Chứng minh công thức Euler cho đa diện bằng vật lý

Giải Nobel vật lý năm nay được trao cho ba nhà vật lý, Thouless, Haldane và Kosterlitz, vì những đóng góp liên quan đến các chuyển pha và các trạng thái tôpô. Nhân dịp này chúng ta sẽ dùng vật lý để chứng minh một công thức khá nổi tiếng, liên quan đến tôpô – công thức Euler cho đa diện. Công thức này nói rằng với một đa diện bất kỳ, số đỉnh V, số mặt F và số cạnh E của nó thoả mãn

V + F – E = 2.

Ví dụ với hình lập phương ta có V = 8, F = 6, E = 12, và 8 + 6 – 12 = 2. Bạn có thể kiểm tra với một vài hình đa diện nữa để thấy công thức luôn đúng.

Để chứng minh công thức này, ta sẽ lắp một mạch điện theo hình đa diện, thay mỗi cạnh của đa diện bằng một điện trở. Không quan trọng lắm các giá trị của điện trở là bao nhiêu, miễn là tất cả các điện trở đều khác không. Để cho đơn giản ta cho mỗi điện trở là 1 Ω. Sau đó ta chọn hai đỉnh và nối hai cực của một nguồn điện vào hai đỉnh đó, cũng không quan trọng lắm là đỉnh nào. Chẳng hạn với hình lập phương ta có thể tưởng tượng ra mạch điện như sau:

Khi ta nối một mạch điện như vậy, tất nhiên điện sẽ chạy trong mạch một cách nhất định. Ta có thể đặt nhiều câu hỏi với mạch điện này. Ví dụ ta có thể hỏi điện trở của mạch là bao nhiêu. Câu hỏi tôi sẽ hỏi là như sau: giả sử tổng dòng điện chạy qua mạch là 1 Amper, dòng điện chạy qua từng điện trở là bao nhiêu? (Tất nhiên là nếu trả lời được câu hỏi này thì có thể tìm ra được điện trở của mạch).

Để trả lời câu hỏi trên, ta sẽ lập một hệ phương trình cho phép ta tìm được dòng điện chảy qua từng điện trở. Giả sử AB là một cạnh, ta ký hiệu I_AB là dòng điện chạy từ đỉnh A đến đỉnh B. Ta có I_AB = –I_BA, và có tổng cộng E đại lượng này. Ta sẽ lập một hệ phương trình để tìm giá trị của các dòng điện này.

Có hai loại phương trình, xuất phát từ hai định luật Kirchhoff. Loại đầu tiên là như sau. Giả sử A là một đỉnh, và B, C, D… là các đỉnh kề A. Ta có phương trình:

I_AB + I_AC + I_AD + … = 0 hoặc 1 hoặc –1.

Vế phải là 0 nếu như đỉnh A không phải một trong hai đỉnh nối vào nguồn điện, là 1 nếu A được nối vào cực dương và –1 nếu A nối vào cực âm. Đơn giản phương trình này nói dòng điện chạy vào một đỉnh phải bằng dòng chạy ra từ đó.

Ta có tổng cộng bao nhiêu phương trình như thế này? Đếm thì thấy tổng cộng là V phương trình, nhưng thực ra chúng không độc lập với nhau. Có thể thấy điều này bằng cách lấy tổng tất cả các phương trình trên. Ta sẽ được đồng nhất thức 0 = 0, vì ở vế trái với mỗi I_AB bao giờ cũng có I_BA. Vế phải thì tất nhiên tổng là 1 + (–1) cộng nhiều số 0, cũng bằng không. Như vậy chỉ có V – 1 phương trình độc lập.

Nhưng những phương trình trên không phải tất cả các phương trình ta phải viết ra. Có một loạt các phương trình khác (phương trình loại hai). Ta giả sử ABCD là một mặt (ta cho nó là tứ giác ở đây nhưng logic tiếp theo đúng với mọi đa giác). Ta sẽ có phương trình

I_AB + I_BC + I_CD + I_DA = 0.

Tại sao có phương trình này? Đó là do điện trở trên mỗi cạnh là 1 Ω nên I_AB cũng là hiệu điện thế giữa hai đỉnh A và B: I_AB = U_A – U_B. Từ đó phương trình ở trên trở thành hiển nhiên. Tổng cộng có F phương trình như vậy. Tuy nhiên các phương trình này cũng không độc lập, nếu cộng tất cả các phương trình này lại ta lại có đồng nhất thức 0 = 0, do đó là chỉ có F – 1 phương trình loại hai.

Tổng cộng ta có như vậy là (V – 1) + (F – 1) = V + F – 2 phương trình.

Ta phải giải các phương trình này để tìm các dòng I_AB. Có bao nhiêu ẩn số tất cả? Số ẩn là số cạnh E.

Thiên nhiên cho ta biết khi nối mạch điện thì chỉ có một nghiệm duy nhất, vậy số phương trình phải bằng số ẩn.

Do đó V + F – 2 = E.

Đây chính là công thức Euler phải chứng minh.