ lệ là 81/64, nhưng quãng ba lý tưởng phải là 5/4=80/64. Nếu ta định nghĩa A là 5/4 so với F, thì lại mất quãng năm D-A. Nhạc phương Tây đã bị vấp phải vấn đề này trong một thời gian dài, là quãng ba trưởng (5/4) không chính xác bằng 4 quãng 5 (3/2) trừ 2 quãng 8:

Ngày xưa người ta chỉnh piano chỉ đánh được một số gam ở giữa, càng ra xa nghe càng chóe. Việc chỉnh piano là một sự thỏa hiệp giữa quãng 5 và quãng 3, không bao giờ cả 2 quãng đều chuẩn cả hai. Đến thời Bach thì người ta chỉnh được cho tất cả các gam đều nghe được. Tập Well-Tempered Clavier soạn cho cả 24 gam trưởng và thứ.

Trong thang nhạc phương tây hiện đại, quãng 5 rất tốt nhưng các quãng 3 thì không tốt lắm.

E♭/C = 2^3/12=1.1892…≈6/5

Quãng 7 thì tệ:

B♭/C = 2^10/12=1.7818≈7/4

Christiaan Huygens đề xuất dùng âm nhạc với thang có 31 nốt trong một octave. Lúc đó quãng 5 sẽ là

2^18/31=1.4955≈3/2

hơi kém hơn thang 12 nốt, nhưng các quãng 3 trưởng và thứ thì tốt hơn hẳn:

2^10/31=1.2506≈5/4

2^8/31=1.1959≈6/5

Quãng 7 cũng hơn hẳn:

2^25/31=1.7489≈7/4.

Tuy vậy thang nhạc 31 nốt này hoàn toàn không được phổ biến, có lẽ do số nốt nhiều quá.

Bạn nào muốn biết hơn có thể tham khảo D. J. Benson, Music: a mathematical offering.

Update 20/8/2010: nếu đọc work profiles của những người được huy chương Fields năm 2010, ta thấy có 1 người làm những vấn đề hơi liên quan đến các thang âm nhạc bàn ở đây. Đố các bạn biết đó là ai?