Thùng lớn, thùng nhỏ

Bạn phải làm thùng sắt để chứa 100 lít khí nén ở áp suất 100 atm. Bạn muốn sử dụng một khối lượng sắt tối thiểu. Bạn nên làm 10 thùng mỗi thùng 10 lít, hay một thùng 100 lít?

19 responses to “Thùng lớn, thùng nhỏ

  1. em chọn 10 thùng nhỏ.

  2. 1 thùng to, vì diện tích mặt ngoài của khối cầu 100L sẽ nhỏ hơn so với diện tích mặt ngoài của 10 khối cầu, mỗi khối 10L. Given độ dày của thép như nhau (cùng chịu áp suất 100atm), thì 1 thùng to có khi tiết kiệm được đến một nửa, so với 10 thùng con.

    Nhưng cái thùng to này lỡ mà nổ thì ôi thôi rồi kakaka!

  3. Ta bắt đầu thử thế này nhé. Giả sử thùng hình cầu. Ta tưởng tượng chia hình cầu thành 2 mảnh, bắc bán cầu và nam bán cầu. Hai mảnh này bị lực áp suất đẩy về hai phía. Chỗ nối giửa hai bán cầu phải chịu được sức đẩy ra hai phía này.

  4. GS Sơn, tính toán sẽ hơi lằng nhằng chút vì lực kéo đứt phụ thuộc vào diện tích vành khuyên của mặt cắt xuyên tâm hình cầu.

    • Cái chính là tìm ra định luật scaling: giả sử khối lượng khí ta muốn chứa trong một thùng tăng lên gấp tám, như vậy bán kính phần rỗng bên trong thùng phải tăng gấp đôi. Độ dầy của thép phải tăng hay giảm mấy lần, và khối lượng thép dùng cho vỏ thùng phải tăng hay giảm mấy lần?

      • Yep, lập luận theo chuỗi này cũng được. Giả sử bình lớn có dung tích gấp 8, tức là bán kính lớn gấp đôi. Lực đẩy trên mặt cắt lớn gấp 4, nghĩa là vỏ thép dày gấp đôi.

        Nhân thêm với diện tích vỏ cầu nữa là xong. Tôi cho là không cần chứng minh bình chứa phải có hình cầu.

        Kết quả cuối cùng thì như đã post ở comment trước, đâu có gì khác biệt. Comment đầu tiên tôi đã sai khi cho rằng thép dày như nhau – hậu quả của thói láu táu kakaka!

        Bài tập thú vị, cảm ơn GS. Lâu lâu động não chút cho nó đỡ gỉ sét!

  5. Và nếu tính chi tiết diện tích hình vành khuyên, thì какая разница ?

  6. Nguyễn Ái Việt

    Độ dày của vỏ bình tăng gấp đôi để đảm bảo lực kéo trên một đơn vị diện tích không đổi là đúng. Tuy nhiên thể tích của vỏ bình là 4/3\pi( 8 d^3+…) > 8 4/3\pi d^3. Vậy là thùng to tốn nhiều sắt hơn chứ nhỉ.

  7. Xét 2 vỏ cầu bằng thép, có bán kính trong lần lượt là R1 và R2, bán kính ngoài là R1+DR1 và R2+DR2.

    Bài toán giải chính xác khi bỏ qua lực hấp dẫn, chỉ tính đến chênh lệch áp suất.

    Sử dụng công thức áp suất sức căng mặt ngoài của chất lỏng P~ 1/R. Để cho cả 2 vỏ cầu cùng chịu được một chênh lệch áp suất DP, thì ta có công thức tích phân:

    DP=\alpha \int_{R1}^{R1+DR1}{dr/r}=\alpha \int_{R2}^{R2+DR2}{dr/r}
    với \alpha là một tham số.
    Kết quả là

    DP=\alpha ln[(R1+DR1)/(R1)]=\alpha ln[(R2+DR2)/(R2)]

    Dẫn đến DR1/R1=DR2/R2=\lambda.

    Nghĩa là độ dày của vỏ tỷ lệ với bán kính trong, Cũng không cần thiết phải chứng minh cụ thể, ta cũng có thể thấy là thể tích vỏ ( lượng sắt cần dùng ) tỷ lệ với thể tích bên trong của vỏ cầu ( thể tích khí chứa được).

    Nếu thích chính xác thì ta có công thức thể tích vỏ:
    V=4\pi/3 [(R+DR)^3-R^3]= 4\pi/3 R^3(3\lambda+3\lambda^2+\lambda^3)

    Nghĩa là 2 cách làm đều tốn cùng một lượng sắt. Cũng từ hiện tượng sức căng mặt ngoài của chất lỏng, ta thấy làm vỏ bình hình cầu là tiết kiệm sắt nhất. Tuy nhiên nếu thể tích khí cần chứa đủ lớn khiến vỏ thép đủ dày, lúc này cần tính đến lực hấp dẫn.

  8. Em giải như vầy:
    Giả sử thùng hình cầu:
    Gọi r, l, R, L, v, V lần lượt là bán kính( phía trong), độ dày của vỏ và thể tích vỏ của thùng nhỏ, thùng lớn; a là số lượng thùng nhỏ bị chia đều từ thùng lớn.
    v=4/3.pi.[(r+l)^3 – r^3]
    V=4/3.pi.[(R+L)^3 – R^3]
    Ta có: R= r.a^1/3
    L= l.a^2/3
    Thế vào và rút gọn ta được: V=4/3.pi.a.[(r+ l.a^1/3)^3 – r^3]
    V- a.v= 4/3.pi.a.[(r+ l.a^1/3)^3 – (r+l)^3] > 0
    Vậy: Làm thùng to hao nguyên liệu hơn làm nhiều thùng nhỏ.

  9. Assuming that Iron behaves as a thin elastic shell, it should not matter how to partition the gas. The thickness (d) /radius (R) ratio is determined by the Pressure/elastic modulus ratio. The total mass of iron needed per unit volume of stored gas is R^2d*1/R^3\propto d/R, thus depends only on the pressure at which the gas is stored, and does not depend on the exact partitioning of the gas between the barrels.

  10. Lê Như Minh Tuệ

    Em nghĩ em có thể tóm tắt lại lời giải của mọi người cho rõ ràng hơn.

    Ta có áp suất P = Force / Area = F/d^2, với d là độ dày vỏ cầu.

    Ta có công thức tính thể tích V=(4/3)*Pi*R^3, vậy nên nếu tăng thể tích 10 lần thì bán kính tăng 10^(1/3)=2.15 lần.

    Mà ta có lực F tỉ lệ với thể tích trong của hình cầu nên tỉ lệ với R^3, thêm nữa để vỏ cầu ko bị thủng nếu chịu áp suất lớn thì F phải tỉ lệ với d^2

    Từ đó suy ra R^3 tỉ lệ với d^2 , Ta sẽ có công thức r^3/R^3 tỉ lệ với d^2/D^2, tương ứng hình cầu nhỏ và lớn. Vậy nếu bán kính tăng 10^(1/3) như trên thì độ dày phải tăng 10^(1/2)=3.16 lần.

    Với công thức tính thể tích vỏ cầu được làm gần đúng với điều kiện bán kính trong và ngoài gần như giống nhau ta được V = 4*pi*d*r^2.
    Thể tích 10 quả cầu nhỏ V=40*pi*d*r^2
    Thể tích quả cầu lớn V’=4*pi*10^(1/2)*(10^(1/3)*r)^2=40*pi*d*r^2

    Như vậy cả 2 đều tốn 1 lượng sắt như nhau.

    • Lê Như Minh Tuệ

      Ở trên em tính sai với lại thiếu d trong thể tích quả cầu lớn, 1/2 + 2/3 = 7/6, tức 10^(7/6) = 14.7 mới đúng, Như vậy quả cầu lớn tốn hơn quả cầu nhỏ😀

  11. Mình đồng ý với ý kiến 2 của bạn Minh Tuệ.

  12. Chi Duc Nguyen

    Many an American Vietnamese students are interested in the Dam thanh Son’s blog but they do not know Vietnamese language. Is there any way to have an English version of this blog which will be helpful not only to American Vietnamese students but also to anybody (international) interested in problems and questions posted in this blog.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s