Âm nhạc và các phân số

Xem update ngày 20/8 ở cuối bài.

Ai đánh ghita cũng biết khái niệm hợp âm (dân gian gọi là gam). Chỉ cần 3 gam là đánh đệm cho được rất nhiều bài hát. Bài nào vui, thì dùng hợp âm đô trưởng, fa trưởng, và son 7, bài buồn thì la thứ, rê thứ, mi 7. Nhưng trong các sách âm nhạc ít khi thấy giải thích nguồn gốc toán học của những hợp âm này.

Tại sao đánh 3 nốt Đô (C), Mi (E), Son (G) lên thì nó hòa với nhau rất tốt, thành hợp âm Đô trưởng, nhưng ví dụ đánh Đô và Fa thăng (F#) thì lại không hợp? Đó là do những hòa âm trong âm nhạc liên quan đến các phân số đơn giản.

Nhớ lại, trong 1 octave (quãng tám) có 12 nốt:

C, C#, D, D#, E, F, F#, G, G#, A, A#, B

Quy định là nốt A (La) của octave giữa tần số là 440 Hz. Giá trị chính xác của con số này không phải quan trọng đối với ta. Quan trọng là trong âm nhạc hiện đại, tần số các nốt trong octave lập thành một cấp số nhân, số sau hơn số trước 21/12≈1.0595 lần. Như vậy tần số các nốt là:

C= 440×2-9/12≈261.6 Hz
C#= 440×2-8/12≈277.2 Hz, v.v.

Ta lấy tần số của nốt Son chia cho tần số nốt Đô thì thương là:

G/C = 27/12=1.4983…≈3/2

đây gọi là quãng 5 (perfect fifth),

và nếu lấy thương của tần số nốt Mi cho nốt Đô thì có:

E/C = 24/12=1.2599…≈5/4 (quãng ba trưởng)

Như vậy tỉ lệ tần số của các nốt trong hợp âm trưởng (C:E:G) là gần bằng 4:5:6. Do tỷ lệ giữa các tần số gần với các phân số đơn giản (tử số và mẫu số nhỏ) nên nghe êm tai. Trái lại tỷ lệ giữa fa thăng (F#) và đô (C) là \sqrt 2, là số không gần với một phân số đơn giản nào, nên đánh F# cùng với C không hợp. Bạn đọc có thể tự tìm ra tỷ lệ đằng sau hợp âm la thứ: La – Đô – Mi.

Nhạc truyền thống của Việt Nam và nhiều dân tộc là nhạc ngũ âm (pentatonic, “cung thương làu bậc ngũ âm”), có thể xây dựng bằng một cấp số nhân khác với công bội là 3/2. Các nốt trong cung ngũ âm đại khái gần với

F – C – G – D – A

trong nhạc phương tây (không có E và B). Nếu ta chỉnh các nốt cho có 4 quãng năm lý tưởng thì tỷ lệ các tần số phải là:

1, 3/2, 9/8, 27/16, 81/64

(Mỗi lúc xuống 1 octave tần số giảm đi 2 lần.)

Các bài ngũ âm cũng có thể đánh được hoàn toàn bằng các phím đen trên đàn piano: F#, C#, G#, D#, A#.

Ví dụ bài Xòe hoa là hoàn toàn ngũ âm (dân ca Thái — lời Kinh):

Cùng nhau múa vui, chân em bước nhịp câu ca
C     F    A   G    G   G   A    D    F  F

Em múa vui em mừng cuộc đời.
G   A   G  F   D    C    C

Ơn Bác Hồ ghi nhớ muôn đời.
G   A  D   F   G   F    D

Vui sống trong độc lập tự do
G    A     G    F   D   C  F

Nhạc hiện đại đôi khi cũng dùng ngũ âm. Bài Tiếng hát trong rừng Pắc Bó chỉ loanh quanh 5 nốt đến gần cuối:

Trông vời lưng núi
F      C  F-A   A
Khuổi Nậm rì rào núi cao tầng mây
F      C  D   F   G   F   D    G

Nhạc Scotland truyền thống (Auld Lang Syne chẳng hạn) cũng là ngũ âm.

Vấn đề của thang có 4 quãng năm lý tưởng là giữa A và F tỉ lệ là 81/64, nhưng quãng ba lý tưởng phải là 5/4=80/64. Nếu ta định nghĩa A là 5/4 so với F, thì lại mất quãng năm D-A. Nhạc phương Tây đã bị vấp phải vấn đề này trong một thời gian dài, là quãng ba trưởng (5/4) không chính xác bằng 4 quãng 5 (3/2) trừ 2 quãng 8:

\displaystyle{\frac54} \neq \left(\frac32\right)^4\left(\frac12\right)^2

Ngày xưa người ta chỉnh piano chỉ đánh được một số gam ở giữa, càng ra xa nghe càng chóe. Việc chỉnh piano là một sự thỏa hiệp giữa quãng 5 và quãng 3, không bao giờ cả 2 quãng đều chuẩn cả hai. Đến thời Bach thì người ta chỉnh được cho tất cả các gam đều nghe được. Tập Well-Tempered Clavier soạn cho cả 24 gam trưởng và thứ.

Trong thang nhạc phương tây hiện đại, quãng 5 rất tốt nhưng các quãng 3 thì không tốt lắm.

E♭/C = 23/12=1.1892…≈6/5

Quãng 7 thì tệ:

B♭/C = 210/12=1.7818≈7/4

Christiaan Huygens đề xuất dùng âm nhạc với thang có 31 nốt trong một octave. Lúc đó quãng 5 sẽ là

218/31=1.4955≈3/2

hơi kém hơn thang 12 nốt, nhưng các quãng 3 trưởng và thứ thì tốt hơn hẳn:

210/31=1.2506≈5/4

28/31=1.1959≈6/5

Quãng 7 cũng hơn hẳn:

225/31=1.7489≈7/4.

Tuy vậy thang nhạc 31 nốt này hoàn toàn không được phổ biến, có lẽ do số nốt nhiều quá.

Bạn nào muốn biết hơn có thể tham khảo D. J. Benson, Music: a mathematical offering.

Update 20/8/2010: nếu đọc work profiles của những người được huy chương Fields năm 2010, ta thấy có 1 người làm những vấn đề hơi liên quan đến các thang âm nhạc bàn ở đây. Đố các bạn biết đó là ai?

11 responses to “Âm nhạc và các phân số

  1. Em có một thắc mắc là tại sao khi nghe các tần số có tỷ lệ là hữu tỉ đơn giản thì lại hay hơn khi có tỷ lệ là số vô tỷ. Hệ thống âm nhạc của cả phương Tây và phương Đông cùng đưa đến một kết luận chung, nghĩa là cảm nhận nhạc là hay về mặt tỷ lệ tần số của các nốt nhạc có tính tổng quát (thích các tỷ lệ các tần số là số hữu tỷ đơn giản ) . Nhưng tỷ lệ vàng thì lại là số vô tỷ. Như thế cũng không thể nói đặc tính của người là thích số hữu tỷ hơn vô tỷ. Giáo sư có cách giải thích nào không ạ?

    • Có lẽ đây là đặc tính của thính giác con người. Có thể giải thích được là tại sao tai người không thích 2 nốt tần số gần nhau đánh cùng với nhau, vì sẽ có hiện tượng “beat”, nghe chối tai.

      • Tuy em không biết nhiều về tóan,trình độ em chỉ dừng lại ở lớp 12 rồi đi làm.Những khi buồn buồn hoặc có một cảm xúc bất chợt em thừong cảm thấy có vài âm thanh phát triên trong nảo bộ,âm thang đó rất cao không biết là nốt mấy,cung nào nhưng âm cao lắm.
        Mình có thể dùng công thức toán học nào đó để chứng minh sự khác nhau giữa ngừoi khùng ,điên đựoc không ạ

      • Sửa giúp em vài lỗi chính tả nhé và cho em đính chính lại “khác nhau giữa ngừoi khùng,điên và ngừoi bình thừong

    • Xin Giáo sư cho em chen vào trả lời bạn Dung Nguyen một chút:

      Trong chương trình Vật lý 12 (bộ cũ) có nhắc đến khái niệm “âm sắc”, đó là khi đánh, gẩy, thổi… một nốt nhạc trên nhạc cụ (VD nốt La có f = 440Hz) thì không chỉ có một âm thanh 440Hz được phát ra, mà đồng thời còn có các âm phụ có tần số 2f, 3f,… nf – phổ kết hợp của các dao động âm này tạo ra âm sắc của mỗi nhạc cụ. Lưu ý là n càng lớn thì biên độ âm phụ càng nhỏ.

      Có lẽ khi tấu lên một bản nhạc (tần số gốc) có tỷ lệ là các phân số đơn giản, các âm liên tiếp sẽ tìm được “tiếng nói chung” với n và n’ (tạm gọi như thế) nào đấy đủ nhỏ chăng? Còn đối với các số hữu tỷ cồng kềnh, có khi nào n và n’ sau khi quy đồng quá lớn (biên độ âm cộng hưởng tương ứng rất nhỏ ~0) nên chúng ta không cảm nhận được, và đánh mất đi sự mượt mà của giai điệu?

      Công nghệ nén nhạc kỹ thuật số chủ yếu dựa trên nguyên tắc rút bớt các âm phụ có n quá lớn, có lẽ đó cũng là lý do tại sao nhạc giao hưởng cứ phải nghe losslesss mới thấy mượt ^_^

      Trên đây là vài dòng của một kẻ ngoại ngạch đối với cả Vật lý và Âm nhạc (em là dân Sinh học), nếu có gì không phải xin Giáo sư và các bậc đàn anh chỉ bảo ^_^

      • Cũng có thể là như thế nhỉ? Nếu vậy thì khi cho hai âm thoa (hay hai dụng cụ gì phát ra âm thanh chỉ một tần số, không có các tần số phụ) chơi cùng với nhau thì ta sẽ không thấy nó hòa vào nhau mặc dù tỷ lệ tần số có thể là số hữu tỷ đơn giản.

      • Ý tưởng của bạn rất hay. Mình nghĩ đến họa âm bậc cao nhưng lại e dè vì “beat” cũng của họa âm bậc cao. Nhưng mình nghĩ bạn có lý vì nghe nhạc MIDI là nhạc đơn sắc thì không hay thật.

  2. Cám ơn anh vì bài viết thú vị.

    Có 1 góp ý nhỏ về khái niệm trong câu đầu tiên mà em thấy nhiều người hay nhầm.

    Theo em hiểu, gam (tiếng Pháp là gamme, tiếng anh là scale) là 1 chuỗi các nốt liên tục:
    http://fr.wikipedia.org/wiki/Gamme_musicale
    http://en.wikipedia.org/wiki/Musical_scale

    Khác với hợp âm (chord) là 1 set các notes được play đồng thời: http://en.wikipedia.org/wiki/Chord_%28music%29

    Trong guitar, “chạy gam” là 1 cách để luyện kỹ thuật (luyện ngón).
    Còn “hợp âm” để đệm cho bài hát thì chắc đúng rồi.

  3. Hay quá anh Sơn ơi và bạn Thanh. Bây giờ em mới hiểu vì sao lai có các hợp âm như vậy.

  4. Thưa thầy, em có 1 thắc mắc là không biết thầy có biết chơi guitar không ạ😀

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s