Chào mừng Hòa Thượng Thích Học Toán: Chương trình Langlands và Vật lý

Bài này tôi viết nhân dịp thành tựu của Hòa Thượng Thích Học Toán được báo Time đưa vào 1 trong 10 sự kiện khoa học quan trọng nhất của năm 2009.  Tôi thực ra không biết gì lắm về chương trình Langlands, hay quan hệ của nó với Vật lý, nhưng sự kiện này làm tôi quyết định mạnh dạn viết ra những gì mình biết, ở trình độ khoa học thường thức thôi, coi như một món quà nhỏ gửi tặng Hòa Thượng. Bạn đọc sẽ thấy đoạn cuối hơi bị “cụt”. Đầu đề bài viết đáng lẽ phải khiêm tốn hơn, nhưng thôi cứ để thế để lôi kéo bạn đọc gần xa.

Trước hết, chúng ta nhắc lại một số thức phổ thông về tương tác điện từ.

Chắc ai cũng nhớ định luật Coulomb: hai điện tích e_1e_2 tương tác với nhau bằng lực

F = e_1 e_2/r^2

Nếu e_1 va e_2 cùng dấu thì đây là lực đẩy, còn nếu e_1e_2 ngược dấu thì nó là lực hút. Ta sẽ viết công thức này theo một cách khác. Do công (tức là năng lượng) = lực \times quãng đường, thế năng giữa hai hạt đó bằng:

U = e_1 e_2/r

Bây giờ giả sử ta giam hai hạt có điện tích e ở trong một cái hộp có kích thước mỗi chiều là r.

Theo công thức trên thế năng của hai hạt là khoảng e^2/r. Động năng thì là bao nhiêu? Theo lý thuyết lượng tử, khi một hạt bị giam vào một cái hộp như vậy, thì nó không thể nào đứng yên. Nguyên lý bất định của Heisenberg cho biết là xung lượng p của hạt này phải lớn hơn \hbar/r, trong đó \hbar là hằng số Planck: p> \hbar/r.

Một hạt có xung lượng thì phải có năng lượng. Theo quan điểm của thuyết tương đối thì năng lượng và xung lượng được hợp nhất thành một vectơ 4 chiều: (E, cp), trong đó c là tốc độ ánh sáng.  Không gian này là không gian Minkowski, ở đó độ dài của véctơ đó là (E^2 -(cp)^2)^{1/2} (chú ý dấu trừ!). Một hạt có khối lượng là m thì độ dài của véctơ này là mc^2:

E^2-(cp)^2 = m^2c^4

Giả sử kích thước của hộp r rất nhỏ, khi đó p lớn hơn nhiều mc, và E\approx cp.

Như vậy nếu ta có hai hạt bị giam vào một hộp kích thước r, động năng của chúng ít nhất sẽ là \hbar c/r, và thế năng là e^2/r. Tỷ lệ (thế năng)/(động năng) bằng e^2/(\hbar c), không phụ thuộc và kích thước của hộp. Thay thế giá trị của e, \hbar, c trong tự nhiên vào, con số này bằng 1/137 (chính xác hơn là 1/137.036)  Thế năng nhỏ hơn động năng khoảng 100 lần. Đây là một hằng số cơ bản của tự nhiên, vì lý do lịch sử, nó được gọi là “hằng số cấu trúc tinh tế”. Hầu như tất cả mọi thứ quanh ta (kể cả hóa học, sinh vật học) đều phụ thuộc vào hằng số này. Ví dụ ta có khoảng 100 nguyên tố hóa học trong bảng tuần hoàn chính là do nghịch đảo của hằng số này bằng khoảng 100.

Tuy thế trong tự nhiên có một điểm rất lạ mà không ai giải thích được: đó là điện tích của tất cả các hạt đều bằng một số nguyên nhân cho điện tích cơ bản. Điện tích cơ bản là 1/3 điện tích electron. Các hạt quark có thể có điện tích 2 lần hay 1 lần điện tích cơ bản nhưng không có hạt nào có điện tích, ví dụ, bằng 1/4 hay \pi lần điện tích của electron.

Tại sao lại như vậy? Năm 1931 Paul Dirac đưa ra một lời giải thích hết sức đặc sắc. Ông ta giả thiết thế giới không những chỉ có điện tích, mà có cả “từ tích”. Từ tích, hay còn gọi là đơn cực từ, là nguồn của từ trường. Bình thường một nam châm bao giờ cũng có cực bắc và cực nam.

Ta cứ tưởng tượng có thể tách hai cực của nam châm ra khỏi nhau, thì hai phần đó là hai đơn cực từ. Đơn cực từ chỉ mang một cực, hoặc là bắc, hoặc là nam, cũng như điện tích có thể dương, có thể âm.

Ta sẽ bàn việc đơn cực từ có tồn tại thật trong vũ trụ không sau đây một chút.

Hai đơn cực từ cũng tương tác với nhau giống như định luât Coulomb, nhưng ta thay điện tích bằng từ tích: F=m_1 m_2/r^2. Nhưng Dỉrac tìm ra là khi ta lấy một cặp bất kỳ bao gồm một điện tích e và một từ tích m, cơ học lượng tử đòi hỏi tích của em phải là một số nguyên lần \hbar c/2:

e m = \frac n2 \hbar c, \qquad n\in \mathbb{Z}

Như vậy chỉ cần trong vũ trụ có một từ tích có giá trị bằng m, thì tất cả các điện tích phải là bội của \hbar c/2m. Điều này giải thích tại sao các điện tích phải là bội của một điện tích cơ bản. Ngược lại, nếu e là điện tích nhỏ nhất trong thiên nhiên, thì tất cả các từ tích phải là bội của \hbar c/2e.

Lời giải thích này của Dỉrac hết sức thông minh, nhưng cho đến nay ta vẫn chưa tìm thấy từ tích nào trong vũ trụ. Cũng có thể chúng rất nặng, nên các máy gia tốc chưa tạo ra được chúng.

Nhưng trên giấy các nhà vật lý lý thuyết có thể “sáng tạo” ra những thế giới mới trong đó có cả điện tích lẫn từ tích. Một trong những thế giới này gọi là “N=4 supersymmetric Yang-Mills theory” (N=4 SYM), một lý thuyết trường có nhiều tính chất lý thú. Một trong những tính chất này được các nhà vật lý gọi là “đối ngẫu”: người ta nghĩ rằng N=4 SYM với điện tích cơ bản e và từ tích cơ bản bằng m có thể biến đổi thành N=4 SYM với điện tích cơ bản m, từ tích cơ bản e, bằng một phép đổi biến.  Đối ngẫu này trong vật lý được gọi là đối ngẫu điện từ, hay đối ngẫu Montonen-Olive, hay đối ngẫu S. Nó là một giả thuyết chưa ai chứng minh được chặt chẽ, mặc dù có nhiều lý do để ta tin nó là đúng.

Theo lời kể của Edward Witten thì năm 2004, sau khi nghe Ben-Zvi, ông ta đã hiểu rằng đối ngẫu Montonen-Olive này có liên quan đến đối ngẫu Langlands hình học.  Sau đó Kapustin và Witten viết một bài báo dài hơn 200 trang giải thích sự liên quan này. Tất cả những điều này tôi chỉ biết rất lờ mờ thôi, nhưng có vẻ chương trình Langlands có liên hệ mật thiết với một số tính chất cơ bản, và còn phần nào bí hiểm, của một số lý thuyết trường. Kapustin và Witten viết: “the geometric Langlands program for complex surfaces… can be understood as a chapter in quantum field theory.”

Xin cáo lỗi các bạn vì trình độ còn kém nên không thể giải thích công trình của Kapustin và Witten chi tiết hơn được. Hy vọng đến một lúc nào đó tôi sẽ hiểu tốt hơn.  Có thể trong tương lai công trình của Hòa Thượng sẽ nằm trong cơ sở của các sách giáo khoa vật lý!

Một lần nữa xin chúc mừng Hòa Thượng Thích Học Toán!

Đàm Thanh Sơn.

20 responses to “Chào mừng Hòa Thượng Thích Học Toán: Chương trình Langlands và Vật lý

  1. Pingback: Blog của anh Thanh Sơn « Thích Học Toán

  2. Thích Hóng Hớt

    Cám ơn bác Sơn về bài viết😀.

  3. Vậy là anh tài lên mạng hết rồi.
    Rất vui được là người đầu tiên comment trên blog của anh.

  4. That hay ! mong anh viet chia xe~ them cho nhu*~ng do^’t ngo^n ngu*~ ky~ thua^.t VN nhu* to^i dduoc ho.c ho?i the^m. Ca’m o*n anh Son!

  5. Xin cảm ơn bài trả lời của GS Đàm Thanh Sơn. Bài trả lời của GS rất cô đọng giúp em hiểu ra vai trò của nhóm tương tác với số hạt mang tương tác.

  6. sa lai goi la Hoa Thuong Thich Toan Hoc ha a Son

  7. Xin chúc mừng Hòa Thượng Thích Toán Học và chúc mừng anh Sơn “khánh thành” blog. Mong sẽ được đọc nhiều bài viết hay của anh

  8. anh cho em hoi la Newton’s Law: F=ma co chung minh duoc chat che khong

  9. Ha Minh: Khái niệm “chứng minh” ở trong vật lý không giống trong toán học. Trong cơ học Newton thì F=ma là tiên đề, nhưng trong các lý thuyết cao hơn (ví dụ như thuyết tương đối rộng) thì có thể hiểu nó như hệ quả của các định luật cơ bản hơn. Trong các lý thuyết này ta có thể hiểu bản chất của khái niệm “lực” một cách sâu sắc hơn.

  10. Anh Son du’ng la` HT Thi’ch ho.c Ly’

  11. Phạm Đăng

    Cụ Trí Uẩn đã cầu phương hình tròn như thế nào?
    Xin trả lời gọn: Bằng khái niệm “mờ” và bằng “lắp ghép Trí Uẩn”.
    Trước hết trở lại định nghĩa về hai tam giác bằng nhau: “Hai tam giác là bằng nhau nếu chúng có thể đặt trùng khít lên nhau sau một số phép tịnh tiến, quay và đối xứng” (Wikipedia). Ở đây có sự “mờ”: trùng khít lên nhau. Có vẻ như hai tam giác được vẽ lên giấy, xong lấy kéo cắt ra và đặt trùng khít lên nhau. Cụ Trí Uẩn bỏ cụm từ “sau một số phép tịnh tiến, quay và đối xứng”. Mà mãi cho đến nay 3 phép này trong Wikipedia vẫn chưa được các bậc nào viết dùm cho cơ mà, huống chi chuyện đã xẩy ra vào những năm 70, 80 thế kỷ trước.
    Cụ lấy một hình tròn, sau đó lấy thước kẻ ra kẻ chia cắt thành các hình nhỏ. Các hình tam giác thì “rõ” thấy xếp được dần vào trong một hình vuông (đích để cầu phương). Một số hình “tam giác” có cạnh cong được cụ gọi là “hình râu” (Đến tận giờ ta vẫn gọi một “hình thang” có một cạnh cong là “hình thang cong” là gì). Quan trọng nhất: “Rõ ràng rằng hình râu này (có diện tích) bằng tam giác này trong hình vuông” do cụ xếp. Thuật ngữ “Rõ ràng rằng” đọc đâu mà chẳng thấy. Rõ ràng rằng: qua hai điểm chỉ có thể kẻ được một và chỉ một đường thẳng. Rõ ràng rằng điều nọ điều kia các bác gặp khối trong Toán đấy thôi. Cái “I-ác-nơ trờ-tô” ai mà cãi lại được. Cụ Thiêm cũng chịu. Cứ thế và cứ thế: Cụ Trí Uẩn đã lấp đầy cái hình vuông. Vậy “Tôi đã giải quyết xong Bài toán mà nhân loại cho đến nay (đến cái ngày) mà cụ trình bầy còn đang bó tay.
    Câu chuyện là vậy.

  12. Bài của GS thật hay, chắc HT THT sẽ phải vất vả. Nhưng chúng ta hãy tạm gác lại để chúc mừng HT THT đã.
    Nếu nói về toán thì, bài toán xã hội hiện nay mới thật sự là khó khăn, không biết phải giải như thế nào.? Tôi cũng đang nghiên cứu nhưng chưa thể thành hiện thực. Qua đây cũng mong GS giúp đỡ phân tích và phản biện thêm.
    Thân chào GS

  13. Phan Quang Minh

    Một cách diễn giải công trình của HT THT qua lăng kính của một chàng Tây nói tiếng Việt:
    “Thâm nhập” hành trình chứng minh Bổ đề cơ bản của Ngô Bảo Châu

  14. Chào Giáo Sư
    Hòa chung với niềm vui của Dân Việt về thành tựu của Ngô Bảo Châu, lại thấy bài của Giáo sư. Là dân ngoại đạo Toán – Lý nên không hiểu lắm, nhưng thấy bài của GS để liên hệ là vui rồi.
    Mình là Chuyên lớp LNA1, ngày 21/8 vừa qua cả khối kỷ niệm 25 năm ngày đi Nga, cả khối gặp mặt trong đó có lớp LNA1 của bọn mình, cũng có vài cái ảnh nhưng khi nào có địa chỉ của GS thì sẽ gửi cho GS.
    Nếu GS có thời gian thì mail lại cho Chuyên nhé.
    Địa chỉ email: phoenix-asia@fpt.vn hoặc danghc06@yahoo.com
    Chúc GS khỏe và đóng góp nhiều cho khoa học.
    Đặng Chuyên

  15. Pingback: LongBui's Weblog

  16. “cơ học lượng tử đòi hỏi tích của ma phải là một số nguyên lần \hbar c/2” điều này GS có thể nói rõ được không ạ!

  17. Pingback: Ý nghĩa của bổ đề cơ bản trong chương trình Langland

  18. <>>
    Em mạn phép anh Sơn để giúp giải thích sơ qua ý nghĩa của nó. Rất mong nhận được bổ sung của anh vì hiểu biết của em về lãnh vực của anh Châu còn rất hạn chế.
    Đầu tiên em định đưa sang kia, nhưng có lẽ đưa vào đây sẽ có vẻ hợp lý hơn.
    Thật ra có thể giải thích sơ sơ thế này. Cho X là một algebraic curve, và G là một nhóm Lie reductive với đối ngẫu Langland LG. Ký hiêu M(G,X) là moduli space của các G bundle trên X cùng với một flat connection. Khi đó, M(G,X) là một bundle trên một không gian Euclide, với fiber là các tori.
    Lý thuyết dây có thể coi gần đúng là một gauge theory với fỉber là các đa tạp Calabi-Yau (nói chính xác hơn là SUSY-sigma model). Cấu trúc của một đa tạp Calabi-Yau là một phân thớ xuyến có kỳ dị, được phân thớ Lagrangian.
    Hàm tử đối xứng gương xuất hiện trong lý thuyết dây connect lý thuyết dây IIA và IIB với nhau, và trong truờng hợp này là tương ứng hàm tử trên các sigma model với đa tạp Calabi-Yau tương ứng. Cụ thể hơn, đối với phạm trù các D-branes, thì nó connect A-model là lý thuyết bất biến Gromov-Witten và phạm trù Fukaya với B-model là phạm trù dẫn xuất của các bó tựa nhất quán.
    Giả sử phân thớ xuyến đó là không có kỳ dị, khi đó hàm từ đối xứng gương ánh xạ hình học symplectic ở bên A model sang hình học đại số phức ở bên B-models, và được perform một cách trực tiếp bởi biến đổi Fourier-Mukai. Bạn nào không biết biến đối Fourier Mukai có thể hiểu nó như là biến đổi Fourier thông thường, nhưng thay một hàm số bởi một D-brane (submanifold với các vector bundle+ connection) hoặc một cohomological object, thay tập số thực bởi một phạm trù, thay e^itx bởi lớp đối đồng điều tạo bởi poincare line bundle, thay tích phân bởi push forward các cohomological object.
    Trong work của Witten và Kaputin, đối ngẫu điện từ trong SUSY gauge theory được reduce xuống trường hợp 4 chiều=product của một đường cong đại số C và một đa tạp 2 chiều Sigma. Nhóm Gauge G ở đây cùng với đường cong đại số C sẽ tạo thành một mô hình sigma với target là Hitchin Fibration M(G,C) trên Sigma, và chính ở đây đối ngẫu điện từ trở thành đối xứng gương của 2 mô hình sigma này, và nó liên hệ với chương trình Langland hình học.
    Hàm tử đối xứng gương ở mức độ categorical sẽ đưa B-model, tức là phạm trù các bó tựa nhất quán (quasicohenrent sheaf) M(G,C) sang phạm trù Fukaya của M(LG,C), cái mà theo hình học của Hitchin, Drinfelt sẽ đẳng cấu hầu khắp nơi với T*Bun_G, phân thớ đối tiếp xúc của không gian tất cả các G-bundle trên C. Đối Ngẫu Langland thì lại liên hệ phạm trù Cohsheave-M(G,C) với phạm trù dẫn xuất của D-module trên M(LG,C).
    Liên hệ giữa phạm trù Fukaya của T*Bun_G và phạm trù dẫn xuất của D-module tôi chưa thực sự hiểu được rõ, nhưng có thể nói một cách ngắn gọn như sau. Trong triết học của hàm tử lượng tử hóa (quantization), một hàm số được thay bởi một toán tử, và tích giao hoán thông thường bị biến dạng theo nghĩa của Kontsevich thành một noncommutative algebra; ở mức độ địa phương thì đưa x thành M_x, đưa p thành i/hD_x, tức là biến đại số hàm trên T*Bun_G thành một đại số các toán tử giả vi phânn trên Bun_G. Ở mức độ địa phương thì nó chính là quantum Mechanic, nhưng ở đây ta làm theo từng bó hàm để được phạm trù D-module của Kato. [Chú ý, cái này hơi khác so với hình học không giao hoán của Alain Connes vì lý thuyết của Connes gần như không thể địa phương hóa/ bó hóa được dù nó thiết lập được metric rất tốt thông qua spectral triple so với lượng tử hóa theo nghĩa D-module.]

    Tuy nhiên tôi vẫn chưa hiểu được vai trò của các A-branes/phạm trù Fukaya sau khi áp dụng phiên bản bó hóa của toán tử lượng tử hóa này. Nói một cách đơn giản, đây là một dạng của quantization functor., nhưng thú thực tôi vẫn không hiểu tại sao Witten không dùng từ này mà lại dùng Microlocalization, tôi rất oppose vì mũi tên nó chạy theo chiều ngược lại từ classical sang quantum level.
    Bây giờ, tôi giải thích tại sao đối ngẫu Langland lại quan trọng. Vì nó chính là composition của hai hàm tử rất nổi tiếng trong vật lý mà đến nay vẫn chưa ai hiểu rõ, đó là hàm tử đối xứng gương và hàm tử lượng tử hóa. Chương trình Langland hình học chứng minh luôn được trực tiếp sự đẳng cấu này mà không cần compose 2 hàm tử, và theo tôi nó thực sự vô cùng có ý nghĩa.

  19. Cám ơn GS về bài viết,
    Ephysvn.net

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s