A problem by Sakharov

Andrei Sakharov (1921-1989) was a Soviet physicist. He is well known (among other things) for his work on the origin of baryon asymmetry in the Universe, his contributions to the Soviet hydrogen bomb program, and his political activism.

Here is one of his math problems.

A pizza his cut by straight lines into small pieces. The number of lines is very large and the cuts are drawn completely randomly. Most of the pizza pieces are then polygons with straight edges, with varying number of vertices.



Question 1: What is the average number of vertices of a pizza piece?

Question 2: Let S be the average area and p be the average perimeter of a pizza piece. What is the value of S/p2?

(In the original version, the pizza is replaced by a slice of cabbage. It is said that Sakharov made up this problem while he was cutting cabbage to help his wife with pirogi making.)

Source: Сахаровский сборник, изд. Хроника, Нью-Йорк, 1981, с. 140.


Origin of the term “ghost” used in quantum field theory

For a long time I had been wondering who was the first to use the term “ghost” into quantum field theory. My first encounter with the term was in the context of Faddeev-Popov’s approach to quantization of non-Abelian gauge theories. But Faddeev and Popov, in their first articles, did not use “ghost”; instead, they used a more innocuous term, something like “a fictitious scalar field.” From what I could find out, almost immediately after Faddeev and Popov that strange field, scalar but with fermionic statistics, was renamed “ghost.” The post-Faddeev-Popov literature, however, does not contain any indication on who came up with this term. It also seems that the Russian equivalent “духи” was imported from English, rather than the other way around.

Who was that person who has managed to introduce into the vocabulary of particle physics, the science of the 20th century, a word that has origin in the superstitious beliefs at the dawn of human history?

Several days ago I ran onto David Derbes, a retired physics teacher from the University of Chicago Laboratory High School, who has helped the publication of a number of historical documents, including Dyson’s and Coleman’s lectures in quantum field theory. He told me about his latest object of study—the first preprint of Faddeev and Popov, in Russian and never published. I asked him if he knew the origin of the term “ghost.” David said did not know, but he told me he would try to find out.

With David’s help, now I think I know who has introduced the term “ghost” and when.

It turned out that the term was introduced by Wolfgang Pauli, in a different context. Pauli, a giant in physics, was also responsible for the introduction of the particle now called “neutrino” with a famous letter which started with the words „Liebe radioaktive Damen und Herren“, “Dear radioactive Ladies and Gentlemen.” And as with the neutrino, Pauli introduced the term “ghost” in a letter. In fact, in two letters. The first letter, sent to Källén on December 9, 1954, contains Pauli’s announcement of his intention to send a letter to TD Lee, where he would propose the word “ghost.” (The letter to Källén is letter [1942] in the book edited by Karl von Meyenn, see the end of this posting). Pauli predicted that once the term is proposed, its use will spread epidemically in the literature. But Pauli wrote that he did not think “ghosts” are physical, citing a quote, allegedly by Lichtenberg, “There are more things in the compendiums of physics, than are dreamt of in heaven and Earth.”

The letter to TD Lee was sent five days later on December 14, 1954, written in English, and copied to Dyson. Here are the beginning and the end of that letter. Note the way Pauli signed the letter. (Text taken from the Karl von Mayenn’s book; this is letter [1946] in that volume.)

“Dear Lee!

It is already some time that I started to study your paper seriously. Days became weeks, weeks two months and my file „Lee-model“ is still increasing – a proof of its importance. It is true that in my way of looking at it, most of this importance is concentrated in your footnote 4, p. 1331 and the rest of the paper seems to me, at least in first approximation, negligible in comparison to this small printed note.

(… a lot of technical discussions follow …)

The essential occurrence of negative probabilities in your example makes it, of course, extremely unphysical. But this is not my whole story, and in some other respects, I may have good consolation for you, too. Until now I only told you results which are proved. In the following concluding part of this letter I shall formulate guesses or conjectures of a more general kind, which should be merely considered as the outline of a program of further mathematical investigations.

Let us call a new energy-state with negative probability (negative in comparison with the other states of normal behaviour for small coupling constant), whose energy tends to ±∞ for (renormalized) coupling constant g going to 0, a ‚ghost‘. It is my opinion that the occurrence of ‚ghosts‘ will soon turn out to be a general feature of coupling constant renormalization. This feature has been revealed first by your example, the importance of which should therefore not be underrated. If the unrenormalized theory diverges logarithmically, the energy of the ghosts will behave for small g as \exp(\textrm{const}/g^2). This seems to offer an explanation for the fact that in the examples, which could be really investigated until now, Dyson’s power series have the convergence radius zero. I suggest that this result (Thirring and others), which is presumably general, be brought in connection with the fact that the ghost energy is of the mentioned essentially singular type at the point g = 0. If my conjecture is right, the renormalized field-theory should have a mathematically rigorous solution, which, however, is unphysical because of the occurrence of negative probabilities in it. The ghosts have no physical reality whatsoever, they are the formal reaction of mathematics to the tricks played on her by the method of renormalization.

If my conjecture is right, this should also hold for quantum electrodynamics, the only case where we are certain that renormalization has anything to do with nature. The ghosts would then be situated very roughly, at the extreme high energy of e137 times electron mass (factors like l/π in the exponent not excluded). These ghost-states will then be only very seldom excited and one can understand the possibility that quantum-electrodynamics including renormalization, can give good approximations. But, in principle, it would have this defect too.

The situation is too new for us to think about the therapy now, we have first to think about good mathematical methods, to check the diagnosis and make the bacillus in the renormalization method generally visible. There are great difficulties in this problem. If, for instance, a ‚ghost‘ would be discovered in a Tamm-Dancoff approximation, how could we be sure that it is not only a result of the insufficiency of this approximation?

Nevertheless I think that this mathematical problem can be attacked and I suggested to Källén, who is at present in Copenhagen, that he resumes his old work of 1952 in the light of this new aspect. Our results will certainly be published in due time in one form or another but I think they have first to be put on a broader basis.

Meanwhile I hope that the end of this long letter will be the beginning of something else and I conclude with all good wishes for Xmas and for a really new year in physics to yourself and to all friends at Columbia University.

Sincerely yours,

The society of ghost hunters
The president

TD Lee’s paper mentioned by Pauli is Phys. Rev. 95, 1329 (1954). Pauli would continue to refer to particles with negative norm as “ghosts.” For example, in a letter sent to to Heisenberg on May 18, 1955, Pauli expressed doubt that modes with negative norm in Heisenberg’s model can be quarantined from the rest of the Hilbert space. He asked: „Wieso bleibt der Geist in der Flasche?“ “Why does the ghost stay in the bottle?” (it appears that in German the word Geist, meaning ghost, is also used for a genie in a bottle).

Pauli’s ghost is, in the modern language, related to the Landau pole. With the invention of asymptotic freedom, Landau pole is no longer inevitable in quantum field theory. Pauli’s prediction that the term “ghost” would be widely used remains correct. “Ghost” lives on, most notably as the colorful name for Faddeev and Popov’s “fictitious scalar field.”


W. Pauli, Wissenschaftlicher Briefwechsel mit Bohr, Einstein, Heisenberg u.a. Band IV, Teil II: 1953-1954 (Scientific Correspondence with Bohr, Einstein, Heisenberg, a.o. Volume IV, Part II: 1953-1954), edited by Karl von Meyenn, Springer, 1999.

Addendum (July 6, 2019): Although the English word “ghost” was first proposed by Pauli in his December 9, 1954 letter to Källén, Pauli conceived the use of the German word “Geist” for the same purpose a few days earlier, in his December 6, 1954 letter to Fierz.

Huy chương Dirac của ICTP năm 2018

Tôi cảm thấy rất vinh dự là một trong ba người được Trung tâm Vật lý lý thuyết quốc tế (ICTP) trao huy chương Dirac năm 2018. Tôi rất vui là cùng nhận giải với tôi là hai người đồng nghiệp tôi rất kính trọng, Subir Sachdev và Xiao-Gang Wen. Giải thưởng còn có ý nghĩa đặc biệt với tôi vì ICTP là một tổ chức đã giúp nhiều nhà khoa học từ các nước đang phát triển, trong đó có Việt Nam, tiếp xúc với cộng đồng khoa học quốc tế.

Tôi muốn nhân dịp này bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với các thầy cô, và chân thành cảm ơn đồng nghiệp, bạn bè, người thân đã tin, ủng hộ và giúp đỡ tôi suốt những năm qua.

Tôi cũng muốn chia sẻ đôi chút về công việc của mình. Thời gian sắp tới, cùng với đồng nghiệp và học trò, tôi sẽ tiếp tục tiến hành nghiên cứu các hiện tượng lượng tử trong các hệ nhiều hạt, đặc biết là các hệ tương tác mạnh. Bài toán về tương tác mạnh trong vật lý nhiều hạt là một bài toán khó và quan trọng đối với nhiều lĩnh vực, trong đó có vật lý hạt nhân và khoa học vật liệu. Rất nhiều khả năng là những phương pháp ta dùng hiện nay, bao gồm những phương pháp đối ngẫu mà tôi tham gia phát triển, sẽ chỉ là một phần nhỏ của những công cụ người ta sử dụng trong tương lai.

Về lâu dài, tôi muốn tìm tòi học hỏi về các lĩnh vực khác nhau của vật lý và khoa học nói chung, không nhất thiết liên quan trực tiếp đến những đề tài hiện nay tôi đang nghiên cứu.

Và cuối cùng, không thể không nhắc đến mối quan tâm lớn của tôi là sự phát triển của ngành Vật lý Việt Nam. Tôi đang cùng đồng nghiệp trong và ngoài nước bàn bạc, tìm cách cải thiện ngành vật lý Việt Nam hiện nay. Chúng ta có tiềm năng, và tôi tin rằng tương lai của ngành vật lý ở Việt Nam sẽ rất xán lạn nếu chúng ta có một chính sách đúng đắn nhằm thu hút được những tài năng trẻ và tạo điều kiện cho họ phát triển tài năng của mình. Tôi rất mong có được sự ủng hộ thiết thực từ phía nhà nước để sớm ra được một chính sách như vậy.

Ở đâu có đối xứng, ở đó có bảo toàn

Emmy Noether và bài báo năm 1918

100 năm về trước, ngày 26/7/1918 là ngày định lý Noether được công bố. Định lý này là một định lý rất quan trọng trong vật lý. Nó nói rằng mỗi đối xứng (chính xác hơn: đối xứng liên tục) của một hệ vật lý dẫn đến một định luật bảo toàn. Vị dụ tính đồng nhất của không gian dẫn đến định luật bảo toàn xung lượng. Tính đồng nhất của thời gian (các định luật vật lý, các hằng số cơ bản không thay đổi theo thời gian) dẫn đến định luật bảo toàn năng lượng. Tính đẳng hướng của không gian (nhìn theo hướng nào không gian cũng như nhau) dẫn đến định luật bảo toàn mômen quay. Định lý này đã thấm sâu vào nếp suy nghĩ của các nhà vật lý. Mọi định luật bảo toàn đều cuối cùng được đưa về một đối xứng. Ví dụ định luật bảo toàn điện tích liên quan đến đối xứng gauge của phương trình Schrödinger (“Định luật bảo toàn khối lượng” hay nói đến trong sách giáo khoa thì do công thức E=mc^2 chính là từ định luật bảo toàn năng lượng mà ra).

Có lẽ lần đầu tiên tôi được nghe nói đến bà Emmy Noether là từ cô Hoàng Xuân Sính vào năm 1984. Emmy Noether sống vào thời còn rất nhiều trở ngại cho phụ nữ làm khoa học. Bà chỉ được học dự thính chứ không được học chính thức. Và ở Göttingen người ta không cho bà làm giáo sư (Privatdozent), mặc dù được Hilbert và Klein hết sức ủng hộ. Người ta kể lại rằng trong cuộc họp một giáo sư nói: “Cứ tưởng tượng những chiến sĩ của ta từ chiến trường trở về, họ sẽ cảm thấy thế nào nếu phải học một người phụ nữ?” Hilbert trả lời: “Tôi không nghĩ giới tính là quan trọng cho việc xét vào chức Privatdozent. Đây là trường đại học chứ không phải nhà tắm công cộng.”

Theo link ở dưới các bạn có thể xem video của Perimeter Institute về định lý Noether. Có các video giải thích ở các mức khác nhau.


Không đề


Bài thơ ngày nào anh viết cho em
Nay đã nằm bên kia chân trời sự kiện.
Những khao khát ngây thơ, ước mơ thánh thiện,
theo Hawking, rồi sẽ thành tương quan lượng tử giữa các hạt photon.


Igor Tamm and the Taylor expansion

From the memoirs of L.I. Vernsky, grandson of Igor Tamm, published in Воспоминания о И.Е.Тамме (3е изд., ИЗДАТ, Москва, 1995), pp. 108-109, translation by Google and me. (An alternative, more dramatic but in my view less reliable version of the story was told by G. Gamow in his book My World Line, Viking Press, 1970.)

In the summer of 1920 Igor Tamm decided to leave Crimea, then occupied by Wrangels’s troops, for Elisavetgrad, which was already liberated by units of the the Red 14th and 1st Cavalry Armies. He deliberately left his documents behind, as they were not suitable for leaving the territory occupied by the Whites, nor for crossing to the Reds. He crossed the front line without any problem; in any case, there wasn’t a solid front line. He and an accidental companion decided to spend a night in an empty building on an abandoned homestead. The two were soon detained by a Red Army detachment. Neither of them had any documents with them. To the people who arrested them, it appeared obvious that they were White scouts, deserved to be shot.

Luckily for Tamm, the commander of the detachment was a drop-out student. He grinned grimly while listening to Tamm’s explanation that he had graduated from the Physics and Mathematics Department of the Moscow University.

“So, you’re a mathematician? You’re lying, aren’t you? No problem, we will give you a test now. Here! Derive for me the formula for the expansion of a function in Taylor series. Including the remainder term! If you can do it, you will be freed. If not – you and your friend will face the firing squad.”

Tamm was given a pencil, a piece of paper and a candle. The soldiers brought an armful of fresh hay and locked Tamm and his companion in.

[Igor Tamm said] “My companion calmed down and quickly started to snore… And I was not up to sleep: outside the door was a sentry, and the deadline was the next morning.”

Tamm was nervous: not only his own life was on the table, but also the life of his innocent comrade.

“I was worried, and thus I did not manage to solve the problem. I did get the general idea but I made a mistake somewhere and got myself confused. The morning came and I still couldn’t find the damned mistake!”

In the morning, though no derivation was presented, the commander became convinced that the man knew mathematics. Tamm asked the commander to help him find his mistake.

“You know,” said the commander, “I can’t expand functions anymore… I’ve forgotten everything. I left my university more than two years ago. I was just being strict with you yesterday.”

Maryam Mirzakhani và bài toán 4 màu tự chọn

Maryam Mirzakhani, cho tới nay, là người phụ nữ duy nhất được huy chương Fields (năm 2014). Chị sinh ra ở Iran, hai lần đoạt huy chương vàng thi toán quốc tế. Mirzakhani học đại học ở Iran, sau đó sang Mỹ, từ năm 2008 là giáo sư đại học Stanford. Chị mới qua đời mấy hôm trước, lúc mới 40 tuổi. “A light was turned off today. It breaks my heart ….. gone far too soon.” – một người bạn của chị viết trên Instagram.

Tôi chắc chắn là mình không thể hiểu được những công trình đã đem lại cho Mirzakhani huy chương Field, nhưng tôi có tìm đọc bài báo đầu tiên của chị. Bài báo có lẽ viết năm 1995 hoặc 1996, được đăng năm 1996. Bài báo liên quan đến định lý bốn màu quen thuộc. Định lý này nói rằng ta có thể dùng bốn màu (ví dụ xanh, đỏ, tím, vàng) để tô bất cứ một bản đồ nào sao cho hai nước có đường biên giới chung bao giờ cũng được tô bằng hai màu khác nhau. Định lý này được Francis Guthrie, một nhà toán học đồng thời cũng là nhà thực vật học, phát biểu năm 1852 và đã được chứng minh vào năm 1976/1977 (với sự giúp đỡ của máy tính).

Bài toán Mirzakhani xem xét cũng liên quan đến việc tô màu bản đồ. Trong bài toán 4 màu kinh điển thì 4 màu có thể coi là do một cơ quan quốc tế chọn trước, tất cả các nước phải tô theo 1 trong 4 màu đó. Ví dụ nếu cơ quan quốc tế quyết định dùng 4 màu xanh-đỏ-tím-vàng thì nước nào trên bản đồ cũng được tô bằng một trong 4 màu đó, không thể bằng màu nào khác, như màu nâu chẳng hạn.

Bây giờ ta tưởng tượng các nước không thống nhất được 4 màu dùng cho bản đồ là những màu gì. Để giải quyết sự tranh chấp, người ta cho mỗi nước được chọn 4 màu của mình. Ví dụ nước A có thể chọn xanh-đỏ-tím-vàng, nước B chọn xanh-đỏ-tím-nâu, nước C đỏ-tím-vàng-nâu v.v. Nhiệm vụ của người làm bản đồ phải tìm cách tô bản đồ sao cho

1. nước nào cũng được tô bằng 1 trong 4 màu mình chọn, và
2. không có 2 nước láng giềng nào bị tô 2 màu giống nhau.

Liệu điều này có thể làm được với tất cả các bản đồ hay không? Tức là cho một bản đồ bất kỳ, cho mỗi nước chọn 4 màu bất kỳ, có phải bao giờ cũng tồn tại một bản đổ thoả mãn hai tính chất nói trên không?

Có thể nghĩ rằng nếu các nước khác nhau chọn những bộ 4 màu khác nhau thì phải dễ tô màu bản đồ hơn là lúc tất cả các nước phải dùng 4 màu giống nhau. Giả sử ta bắt đầu tô bản đồ từ nước A, sau đó chuyển sang nước B láng giềng. Nếu bản đồ chỉ dùng bốn màu xanh-đỏ-tím-vàng, nếu ta tô nước A màu vàng, thì nước B láng giềng chỉ có thể tô bằng một trong ba màu xanh-đỏ-tím. Nhưng trong trường hợp các màu là cho các nước tự chọn, nếu bộ 4 màu của nước B là xanh-đỏ-tím-nâu thì sau khi tô nước A màu vàng ta vẫn còn đủ 4 cách tô màu nước B, thay vì 3.

Tuy nhiên, người ta đã chứng minh được là phải cho mỗi nước được chọn 5 màu thì mới chắc chắn làm được bản đồ mà không ai bị tô màu mình không muốn. Năm 1993 người ta đã tìm ra một tường hợp với 238 nước mà, với một sự chọn lựa màu của từng nước, không tồn tại bản đồ mà nước nào cũng được tô 1 trong 4 màu của mình và khác màu tất cả các nước láng giềng.

Mirzakhani tìm được một bản đồ chỉ có 63 nước và một cách chọn bộ 4 màu của từng nước mà không tồn tại cách tô màu bản đồ với những tính chất viết ở trên. Ngoài việc giảm số lượng nước từ 238 xuống 63, ví dụ của chị còn có một tính chất rất hay là về nguyên tắc, nếu các nước chấp nhận tô màu gì cũng được, thì chỉ cần 3 màu là tô được toàn bộ bản đồ. Trước đây đã có giả thuyết là nếu bản đồ có thể tô được bằng 3 màu thì cho mỗi nước tự chọn 4 màu là đủ để làm bản đồ. Ví dụ của Mirzakhani chứng tỏ giả thuyết này là sai.

Bài báo ngắn và tương đối dễ hiểu, có thể đọc ở đây. Ngoài ra có thể xem thêm bài Tuổi trẻ của một người phụ nữ đạt huy chương Fields đăng ở tạp chí Epsilon số 13, trang 299.

Dưới đây là bản đồ Mirzakhani tìm ra. Bản đồ vẽ dưới dạng graph, mối điểm là một nước, hai điểm nối với nhau bởi một đường là hai nước có chung biên giới. Điểm bên phải nối với tất cả các điểm nằm ở biên của hình bên trái. Các số ở các đỉnh tương ứng với 4 màu nước đó chọn. Muốn hiểu làm thế nào Mirzakhani tìm ra được bản đồ này thì phải đọc bài báo của chị. Không biết 63 đã phải là số nhỏ nhất chưa? Tôi đoán là chưa.