Chứng minh công thức Euler cho đa diện bằng vật lý

Giải Nobel vật lý năm nay được trao cho ba nhà vật lý, Thouless, Haldane và Kosterlitz, vì những đóng góp liên quan đến các chuyển pha và các trạng thái tôpô. Nhân dịp này chúng ta sẽ dùng vật lý để chứng minh một công thức khá nổi tiếng, liên quan đến tôpô – công thức Euler cho đa diện. Công thức này nói rằng với một đa diện bất kỳ, số đỉnh V, số mặt F và số cạnh E của nó thoả mãn

V + F – E = 2.

Ví dụ với hình lập phương ta có V = 8, F = 6, E = 12, và 8 + 6 – 12 = 2. Bạn có thể kiểm tra với một vài hình đa diện nữa để thấy công thức luôn đúng.

Để chứng minh công thức này, ta sẽ lắp một mạch điện theo hình đa diện, thay mỗi cạnh của đa diện bằng một điện trở. Không quan trọng lắm các giá trị của điện trở là bao nhiêu, miễn là tất cả các điện trở đều khác không. Để cho đơn giản ta cho mỗi điện trở là 1 Ω. Sau đó ta chọn hai đỉnh và nối hai cực của một nguồn điện vào hai đỉnh đó, cũng không quan trọng lắm là đỉnh nào. Chẳng hạn với hình lập phương ta có thể tưởng tượng ra mạch điện như sau:

Khi ta nối một mạch điện như vậy, tất nhiên điện sẽ chạy trong mạch một cách nhất định. Ta có thể đặt nhiều câu hỏi với mạch điện này. Ví dụ ta có thể hỏi điện trở của mạch là bao nhiêu. Câu hỏi tôi sẽ hỏi là như sau: giả sử tổng dòng điện chạy qua mạch là 1 Amper, dòng điện chạy qua từng điện trở là bao nhiêu? (Tất nhiên là nếu trả lời được câu hỏi này thì có thể tìm ra được điện trở của mạch).

Để trả lời câu hỏi trên, ta sẽ lập một hệ phương trình cho phép ta tìm được dòng điện chảy qua từng điện trở. Giả sử AB là một cạnh, ta ký hiệu IAB là dòng điện chạy từ đỉnh A đến đỉnh B. Ta có IAB = –IBA, và có tổng cộng E đại lượng này. Ta sẽ lập một hệ phương trình để tìm giá trị của các dòng điện này.

Có hai loại phương trình, xuất phát từ hai định luật Kirchhoff. Loại đầu tiên là như sau. Giả sử A là một đỉnh, và B, C, D… là các đỉnh kề A. Ta có phương trình:

IAB + IAC + IAD + … = 0 hoặc 1 hoặc –1.

Vế phải là 0 nếu như đỉnh A không phải một trong hai đỉnh nối vào nguồn điện, là 1 nếu A được nối vào cực dương và –1 nếu A nối vào cực âm. Đơn giản phương trình này nói dòng điện chạy vào một đỉnh phải bằng dòng chạy ra từ đó.

Ta có tổng cộng bao nhiêu phương trình như thế này? Đếm thì thấy tổng cộng là V phương trình, nhưng thực ra chúng không độc lập với nhau. Có thể thấy điều này bằng cách lấy tổng tất cả các phương trình trên. Ta sẽ được đồng nhất thức 0 = 0, vì ở vế trái với mỗi IAB bao giờ cũng có IBA. Vế phải thì tất nhiên tổng là 1 + (–1) cộng nhiều số 0, cũng bằng không. Như vậy chỉ có V – 1 phương trình độc lập.

Nhưng những phương trình trên không phải tất cả các phương trình ta phải viết ra. Có một loạt các phương trình khác (phương trình loại hai). Ta giả sử ABCD là một mặt (ta cho nó là tứ giác ở đây nhưng logic tiếp theo đúng với mọi đa giác). Ta sẽ có phương trình

IAB + IBC + ICD + IDA = 0.

Tại sao có phương trình này? Đó là do điện trở trên mỗi cạnh là 1 Ω nên IAB cũng là hiệu điện thế giữa hai đỉnh AB: IAB = UA – UB. Từ đó phương trình ở trên trở thành hiển nhiên. Tổng cộng có F phương trình như vậy. Tuy nhiên các phương trình này cũng không độc lập, nếu cộng tất cả các phương trình này lại ta lại có đồng nhất thức 0 = 0, do đó là chỉ có F – 1 phương trình loại hai.

Tổng cộng ta có như vậy là (V – 1) + (F – 1) = V + F – 2 phương trình.

Ta phải giải các phương trình này để tìm các dòng IAB. Có bao nhiêu ẩn số tất cả? Số ẩn là số cạnh E.

Thiên nhiên cho ta biết khi nối mạch điện thì chỉ có một nghiệm duy nhất, vậy số phương trình phải bằng số ẩn.

Do đó V + F – 2 = E.

Đây chính là công thức Euler phải chứng minh.

6 responses to “Chứng minh công thức Euler cho đa diện bằng vật lý

  1. hay quá prof.

  2. không biết công thức này có đúng cho các Euler’s characteristic khác 2 ?

  3. Cách chứng minh hay quá. Để chứng minh cho các Euler’s characteristic khác 2, có cách ăn gian là ta có công thức đúng cho đa diện lồi, ta có thể dán 2 mặt có số đỉnh (và số cạnh) bằng nhau với nhau. Số mặt F sẽ giảm đi 2,F’=F-2 , số đỉnh và số cạnh giảm đi một lượng bằng nhau V’=V-dV, E’=E-dE với dV= dE cũng chính là số đỉnh và số cạnh của của một trong 2 mặt bị dán với nhau. Nên công thức trở thành (V-dV)+(F-2)-(E-dE)=V+(F-2)-E=0.

    Còn có cách không ăn gian nhưng cũng suy ra từ cách ăn gian, đó là phải thay đổi chứng minh trên, trong đó không phải tất cả các phương trình loại 2 đã đại diện cho một mặt. Vì trong cách ăn gian trên, sau khi dán 2 mặt với nhau, ta vẫn có một phương trình loại 2 cho một vòng (loop) nối các đỉnh mới sau khi dán, nhưng không đại diện cho một mặt (vì đã bị dán với nhau rồi).

  4. Còn một cách nghĩ nữa là nếu chỉ tính các phương trình loại 2 cho các mặt bên ngoài, không tính cho các mặt bị dán với nhau, thì về mặt toán học, hệ phương trình sẽ không có nghiệm duy nhất mà là một hệ các nghiệm độc lập tuyến tính với nhau cùng thỏa mãn hệ phương trình. Và số ẩn số lớn hơn số phương trình. Với Riemann surface, số hệ nghiệm độc lập tuyến tính sẽ bằng 2 lần số genus 2g. Thêm nữa điều kiện phụ thuộc tuyến tính từ phương trình của các mặt không phải luôn được thỏa mãn với số phương trình độc lập là F-1. Số phương trình độc lập từ các đỉnh luôn là V-1.

    Về mặt vật lý thì khi đặt một hiệu điện thế vào 2 đỉnh, vẫn có một giá trị dòng điện duy nhất đi qua các cạnh, lý do là sẽ có một số cạnh không có dòng đi qua do tính đối xứng, ta có thể vẽ lại mạch điện tương đương với việc bỏ qua một số cạnh không có dòng chạy qua. Và bài toán cho mạch điện tương đương sẽ có 1 nghiệm duy nhất.

  5. Kính thưa giáo sư và các bạn yêu toán-lý, gần đây có đọc về ‘thuyết bất toàn’ của Godel, mình vẫn chưa hiểu rõ về ảnh hưởng của thuyết này với logic toán học và những hiểu biết mới về vật lí lượng tử có mâu thuẫn gì không, và về vấn đề triết học của vật chất và tinh thần, xin nhờ giáo sư và các bạn có một bài viết rõ cho những người như mình có thể hiểu hơn một cách đơn giản về ứng dụng của thuyết bất toàn trong định hướng nghiên cứu về toán-lý, cách định lí của godel giải quyết các câu hỏi:
    – vật chất và ý thức cái nào có trước
    – dựa vào thuyết bất toàn của godel thì thuyết big bang có còn đúng nữa không
    – giới hạn của trí tuệ nhân tạo, và trí tuệ nhân tạo có thể hủy diệt hoàn toàn loài người được không?
    Xin chân thành cảm ơn!

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s