Không đề

 

Bài thơ ngày nào anh viết cho em
Nay đã nằm bên kia chân trời sự kiện.
Những khao khát ngây thơ, ước mơ thánh thiện,
theo Hawking, rồi sẽ thành tương quan lượng tử giữa các hạt photon.

 

Advertisements

Igor Tamm and the Taylor expansion

From the memoirs of L.I. Vernsky, grandson of Igor Tamm, published in Воспоминания о И.Е.Тамме (3е изд., ИЗДАТ, Москва, 1995), pp. 108-109, translation by Google and me. (An alternative, more dramatic but in my view less reliable version of the story was told by G. Gamow in his book My World Line, Viking Press, 1970.)

In the summer of 1920 Igor Tamm decided to leave Crimea, then occupied by Wrangels’s troops, for Elisavetgrad, which was already liberated by units of the the Red 14th and 1st Cavalry Armies. He deliberately left his documents behind, as they were not suitable for leaving the territory occupied by the Whites, nor for crossing to the Reds. He crossed the front line without any problem; in any case, there wasn’t a solid front line. He and an accidental companion decided to spend a night in an empty building on an abandoned homestead. The two were soon detained by a Red Army detachment. Neither of them had any documents with them. To the people who arrested them, it appeared obvious that they were White scouts, deserved to be shot.

Luckily for Tamm, the commander of the detachment was a drop-out student. He grinned grimly while listening to Tamm’s explanation that he had graduated from the Physics and Mathematics Department of the Moscow University.

“So, you’re a mathematician? You’re lying, aren’t you? No problem, we will give you a test now. Here! Derive for me the formula for the expansion of a function in Taylor series. Including the remainder term! If you can do it, you will be freed. If not – you and your friend will face the firing squad.”

Tamm was given a pencil, a piece of paper and a candle. The soldiers brought an armful of fresh hay and locked Tamm and his companion in.

[Igor Tamm said] “My companion calmed down and quickly started to snore… And I was not up to sleep: outside the door was a sentry, and the deadline was the next morning.”

Tamm was nervous: not only his own life was on the table, but also the life of his innocent comrade.

“I was worried, and thus I did not manage to solve the problem. I did get the general idea but I made a mistake somewhere and got myself confused. The morning came and I still couldn’t find the damned mistake!”

In the morning, though no derivation was presented, the commander became convinced that the man knew mathematics. Tamm asked the commander to help him find his mistake.

“You know,” said the commander, “I can’t expand functions anymore… I’ve forgotten everything. I left my university more than two years ago. I was just being strict with you yesterday.”

Maryam Mirzakhani và bài toán 4 màu tự chọn

Maryam Mirzakhani, cho tới nay, là người phụ nữ duy nhất được huy chương Fields (năm 2014). Chị sinh ra ở Iran, hai lần đoạt huy chương vàng thi toán quốc tế. Mirzakhani học đại học ở Iran, sau đó sang Mỹ, từ năm 2008 là giáo sư đại học Stanford. Chị mới qua đời mấy hôm trước, lúc mới 40 tuổi. “A light was turned off today. It breaks my heart ….. gone far too soon.” – một người bạn của chị viết trên Instagram.

Tôi chắc chắn là mình không thể hiểu được những công trình đã đem lại cho Mirzakhani huy chương Field, nhưng tôi có tìm đọc bài báo đầu tiên của chị. Bài báo có lẽ viết năm 1995 hoặc 1996, được đăng năm 1996. Bài báo liên quan đến định lý bốn màu quen thuộc. Định lý này nói rằng ta có thể dùng bốn màu (ví dụ xanh, đỏ, tím, vàng) để tô bất cứ một bản đồ nào sao cho hai nước có đường biên giới chung bao giờ cũng được tô bằng hai màu khác nhau. Định lý này được Francis Guthrie, một nhà toán học đồng thời cũng là nhà thực vật học, phát biểu năm 1852 và đã được chứng minh vào năm 1976/1977 (với sự giúp đỡ của máy tính).

Bài toán Mirzakhani xem xét cũng liên quan đến việc tô màu bản đồ. Trong bài toán 4 màu kinh điển thì 4 màu có thể coi là do một cơ quan quốc tế chọn trước, tất cả các nước phải tô theo 1 trong 4 màu đó. Ví dụ nếu cơ quan quốc tế quyết định dùng 4 màu xanh-đỏ-tím-vàng thì nước nào trên bản đồ cũng được tô bằng một trong 4 màu đó, không thể bằng màu nào khác, như màu nâu chẳng hạn.

Bây giờ ta tưởng tượng các nước không thống nhất được 4 màu dùng cho bản đồ là những màu gì. Để giải quyết sự tranh chấp, người ta cho mỗi nước được chọn 4 màu của mình. Ví dụ nước A có thể chọn xanh-đỏ-tím-vàng, nước B chọn xanh-đỏ-tím-nâu, nước C đỏ-tím-vàng-nâu v.v. Nhiệm vụ của người làm bản đồ phải tìm cách tô bản đồ sao cho

1. nước nào cũng được tô bằng 1 trong 4 màu mình chọn, và
2. không có 2 nước láng giềng nào bị tô 2 màu giống nhau.

Liệu điều này có thể làm được với tất cả các bản đồ hay không? Tức là cho một bản đồ bất kỳ, cho mỗi nước chọn 4 màu bất kỳ, có phải bao giờ cũng tồn tại một bản đổ thoả mãn hai tính chất nói trên không?

Có thể nghĩ rằng nếu các nước khác nhau chọn những bộ 4 màu khác nhau thì phải dễ tô màu bản đồ hơn là lúc tất cả các nước phải dùng 4 màu giống nhau. Giả sử ta bắt đầu tô bản đồ từ nước A, sau đó chuyển sang nước B láng giềng. Nếu bản đồ chỉ dùng bốn màu xanh-đỏ-tím-vàng, nếu ta tô nước A màu vàng, thì nước B láng giềng chỉ có thể tô bằng một trong ba màu xanh-đỏ-tím. Nhưng trong trường hợp các màu là cho các nước tự chọn, nếu bộ 4 màu của nước B là xanh-đỏ-tím-nâu thì sau khi tô nước A màu vàng ta vẫn còn đủ 4 cách tô màu nước B, thay vì 3.

Tuy nhiên, người ta đã chứng minh được là phải cho mỗi nước được chọn 5 màu thì mới chắc chắn làm được bản đồ mà không ai bị tô màu mình không muốn. Năm 1993 người ta đã tìm ra một tường hợp với 238 nước mà, với một sự chọn lựa màu của từng nước, không tồn tại bản đồ mà nước nào cũng được tô 1 trong 4 màu của mình và khác màu tất cả các nước láng giềng.

Mirzakhani tìm được một bản đồ chỉ có 63 nước và một cách chọn bộ 4 màu của từng nước mà không tồn tại cách tô màu bản đồ với những tính chất viết ở trên. Ngoài việc giảm số lượng nước từ 238 xuống 63, ví dụ của chị còn có một tính chất rất hay là về nguyên tắc, nếu các nước chấp nhận tô màu gì cũng được, thì chỉ cần 3 màu là tô được toàn bộ bản đồ. Trước đây đã có giả thuyết là nếu bản đồ có thể tô được bằng 3 màu thì cho mỗi nước tự chọn 4 màu là đủ để làm bản đồ. Ví dụ của Mirzakhani chứng tỏ giả thuyết này là sai.

Bài báo ngắn và tương đối dễ hiểu, có thể đọc ở đây. Ngoài ra có thể xem thêm bài Tuổi trẻ của một người phụ nữ đạt huy chương Fields đăng ở tạp chí Epsilon số 13, trang 299.

Dưới đây là bản đồ Mirzakhani tìm ra. Bản đồ vẽ dưới dạng graph, mối điểm là một nước, hai điểm nối với nhau bởi một đường là hai nước có chung biên giới. Điểm bên phải nối với tất cả các điểm nằm ở biên của hình bên trái. Các số ở các đỉnh tương ứng với 4 màu nước đó chọn. Muốn hiểu làm thế nào Mirzakhani tìm ra được bản đồ này thì phải đọc bài báo của chị. Không biết 63 đã phải là số nhỏ nhất chưa? Tôi đoán là chưa.

Igor Tamm và người Ataman

“Câu chuyện này là do một người bạn, lúc đó (đầu những năm 1920) là giáo sư ở Odessa, kể lại cho tôi. Người bạn đó tên là Igor Tamm (giải Nobel vật lý năm 1958). Một lần ông đến một làng ngoại ô gần Odessa; thành phố Odessa lúc đó do Hồng quân kiểm soát. Ông đang mặc cả với một người nông dân xem đổi sáu cái thìa bạc được mấy con gà thì làng bị một nhóm quân của Makhno chiếm. Thời gian đó quân Makhno đang hoành hành ở nông thôn, quấy rối Hồng quân. Nhìn thấy áo quần của Tamm (hay là cái gì còn lại của áo quần), lính của Makhno dẫn ông đến người chỉ huy. Người chỉ huy là một Ataman (từ trong tiếng Nga dùng để chỉ thủ lĩnh Cozak) râu rậm, đầu đội mũ lông, băng đạn súng máy đeo vòng qua trước ngực, hai quả lựu đạn lủng lẳng ở thắt lưng.

– Thằng chó đẻ, thằng cộng sản quấy rối, mày phá hoại đất mẹ Ukraina! Mày sẽ phải trả giá bằng tính mạng!

– Không – Tamm trả lời – Tôi là giáo sư ở Đại học Odessa, tôi đến đây chỉ để kiếm cái ăn!

– Bậy bạ! – Ataman trả lời – Mày là giáo sư gì?

– Tôi dậy toán.

– Toán? – Được. Mày cho tao đánh giá sai số khi ta dừng khai triển chuỗi Maclaurin ở số hạng thứ n. Mày làm được thì tao sẽ thả. Không được thì mày sẽ chết!

Tamm không tin và tai của mình, vì vấn đề này thuộc về một lĩnh vực tương đối hẹp của toán cao cấp. Dưới họng súng, với bàn tay run rẩy, ông viết lời giải và đưa cho Ataman.

– Được! – Ataman nói. Mày đúng là giáo sư. Cho mày về!

Người này là ai? Không ai biết. Nếu người Ataman này sau này không bị chết trận, có khi hắn ta đang dạy toán cao cấp ở một trường đại học của Ukraina.”

Trích G. Gamow, My World Line (Viking Press, 1970)

Công thức Hardy-Ramanujan qua mô hình chất rắn Debye

Bạn nào đã xem cuốn phim The Man Who Knew Infinity chắc sẽ nhớ một công thức đóng vai trò rất quan trọng trong phim: công thức về hàm phân hoặch số nguyên, được Hardy và Ramanujan tìm ra năm 1918. Hàm phân hoạch p(n) định nghĩa rất đơn giản. Lấy ví dụ số 4; số này có thể biểu diễn bằng 5 cách khác nhau thành tổng các số nguyên:

4 = 4
4 = 3 + 1
4 = 2 + 2
4 = 2 + 1 + 1
4 = 1 + 1 + 1 + 1

Như vậy p(4) = 5. Tương tự p(5) = 7, p(10) = 42. Nhưng khi n tăng cao thì p(n) tăng lên rất nhanh, ví dụ, p(200) = 3.972.999.029.388. Trong phim MacMahon tính con số này bằng tay, không rõ bằng phương pháp nào. Hardy và Ramanujan tìm ra công thức cho tiệm cận của p(n) với n lớn,

p(n) \approx \displaystyle{\frac1{4n\sqrt3}}\exp\left(\pi\sqrt{\frac{2n}3}\right)

Nếu ta thay n = 200 vào công thức này thì ta sẽ tìm được p(200) = 4,10 × 1012, sai số 3.2% so với kế quả chính xác. n càng lớn thì sai số này càng bé.

Một cảnh trong phim

Có vẻ phương pháp mà Hardy và Ramanujan dùng để tìm được công thức này khá phức tạp. Trong bài này chúng ta sẽ dùng vật lý để tiếp cận công thức Hardy-Ramanujan. Tìm được toàn bộ tiệm cận của p(n) thì hơi khó, ta sẽ chỉ nhắm vào phần quan trọng nhất, phần exp thôi. Nói cách khác, chúng ta sẽ chứng minh:

\ln p(n) \approx \pi\sqrt{\displaystyle{\frac{2n}3}}

Để tìm được công thức này, chúng ta sẽ dùng một cách tiếp cận không chính quy. Ta sẽ dùng mô hình Debye của nhiệt dung của chất rắn. Công trình này của Debye được viết năm 1912, vài năm trước khi Hardy và Ramanujan công bố công thức cho p(n). Có lẽ Hardy và Ramanujan không biết về công trình của Debye.

Trước Debye người ta đã biết định luật Petit-Dulon, theo đó nhiện dung của một khối chất rắn là một hằng số không phụ thuộc vào nhiệt độ. Tuy nhiên thí nghiệm cho thấy định luật Petit-Dulon chỉ đúng ở nhiệt độ đủ cao, định luật này bị vi phạm ở nhiệt độ thấp. Einstein là người đầu tiên chỉ ra mối liên hệ giữa sự vi phạm định luật Petit-Dulon với cơ học lượng tử. Trong mô hình của Einstein, nhiệt dung là hằng số nếu nhiệt độ cao nhưng tiến tới 0 khi nhiệt độ giảm tới 0. Tuy nhiên trong mô hình của Einstein nhiệt dung tiến tới 0 nhanh hơn so với đo được trong thực nghiệm. Năm 1912 Debye đưa ra mô hình giải thích được sự biến thiên của nhiệt dung của chất rắn. Cách tiếp cận của Debye hết sức mới mẻ. Debye không nhìn chất rắn như một tập hợp các nguyên tử, ông nhìn chất rắn là một khí tạo ra bởi các hạt phonon – lượng tử của sóng âm thanh. Trong mô hình Debye, các nguyên tử chỉ là cái nền cho các hạt phonon lan truyển.

Để liên hệ với công thức Hardy-Ramanujan ta chỉ cần xem xét một chất rắn 1 chiều. Để dễ tưởng tượng, ta sẽ xét một chiếc dây đàn, căng giữa hai điểm A và B. Ta chọn trục x của hệ toạ độ chạy theo đường thẳng nối hai điểm A và B. Nếu độ dài dây đàn là L thì tại A ta chọn x = 0, tại B x = L.

Khi ta gẩy đàn sẽ có sóng lan truyền trên dây đàn. Sóng này coi như là âm thanh trong môi trường một chiều. Để cho đơn giản ta giả sử dây đàn chỉ dao động theo chiều y. Trạng thái của dây đàn tại một thời điểm nào đó được mô tả bới hàm y = y(x). Giả sử vận tốc lan truyền của sóng là v. Do hai đầu dây đàn bị đóng cứng, sóng trên dây đàn phải là sóng đứng, và biên độ của sóng biến thiên theo toạ độ và thời gian theo công thức

y = \sum\limits_{k=1}^\infty A_k\cos(k\omega_1 t + \alpha_k) \sin\left( \displaystyle{k \frac{\pi x}L}\right)

Trong công thức trên \omega_1 là tần số cơ bản của dao động của dây đàn,

\omega_1 = \displaystyle{\frac {\pi v}L}

và các hoạ ba (harmonic) cao hơn có tần số \omega_k=k\omega_1 với k=2,3,\ldots.

Bây giờ ta lượng tử hoá cái dây đàn. Mỗi tần số \omega_k nay tương đương với một dao động tử điều hoà, và dây đàn là một tổ hợp các dao động tử điểu hoà với tần số \omega_1, \omega_2, v.v. Các mức năng lượng của dao động tử điều hoà với tần số \omega\hbar\omega(n+\frac12). Như vậy để mô tả trạng thái lượng tử của dây đàn, ta cần một số vô hạn các số lượng tử n_1, n_2,\ldots n_k,\ldots trong đó n_k là số lượng tử của dao động tử với tần số \omega_k=k\omega_1. Như vậy

E = E_0 + \sum\limits_{k=1}^\infty \hbar k \omega_1 n_k

trong đó E_0 là năng lượng của trạng thái cơ bản. Để đơn giản từ nay ta sẽ đo năng lượng của dây đàn từ E_0, tức là cho E_0=0.

Bây giờ có thể nhận ra một điều như sau:

Có p(n) trạng thái lượng tử của dây đàn với năng lượng n\hbar\omega_1

Đây chính là điểm liên hệ giữa vật lý và công thức Hardy-Ramanujan. Nghĩ một lúc các bạn sẽ thấy điều này hầu như là hiển nhiên. Ví dụ ở mức năng lượng 4\hbar\omega_1 có năm trạng thái:

n_4=1; n_k=0, k\neq4
n_3=n_1=1; n_k=0, k\neq 1,3
n_2=2; n_k=0, k\neq 2
n_2=1, n_1=2; n_k=0, k\neq 1,2
n_1=4; n_k=0, k\neq 1.

Khi đã biết số trạng thái có năng lượng n\hbar\omega_1 bằng p(n), ta kết luận \ln p(n) chính là entropy khi năng lượng bằng n\hbar\omega_1, theo định nghĩa của entropy qua tập thống kê vi chính tắc (microcanonical ensenble).

Nhưng trong vật lý thống kê, ta có thể dùng tập thống kê chính tắc (canonical ensemble) để tính entropy của dây đàn, thay vì dùng vi chính tắc. Bình thường tính toán dùng tập thống kê chính tắc bao giờ cũng đơn giản hơn là dụng tập vi chính tắc.

Một điểm làm đơn giản bài toán là khi nhiệt độ lớn hơn tần số dao động cơ bản, ta có thể bỏ qua hiệu ứng bề mặt của hai đầu dây đàn. Bây giờ dây đàn có thể coi là một chất khí phonon một chiều. Bài toán như vậy được đưa về dạng một chiều của bài toán mà Debye đã giải quyết năm 1912 khi ông tính được nhiệt dung của chất rắn ở nhiệt độ thấp.

Bạn có thể làm tiếp những tính toán còn lại nếu bạn nào đã học vật lý thống kê; coi như đây là bài tập cho bạn. Bạn có thể tính entropy trực tiếp, hoặc tính nhiệt dung rồi lấy tích phân để tìm entropy. Kết quả là mô hình Debye của chất rắn cho ta phần exponent của công thức Hardy-Ramanujan.

\ln p(n) \approx \pi\sqrt{\displaystyle{\frac{2n}3}}

Cách tiếp cận vật lý cho công thức Hardy-Ramanujan trên đây có trong cuốn B. Zwiebach, A First Course in String Theory.

Thừa giấy vẽ voi

Có một bài viết hay của Freeman Dyson, “A meeting with Enrico Fermi. How one intuitive physicist rescued a team from fruitless research“, kể lại một sự kiện rất quan trọng trong cuộc đời của ông. Dyson kể lại rằng sau khi giải quyết xong vấn đề tương tác điện từ, ông bắt đầu nghiên cứu tương tác mạnh (lực hạt nhân). Năm 1953, ông cùng một số học trò rất say sưa với một lý thuyết tương tác mạnh, mô tả tương tác giữa proton, neutron và hạt pion gọi là “pseudoscalar meson theory”. Những tính toán của nhóm ông cho ra kết quả gần với kết quả thí nghiệm của Fermi. Ông ta rất tự hào với kết quả của mình và hẹn gặp Fermi để trình bày kết quả. Ông lên xe bus đi từ Ithaca, NY đến Chicago. Câu chuyện tiếp theo như sau (bản dịch của Nguyễn Đình Đăng):

Khi tới văn phòng của Fermi, tôi trao các đồ thị cho Fermi, nhưng ông hầu như không thèm nhìn chúng. Ông mời tôi ngồi, thân thiện hỏi thăm sức khỏe vợ tôi và con trai mới sinh của chúng tôi, hiện nay 50 tuổi. Rồi, với giọng nhẹ nhàng và đều, ông ra phán quyết, “Có hai cách tính toán trong vật lý lý thuyết,” ông nói. “Một cách, là cách tôi thích hơn, đó là có một bức tranh vật lý rõ ràng về quá trình anh tính toán. Cách kia là có một hình thức luận toán học chính xác và nhất quán. Anh chẳng có bất kỳ cách nào cả.” Tôi hơi choáng, nhưng đánh bạo hỏi ông vì sao ông không coi lý thuyết meson giả vô hướng (pseudoscalar meson theory) là một hình thức luận toán học nhất quán. Ông trả lời, “Điện động lực học lượng tử là một lý thuyết tốt vì các lực yếu, và khi hình thức luận còn mơ hồ, chúng ta có một bức tranh vật lý rõ ràng dẫn dắt chúng ta. Với lý thuyết meson giả vô hướng thì không có bức tranh vật lý nào cả, còn các lực thì quá mạnh đến nỗi chẳng có gì hội tụ được. Để đạt được kết quả tính toán, anh đã phải đưa vào một quy trình cắt bớt tùy tiện chẳng dựa trên cơ sở vật lý hay toán học chắc chắn nào cả.”

Tuyệt vọng, tôi hỏi liệu Fermi có ấn tượng với việc các con số tính toán của chúng tôi phù hợp với các con số mà ông đã đo được hay không. Ông trả lời, “Anh đã dùng bao nhiêu tham số tự do trong các tính toán của anh?” Tôi nghĩ một thoáng về quy trình cắt bớt của chúng tôi rồi nói, “Bốn.” Ông nói, “Tôi nhớ ông bạn Johnny von Neumann của tôi từng nói, với bốn tham số tôi có thể mô tả được con voi, còn với năm tham số tôi có thể làm nó ngọ nguậy cái vòi.”

Fermi cuối cùng đã đúng. Phải 20 năm sau đó người ta mới tìm được lý thuyết đúng đắn của tương tác mạnh, “sắc động học lượng tử”, mô tả tương tác giữa các quark. Các hạn như proton, neutron, pion đều làm từ quark. Trong lý thuyết meson giả vô hướng, các hạt này được coi là các hạt cơ bản, nên không thể là lý thuyết đúng. Tính toán của Dyson và học trò hầu như không còn được ai nhớ đến nữa. Không biết gì về quark, chỉ dùng trực giác vật lý, Fermi biết ngay là không thể tin được lý thuyết meson giả vô hướng. Dyson viết rằng nếu không có Fermi, ông ta và học trò chắc chắn sẽ mất nhiều năm vào một hướng nghiên cứu vô ích.

Đọc câu chuyện này tôi cũng nhận ra chính mình: bản thân tôi đã làm nhiều tính toán không có bức tranh vật lý rõ ràng, không có hình thức luận chặt chẽ, và thậm chí cũng không có cả thực nghiệm để so sánh!

Trở lại với vấn đề con voi. Tôi loay hoay mãi không vẽ được con voi mà chỉ dùng 4 tham số, như von Neumann nói. Tìm đọc trên internet tôi thấy đã có người viết là đã vẽ được voi dùng 4 tham số, nhưng tìm hiểu kỹ hơn thì hoá ra họ ăn gian: 4 tham số của họ là số phức, thực chất là 8 tham số thực. Chi tiết có thể đọc ở đây. Tuy nhiên chỉ cần dùng 2 tham số thực có thể vẽ được bức tranh “con trăn nuốt con voi” trong truyện Hoàng tử bé của Saint-Exupery. Bức tranh như sau:

và đây là đồ thị hàm số

y= \exp(-x^2) + a \exp(-(x-b)^2)

với a = 0.8 và b = 1.75.

Công thức Euler-Maclaurin

Công thức Euler-Maclaurin

f(0) + f(1) + f(2) + \cdots = \displaystyle{\int\limits_0^\infty\!dx\, f(x)} + \frac12 f(0) - \frac{f'(0)}{12} + \frac{f'''(0)}{720} + \cdots

rất hay được sử dụng trong vật lý, ví dụ trong bài toán về nghịch từ Landau, hay hiệu ứng Casimir. Hôm trước tôi có học mót được từ một người bạn cách chứng minh như sau.

Ta bắt đầu từ khai triển Taylor:

f (x+a) = f(x) + a \displaystyle{\frac{d f(x)}{d x}} + \frac{a^2}{2!} \frac{d^2 f(x)}{d x^2} + \frac{a^3}{3!} \frac{d^3 f(x)}{d x^3} + \cdots

Để cho tiện ta ký hiệu \mathrm{d}=d/dx. Ta có thể viết công thức trên như sau:

f (x+a) = \left(1+ a\mathrm{d}+ \displaystyle{\frac{(a\mathrm{d})^2}{2!}} +\cdots \right)f(x) = e^{a \mathrm{d}} f(x)

đo đó

f(0) + f(1) + f(2) + \cdots = (1+ e^{\mathrm{d}} + e^{2\mathrm{d}} + e^{3\mathrm{d}}+\cdots) f(x)|_{x=0}

Lấy tổng cấp số nhân trong ngoặc ta nhận được

f(0) + f(1) + f(2) + \cdots = \displaystyle{\frac1{1- e^{\mathrm{d}}}} f(x)|_{x=0}

Bây giờ ta lại khai triển hàm số (1-e^{\mathrm{d}})^{-1} thành chuỗi Taylor theo \mathrm{d}. Ta nhận được

\left(-\mathrm{d}^{-1}  + \displaystyle{\frac12} - \frac{\mathrm{d}}{12} + \frac{\mathrm{d}^3}{720} + \cdots\right) f(x)|_{x=0}

Bây giờ ta phải xác định \mathrm{d}^{-1} là gì. Nếu \mathrm{d} là đạo hàm thì tất nhiên \mathrm{d}^{-1} phải là tích phân. Giới hạn trên của tích phân thì theo công thức trên phải là 0, giới hạn dưới thì cứ lấy đại +\infty,

\mathrm{d}^{-1} = \displaystyle{\int\limits^0_{+\infty}\!dx}

Và như thế ta nhận được công thức Euler-MacLaurin ở trên.

Bài tập: tìm khai triển của

f\left(\displaystyle{\frac12}\right) + f\left(\displaystyle{\frac32}\right) + f\left(\displaystyle{\frac 52}\right) +\cdots - \displaystyle{\int\limits_0^\infty\!dx\, f(x)}

qua các đạo hàm của hàm số f(x) tại x=0.