Huy chương Fields 2010 và vật lý

Tôi (chắc nhiều bạn đọc khác cũng thế) hôm qua nóng lòng đón chờ thời điểm công bố huy chương Fields cho năm 2010. Tôi không chờ đợi có bất ngờ gì lớn, vì trên internet trước đó mọi tranh cãi đều quanh chủ đề “ngoài Ngô ra, ai sẽ được nữa”. Nhưng lúc trao giải vẫn là một khoảnh khắc hân hoan.

Sau đó đọc về những người khác được huy chương Fields, thì lại có một sự bất ngờ nho nhỏ: cả 4 huy chương Fields trao năm nay đều liên quan đến vật lý. Tôi đã viết về mối liên hệ giữa công trình của Ngô Bảo Châu và tính đối ngẫu điện từ trong một bài trước đây.  Smirnov thì làm về cơ sở của vật lý thống kê, Villani được giải vì công trình liên quan đến phương trình Boltzmann và sự suy giảm Landau trong plasma, còn Lindenstrauss có làm về quantum chaos.

Tôi không thạo về quantum chaos, nhưng có dịp nào đó tôi sẽ viết về phương trình Boltzmann và sự suy giảm Landau. Hôm nay tôi viết về một công trình  của Smirnov, từ quan điểm của một người làm vật lý. Công trình này Smirnov làm cùng với Duminil-Copin. Tôi phải nói ngay với các bạn là những điều tôi viết ra đây chỉ là dựa vào đọc (rất qua loa) những thông tinh trên website của ICM, không phải là do đọc những công trình nguyên thủy.

Công trình của Smirnov ta sẽ bàn ở đây là về “self-avoiding random walk on a hexagonal lattice”. Để giải thích kết quả này, ta sẽ dùng một mô hình vật lý như sau.

Giả sử ta có một phân tử polymer. Nhắc lại, phân tử polymer là một chuỗi các mắt xích ngắn. Ta giả sử tất cả các mắt xích đều là những đoạn thẳng có độ dài bằng 1. Tất cả các mắt xích đều nằm trên một mặt phẳng, và tất cả các góc giữa các cặp hai mắt xích liền nhau là 120 độ. Ngoài ra, polymer không được có đoạn nào khép kín. Ví dụ một cấu hình của polymer có 11 xích là như dưới đây:

polymer

nhưng có rất nhiều cách vẽ một polymer có 11 xích và thỏa mãn các điều kiện trên.

Giả sử số lượng mắt xích là N, và số lượng cấu hình không tương đương của polymer là c_N. Ta giả sử tất cả các cấu hình có năng lượng bằng nhau. Ta định nghĩa entropy của polymer là \ln c_N. Entropy trên một mắt xích là \ln c_N/N. Duminil-Copin và Smirnov chứng minh được là ở giới hạn N\to\infty (trong vật lý gọi là giới hạn nhiệt động học), entropy của trên một mắt xích tiến tới một giới hạn nhất định:

\lim_{N\to\infty} \frac1N \ln c_N = \ln x, \qquad x=\sqrt{2+\sqrt{2}}

Bài toán trên gọi là self-avoiding random walk vì hình polymer giống như quỹ đạo một người say đi một cách ngẫu nhiên, cứ đi được 1 bước thì đổi hướng 60 độ sang trái hoặc sang phải, tất cả các bước đi đều bằng nhau, và bị giới hạn là không bao giờ quay về  những vị trí đã từng đi qua rồi.

Bài toán này được Pierre-Gilles de Gennes, một nhà vật lý Pháp, chứng minh là tương đương với bài toán tìm nhiệt độ Curie trong một mô hình của chất sắt từ. Chất sắt từ là chất mà tự nhiên tất cả các nguyên tử trong tinh thể đều có mômen từ hướng về một hướng. Lý do là  khi các mômen từ lân cận chỉ về một hướng thì năng lượng là cực tiểu. Khi ta nung một chất sắt từ lên nhiệt độ cao thì dao động nhiệt của các môment từ quay lung tung do chuyển động nhiệt, và từ tính bị mất đi hoàn toàn ở một nhiệt độ tới hạn nào đó. Nhiệt độ này gọi là nhiệt độ Curie. Ông de Gennes chỉ ra rằng số x trên kia có liên quan chặt chẽ đến nhiệt độ Curie trong một mô hình của chất sắt từ. Ông de Gennes được giải thưởng Nobel về vật lý năm 1991. Sử dụng kết quả của de Gennes, các nhà vật lý tìm ra giá trị của x từ lâu, nhưng không chứng minh chặt chẽ.

Trong trường hợp bài báo này của Smirnov và Duminil-Copin, vật lý đi trước khai phá, toán học đi sau và xây dựng lại cho chặt chẽ. Mối tương quan giữa vật lý và toán nhiều khi là như vậy.

Đoạn sau viết dành cho các bạn biết về vật lý thống kê:

Mô hình toán học mô tả chất sắt từ là mô hình spin, ở đó ta có một tinh thể, ở mỗi điểm trong tinh thể là một vectơ. Năng lượng của một cấu hình là tổng các năng lượng tương tác giữa 2 cặp spin. Năng lượng tương tác thì bằng âm của tích vô hướng của hai spin:

E = - \sum_{\langle ij\rangle} \vec S_i \cdot\vec S_j

Mô hình này được gọi là mô hình O(n), n là số chiều của vectơ \vec S_i. Bình thường n=3 nhưng về nguyên tắc n có thể là số bất kỳ. de Gennes chứng minh được rằng con số x trên kia chính là nghịch đảo của nhiệt độ Curie trong mô hình spin O(n), trong giới hạn n\to 0 (và trong trường hợp này là lưới lục giác hai chiều).

Sau đó, Nienhuis trong một bài báo viết năm 1982, dùng các lý luận vật lý đưa tìm ra kết quả chính xác cho nhiệt độ Curie trong mô hình O(n) trên lưới lục giác,

T_c^{-1} = \sqrt{2+\sqrt{2-n}}

Thay n=0 ta tìm được kết quả nói trên. Nhưng Duminil-Copin và Smirnov có vẻ là những người đầu tiên chứng minh được công thức này một cách chặt chẽ toán học.

Viết thêm ngày 22/8: Bài toán sau đây là một bài rất khó. Chứng minh rằng

\displaystyle{\frac{\ln c_N - N \ln x}{\ln N}}

tiến tới một giá trị hữu hạn khi N\to\infty. Đây là một mệnh đề các nhà vật lý tin là đúng.

29 responses to “Huy chương Fields 2010 và vật lý

  1. Đỗ Hoàng Sơn

    Cám ơn anh Sơn đã giải thích!
    Em đợi các bài tiếp theo của anh về 2 giải Fields còn lại.

  2. Như thường lệ, những vấn đề phức tạp được anh diễn giải vô cùng dễ hiểu. Mong được đọc anh nhiều hơn.

  3. Em vẫn chưa rõ là tại sao giới hạn số chiều đến 0 thì nhiệt độ Curie của hệ spin hexagonal lattice sẽ có liên hệ với entropy của mắt xích random walk. Nếu hệ thành 1 chiều thì trong công thức năng lượng sẽ chỉ gồm tích của các spin theo phương z. Nhưng em vẫn không nghĩ được số chiều thành 0 thì tích vô hướng trong công thức năng lượng sẽ thành gì.

    Em có một ý nghĩ là nếu số chiều bằng 0, thì spin chỉ có theo phương z ( như là với 1 chiều) và chỉ có giá trị là 0 và 1 ( không có chiều nên không tính giá trị âm). Với một mạng hexagonal lattice ( mạng I), tập hợp trung điểm của 2 nút mạng kề nhau cũng sẽ tạo thành một hexagonal lattice (mạng II) . Giả sử mạng II là một hệ spin với giá trị 0 hoặc 1, và nếu tại một nút mạng của mạng II có spin bằng 1 thì cạnh của mạng I lấy nút mạng đó làm trung điểm sẽ làm thành 1 xích của polymer ( em lấy giá trị 1 và 0 để liên tưởng đến việc có hoặc không có xích giữa 2 nút của mạng I) . Liệu với tưởng tượng như vậy thì nhiệt độ Curi của mạng II có liên hệ gì với entropy của chuỗi polymer trong mạng I không ạ?

  4. Ôi, nhưng mà ý nghĩ của em đã sai ngay từ đầu rồi.

  5. Em thấy nhiều nơi hay dùng lattice Z^d/ L^N*Z^d với L là số nguyên lẻ lớn hơn 2^(d+1). Đôi khi, họ nhắc đến những mô hình như Dipole gas và correlation functions. Anh Sơn có thể giải thích cho em biết ý nghĩa ẩn chứa bên trong đó không?
    Ở ICM 2010, D. Brydge cũng có bài talk ở Section 12/13 về Renormalisation group analysis of weakly self-avoiding walk in dimensions four and higher (http://arxiv.org/abs/1003.4484). Cách đây khoảng 25 năm, Gaw\c edzki, K. and Kupiainen, A có ra loạt bài về Massless lattice $\phi_4^4$ theory, nhưng rất khó đọc.

    • Tôi không rõ là sẽ phải viết như thế nào, vì không biết chính xác là bạn cần những thông tin gì. Tôi chỉ muốn làm rõ ở đây cái bối cảnh (context) vật lý và lịch sử của những mô hình này. Xin lỗi là tôi viết dài dòng và những điều viết ra có thể không phải là những thứ bạn cần.

      Những mô hình này xuất hiện trong bài toán chuyển pha: một số chất ở nhiệt độ thấp thì ở một thể (pha), ở nhiệt độ cao ở một thể khác. Ví dụ như chất sắt từ trong bài viết của tôi. Mô hình đơn giản nhất là mô hình spin.

      Khoảng những năm 30 Landau xây dựng một lý thuyết của các chuyển pha. Đối với chuyển pha bậc hai (các chuyển pha liên tục), lý thuyết Landau có những tiên đoán hết sức cụ thể về giá trị của các chỉ số tới hạn (critical index). Ví dụ lý thuyết Landau tiên đoán rằng ở nhiệt độ chuyển pha, nếu ta tính giá trị trung bình của tích hai spin ở hai điểm khác nhau \langle \vec S(x) \vec S(y) \rangle (cái này gọi là correlation function), ta sẽ nhận được một hàm số mà ở giới hạn |x-y|\to\infty giảm như là 1/|x-y|^{-(d-2)}, trong đó d là số chiều của không gian.

      Lý thuyết của Landau rất đơn giản và giải thích được nhiều kết quả thực nghiệm về các chuyển pha bậc hai một cách định tính. Nhưng về mặt định lượng, các đo đạc cho thấy những giá trị của các chỉ số tới hạn không hoàn toàn đúng. Ngoài ra, năm 1944 Onsager tìm ra lời giải chính xác cho mô hình Ising hai chiều (một mô hình spin đơn giản nhất), và các kết quả không phù hợp với lý thuyết Landau. Ví dụ correlation function biến thiên ở khoảng cách lớn như 1/|x-y|^{1/4}.

      Trong một thời gian dài người ta biết rằng lý thuyết Landau phải được sửa chữa, nhưng không ai biết làm thế nào. Bước ngoặt xảy ra vào những năm 1960-70 do công của nhiều người như Kadanoff, đặc biệt là Wilson. Lý thuyết chuyển pha hiện đại sư dụng công cụ của lý thuyết trường, đặc biệt là phương pháp nhóm tái chuẩn hóa (renormalization group). Phương pháp này cho chúng ta một cái nhìn sâu sắc và toàn diện về các chuyển pha. Nó cũng cho phép ta tính một cách khá chính xác giá trị của các chỉ số tới hạn khi d=3. Wilson được giải Nobel về vấn đề này.

      Cách nhìn lý thuyết trường còn cho thấy khi d>4 lý thuyết Landau là chính xác: ví dụ correlation function giảm như 1/|x-y|^{-(d-2)} ở khoảng cách lớn (thực ra về mặt lịch sử Ginzburg tìm ra điều này trước khi có phương pháp nhóm tái chuẩn hóa). Mệnh đề này có lẽ là cái Brydges & Slade tìm cách chứng minh chặt chẽ. Từ quan điểm của vật lý, trường hợp d>4 là trường hợp đơn giản nhất.

      Lý thuyết trường và nhóm tái chuẩn hóa là những công cụ rất cơ bản của vật lý hiện đại. Theo tôi hiểu, chúng còn chưa được làm chặt chẽ về mặt toán học, trừ một số trường hợp riêng.

  6. Bài báo này của Smirnov mới công bố cách đây 2 tháng, mà giải Fields chắc là xét từ trước đấy.

    • Có lẽ họ xét những bài trước đó về percolation, và Ising model. Nhưng bài báo trên cũng được nhắc tới một cách rất khen ngợi trong laudations cho Smirnov.

  7. nguyễn hữu hà

    anh Sơn à
    em nghe nói công trình của anh Ngô Bảo Châu có ứng dụng rất nhiều vào vật lý học của chúng ta. Anh có thể nói sơ qua cho chúng em hiều một phần nào đó được không?

    • Thực ra tôi cũng chỉ nghe người khác nói lại thôi, chứ cũng không hiểu sâu sắc gì. Công trình của Ngô Bảo Châu rất quan trọng trong chương trình Langlands. Một cách phát biểu của chương trình Langlands gọi là chương trình Langlands hình học. Chương trình Langlands hình học này có liên hệ rất chặt chẽ đến một hiện tượng trong vật lý, là sự đối xứng giữa điện trường và từ trường.

  8. Hồi trước em đọc báo cũng có biết công trình của anh và khám phá vật lý mới về mô hình lỗ đen lỏng, vậy anh có thể public cái tư liệu hoặc post một bài viết về chủ đề này được không ạ. Xin cảm ơn.

    • Tôi xin khất đến một lần sau. Tạm thời bạn đọc cuốn sách của Susskind, “The black hole war” (đã dịch ra tiếng Việt với cái tên “Cuộc chiến lỗ đen”), nhất là chương 23.

    • Nội dung về chuyên môn vật lý trong bài này thì khá chính xác, nhưng phần đánh giá trong box thì báo Tuổi Trẻ quá lạc quan, không có cơ sở (đếm cua trong lỗ…đen!).

    • Đỗ Hoàng Sơn

      Ô! Lâu ngày không để ý vậy là có kết quả thực nghiệm kiểm chứng rồi! Vậy cái phần viết trong box màu xanh cũng ko phải là ko có cơ sở!

  9. Có khi sắp tới lại có những bài “Những chuyện chưa kể về Đàm Thanh Sơn”🙂

  10. Đặng Minh Tuấn

    Bài báo của tuổi trẻ trên kia, nếu em nhớ không nhầm bác Yêm đã viết trên tạp chí tiasang một bài tổng quan về các vấn đề của anh Sơn đã được đăng trên Nature. Không hiểu bài ở tuoitre này có phải cóp lại từ tiasang không?

    Rất mong được đọc bài sơ lược của anh Sơn về chuyên môn vật lý đã được nhắc tới trên blog, cách anh viết rất dễ hiểu.

  11. Phan Quang Minh

    Em đang mong chờ cái điều trong Box bài trên Tuổi Trẻ đấy anh Sơn ơi. Lâu rồi không gặp anh. Khi nào về VN thì qua Tinh Vân chơi anh nhé.

  12. Pingback: Giải Nevalina 2010 « Vuhavan's Blog

  13. Công trình chính của Smirnov là định lý về conformal invariance trong perculation theory, chứng minh cách đây chừng mười năm. Định lý này rất quan trọng trong chương trình của Schramm et. al. Lần trươc một thành viên của đội này, anh Werner cũng đã được huy chương. Định lý bác Sơn viết cũng rất hay, nhưng có vẻ mới, chưa ai biết lắm.

  14. Hi bác Sơn

    Bài bác viết về kết quả của Smirnov liên quan tới vật lý thống kê rất thú vị

    Có chỗ bác viết n = số chiều của vector, rồi lại lấy n tiến tới 0, em không hiểu lắm. Chẳng hạn O(1/3) là cái gì ?

    Em thì hiểu nôm na là lấy giới hạn khi số điểm trong tinh thể tiến tới vô cùng, còn kích thước của điểm tiến tới 0, có đúng không ?

    Cái giới hạn toán học ở dòng cuối bài vẫn là bài toán mở đấy à ? Một công thức khá thú vị.

  15. Ý nghĩa vật lý của bài toán mở ở cuối bài là gì vậy anh Sơn?
    Cảm ơn anh.

    • Ntzung, Huy,

      1. Để lấy giới hạn n\to 0 đầu tiên ta viết partition function của mô hình spin, sau đó làm analytic continuation. Có lẽ đầu tiên ta viết partition function ra một dạng mà số n xuất hiện explicitly.

      2. Các nhà vật lý biết là asymptotics của c_Nc_N \sim x^N N^\alpha. Ngoài ra số \alpha là universal cho tất cả các self-avoiding random walk. Ví dụ ta cho phép self-crossing, nhưng với mỗi lần tự cắt ta cho một weight là 0.9 chẳng hạn, thì x thay đổi nhưng \alpha không thay đổi. \alpha cũng không phụ thuộc vào lưới, ví dụ ở lưới vuông hay lưới tam giác \alpha vẫn thế. Hình như \alpha=11/32. Tính universality này là một điểm rất quan trọng trong vật lý, mà hình như là chưa chứng minh chặt chẽ được bằng toán học. Tính universality cho phép ta mô tả rất nhiều chuyển pha bậc hai, xảy ra trong nhiều chất khác nhau, bằng một lý thuyết định lượng.

  16. chào anh Sơn,
    em có một câu hỏi liên quan đến black hole – do gần đây em đọc về LHC của CERN : nếu có 1 black hole được tạo ra trên bề mặt trái đất, dù có kích thước rất nhỏ / thì ảnh hưởng của nó đến trái đất sẽ ntn?
    e. Việt

  17. cám ơn anh về câu trả lời ! anh có thể ước lượng khoảng bao lâu thi black hole đó sẽ làm trái đất biến mất? Nếu sự việc xảy ra nhanh, hủy diệt trái đất như ở cerntruth website thì các nhà vật lý sẽ làm gì để ngăn chặn thí nghiệm đó?

    • Có nhiều lý do để cho thí nghiệm ở CERN không thể tạo ra được lỗ đen.

      1. Năng lượng quá thấp. Để cho khái niệm lỗ đen có ý nghĩa khối lượng của nó phải lớn hơn khối lượng Planck (10-5 g), tương đương với năng lượng 1019 GeV. Trong lúc đó năng lượng của va chạm tại LHC nhỏ hơn 104 GeV.

      2. Nếu lỗ đen có thể tạo ra ở năng lượng của LHC, thì nó phải bốc hơi ngay, do hiệu ứng Hawking. Nó sẽ không kịp ăn thêm một hạt nào trước khi bốc hơi.

      3. Va chạm của tia vũ trụ với vật chất ở năng lượng LHC, hay lớn hơn năng lượng đó vẫn xảy ra thường xuyên, trên bề mặt khí quyển trái đất hay trên mặt trăng, nhưng cả trái đất và mặt trăng vẫn không bị lỗ đen ăn mất.

  18. Cám ơn anh Sơn về lời giải thích !
    một lần em có làm việc với 1 đồng nghiệp người Đức về Ink Jet printer (nghề tay trái lập trình linux cho printer) và biết anh ta cũng dân Vật lý lý thuyết (Uni Heidenberg), anh ta hỏi em người nước nào? Khi biết Việt nam, anh ta hỏi có biết Trần Thanh Vân ko? và Đàm Thanh Sơn nữa? anh ta cũng có nói anh Sơn hay qua giảng bài bên Đức.
    Đọc một số post của anh Sơn thấy người hiểu Vật lý thực sự giải thích rõ ràng và đơn giản hóa mọi vần đề phức tạp. Trước đây bọn khoa lý em DHTH Hanoi được học ” môn cơ học lộn cổ ” chưa thấy vẻ đẹp của nó đâu đã thấy cô giáo bảo các anh các chị cẩn thận 80% trượt lần thi đầu đấy, khóa nào cũng vậy, và sau đó trên bảng chi chít những phương trình vô nghĩa, ko có một lời giải thích mang tính vật lý nào … và đúng khóa em cũng 15 người trên 5 điểm còn 45 người thi lại ( trong đó có em). Khi sang Đức em thử nghe giáo sư Đức giảng cơ học lượng tử, khác hẳn !!! và sau này em cũng hiểu để tính toán một số cái tunelling trong linh kiện bán dẫn. Ôi môn cơ học lộn cổ của cô Tú Uyên làm kiếp đảm mây chục khóa khoa Vật lý !!!

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s