Câu đố: con chim ruồi

Posted on November 15, 2010 | 24 Comments

Chim ruồi có thể bay đứng ở một chỗ lúc hút mật, đập cánh và không cần đậu vào đâu cả.

Con chim ruồi nhỏ nhất có khối lượng khoảng 2 g.

Câu đố: đánh giá tần số đập cánh của con chim ruồi nhỏ nhất lúc bay đứng một chỗ.

This entry was posted in Problems. Bookmark the permalink.

24 responses to “Câu đố: con chim ruồi”

buitung | November 15, 2010 at 12:08 pm | Reply

bác ơi
cơ chế của việc đập cánh liên quan như thế nào đến đề bài ạ ?
nghĩa là khi đập cánh thì lức của không khí đẩy con chim lên tỉ lệ như thế nào so với khối lượng ạ ?
- damtson | November 15, 2010 at 9:49 pm | Reply
  
  Con chim phải đập cánh như thế nào để lực của không khí đẩy lên nó, tính trung bình theo thời gian, bằng trọng lực của trái đất hút nó xuống.
Dung Nguyen | November 15, 2010 at 12:58 pm | Reply

Hình con chim rất ngộ nghĩnh. Em lại góp vui vớ Blog của giáo sư một chút.

Trước tiên em tính khống lượng riêng của không khí với điều kiện đã biết là nhiệt độ 300K, áp suất 1 at =10^5 Pa, với 80% là Nitrogen N2 và 20% Oxygen. Dùng công thức:
PV=(n1+n2)RT
Trong đó n1 và n2 là số mol Nitrogen và Oxygen trong thể tích V. Thay các điều kiện trên vào em tính được n1/V và n2/V là mật độ mol của Nitrogen và Oxygen trong không khí. Sau đó dùng khối lượng mol của Nitrogen và Oxygen vào công thức tính khối lượng riêng:
D=(n1/V)*28+(n2/V)*32 =1.25 kg/(m^3)

Tiếp đến em ước lượng kích thước của con chim ruồi cỡ 5cm.
Gọi chiều dài của cánh là l, chiều rộng của cánh là a.
Giả sử con chim ruồi đập cánh trong khoảng
A=120 độ (cỡ 2 radian),
Số lần đập cánh trong một đơn vị thời gian là:
f
Thể thích khí bị đẩy đi trong một đơn vị thời gian là:
(V/t)~2*[A/(2*pi )]*(pi*(l^2)*a)*f=A*(l^2).a.f ( thừa số 2 đầu tiên là tính cho cả 2 cánh)
Vận tốc trung bình của luồng khí là:
v=(V/t)/S ( với S là diện tích của luồng khí S~l^2)
Khối lượng khí bị đẩy đi trong một đơn vị thời gian:
(M/t)=(V/t)*D
Lực đẩy trung bình có cỡ:
F~(M/t)*v~(A^2)*(l^4)*(a^2)*(f^2)*D/S
Lực đảy này bằng trọng lượng:
F=m*g
Từ đó
(f^2)=(mg*S)/[(A^2)*(l^4)*(a^2)*D]
Lấy m=2 gram và g=10 (m/s^2), a,l~5cm, S~l^2.

Ta thu được f cỡ 25 lần 1 giây.

Từ kết quả ước lượng, ta đánh giá rằng khối lượng tỷ lệ mũ 3 với kích thước, thì em đi đến một kết luận là số lần đập cánh giảm khi kích thước ( khối lượng) tăng. Không biết có hợp lý không.

P/S: Một điều nữa em xin lỗi là nhiều lần thử gõ latex trên blog của giáo sư nhưng đều trục trặc nên em phải viết công thức kiều tối mắt thế này. Giáo sư có thể giới thiệu format của công thức trên blog không ạ. Em dùng latex trên máy tính của em theo vẫn bình thường nhưng trên wordpress thì em không quen lắm.
- damtson | November 15, 2010 at 6:38 pm | Reply
  
  Bạn đánh latex như sau:
  
  $latex a^2+b^2=c^2$
  
  (tức là chỉ cần thêm chữ “latex” vào trước biểu thức toán học),
  nó sẽ hiện ra là
  
  $a^2+b^2=c^2$
  
  Đôi khi wordpress có lỗi, bạn không cần phải bận tâm, tôi sẽ sửa lại.
ABC | November 15, 2010 at 9:19 pm | Reply

bằng phương pháp thứ nguyên, ta có thể chứng minh được $f = m^{-1/2}$ .
em ko biết làm sao để tính được giá trị cụ thể.
- damtson | November 16, 2010 at 4:12 am | Reply
  
  Có phải $f$ là tần số còn $m$ là khối lượng? Hai đại lượng ở hai vế trong công thức của bạn có thứ nguyên khác nhau. Bạn có thể làm cho nó có cùng thứ nguyên được không?
  - ABC | November 16, 2010 at 8:23 am |
    
    em hơi ẩu, dúng ra phải là: f = const/sqrt(m), với const là một hằng số có thứ nguyên.
Le Nhu Minh Tue | November 16, 2010 at 3:36 pm | Reply

Favg = [m1 . (delta v)] / (delta t) (1)
với
m1 : khối lượng cánh chim
delta v : vận tốc cánh đập trong 1 chu kỳ (1 lần đập tới và 1 lần đập quay lui về vị trí ban đầu)
delta t : thời gian cánh đập trong 1 chu kỳ
Với n số lần đập cánh trong 1s
n = 1/ delta t (2)
ta có Favg=m.g (3)
Từ (1) và (2) suy ra
m. g = m1 . (delta v)/(delta t) (4)
mà delta t = (2.l) / (delta v) (5)
với l là chiều dài cánh và coi như quãng đường để cánh đập trong 1 chu kỳ là 2.l
Từ (4) và (5) suy ra m.g = m1 . (delta v)^2 / (2.l)
Với l , m1, m cho trước bằng cách khoa học cổ điển là đem con chim đi cân nặng, lấy thước đo chiều dài cánh, phẫu thuật cánh đem đi cân nặng ^^ ta sẽ tính được (delta v) thay vào (5) ta được (delta t). Thay (delta t) vào (2) ta tính được n là số cần tìm.
- damtson | November 16, 2010 at 8:37 pm | Reply
  
  Không thấy trong lời giải của bạn có cần đến khối lượng riêng của không khí. Không lẽ con chim có thể bay được trong chân không?
Truong | November 17, 2010 at 8:45 am | Reply

Nếu bỏ qua một số đại lượng như độ nhớt của không khí, khi cánh “đập” lên thì ko ảnh hưởng gì và coi như tức thời, cánh ko có trọng lượng, trọng lượng chim là 1 điểm ở tâm, chim có 2 cánh bằng nhau đập đối xứng,… bài toán có thể giản lược như sau, với giả sử g=0 (lúc này):
m dv = (rho x L^2 d theta) ( theta’ L/2 – v)
m: khối lượng con chim, kg
v: vận tốc thằng đứng.
rho: khối lượng riêng không khí,
L: chiều dài sải cánh
x: chiều rộng cánh.
theta: góc cắt sải cánh
Biểu thúc trong ngoặc đầu tiên là xấp xỉ khối lượng không khí bị đẩy bởi việc đập cánh.
Biểu thức trong ngoặc thứ 2 là xấp xỉ vận tốc của khối không khí bi đẩy kia.
Chia cả 2 vế cho dt, ta nhận được,
m a = (rho x L^2 theta’) ( theta’ L/2 – v)
Chú ý là theta’ = f pi với f là tần số (có thể có hằng số 2 hoặc 1/2 đâu đấy)
suy ra nếu chim đứng yên với a = g, ta có
g = (rho* x* L^3/2 *f^2* pi^2)/m
giả sử L=5 cm, x = 2 cm, g = 10m/s2, m=0.002 kg, rho = 1kg/m3
f~40. Có thể có hằng số 2, căn 2, 1/2, 1/căn 2 ở đâu đấy.
Về thứ nguyên thì có vẻ như không có vấn đề gì! Nếu xem ra thì cũng khá hợp lý, vì nếu khối lượng không khí tăng thì tần số giảm (đập trong nước chẳng hạn).
f^2~m/L^3/rho.

Xin lỗi mọi người vì em lười không gõ Latex.
cám ơn anh Sơn về câu đố rất hay. Không biết có cách gì ngắn hơn không.
- Truong | November 17, 2010 at 9:00 am | Reply
  
  Thực ra thì f^2 tỉ lệ nghịch với L^4 vì có cả x là chiểu rộng nữa. Nói cách khác f~L^-2
Le Nhu Minh Tue | November 17, 2010 at 4:38 pm | Reply

Thưa giáo sư hiện tại em nghĩ là ko cần thiết với 1 bài toán vật lý thực nghiệm tự nhiên khi chỉ cần tính n. Nếu con chim đó sống được trong môi trường chân không hoặc không khí cực kỳ loãng thì chứng tỏ lực hấp dẫn càng yếu như ở trên mặt trăng hay các tiểu hành tinh, như vậy thì nó cũng ko cần thiết phải bay đâu ạh ^^. Càng đơn giản hóa vấn đề mà vẫn cho ra kết quả cần tìm đúng thì cũng tốt.
Tuy nhiên đi sâu hơn bản chất vấn đề với kiến thức còn hạn chế của mình em thấy mối liên hệ giữa công thức số (6) được suy ra từ (4) và (5) ở trên với mật độ không khí, vận tốc không khí cũng tuân theo định luật 3 Newton. Chim muốn đứng được thì phải tác động 1 lực lên không khí và ngay lập tức không khí sẽ tác động ngược trở lại ngăn cho chim ko bị rơi tự do.
Ta có thể xem không khí như là các dòng khí theo phương nằm ngang thường được gọi là streamline hay laminar flow. Để dễ hình dung ta có thể lấy ví dụ minh họa là sợi dây đàn ghi ta. Khi ta kéo các sợi dây đàn theo phương thẳng đứng tương ứng như các dòng khí với 1 lực F, ta sẽ thấy 1 nửa các dây dưới sẽ bị ép sát lại với nhau giống như dòng khí áp suất cao tác động 1 lực F ngược lại lên tay ta. Và 1 nửa các sợi dây ở trên thì vẫn nằm ngang bình thường song song với nhau.
Với h khoảng cách của các sợi dây dưới bị nén lại so với ban đầu hay quãng đường 1 phân tử khí trong dòng khí đó chuyển động do cánh chim tác động và bị phản xạ lại tác động nâng chim ruồi đứng trên không, với lực đẩy khí theo phương thẳng đứng trục z. Cánh chim đập tạo nên 1 trụ tròn khí có trục theo phương z .
F(z) = Δp / Δt (7)
Với
p : động lượng của 1 phân tử khí
t : thời gian chạy của 1 phân tử khí
Δp = m* . V*(z) – [-m* . V*(z)] = 2 m* .V*(z) (8)
với
m* : khối lượng của 1 phân tử khí
V*(z) : vận tốc của 1 phân tử khí theo phương z trong hệ trục Oxyz tương ứng với chiều cao h
Mà Δt = 2h / V*(z) (9)
Từ (7) (8) (9) ta suy ra
F(z) = m* . [V*(z)]^2 / h (10)
Vậy với N hạt khí thì ta sẽ có
F*avg(z) = (m* / h) . ∑V*(z)^2 = (m* / h) . N. [V*avg(z)]^2 (11)
Với các trục còn lại y và x để cho đơn giản em cũng lấy độ nén của dòng khí vẫn là h (thay vì bán kình hình tròn là chiều dài của cánh chim)
Ta biết được
[V*avg(x)]^2 = [V*avg(y)]^2 = [V*avg(z)]^2 (12)
(V*avg)^2 = [V*avg(x)]^2 + [V*avg(y)]^2 + [V*avg(z)]^2 (13)
Từ (6) (11) (12) (13) Ta sẽ có
Favg = mg = F*avg = 1/3 . (m* / h) . N . (V*avg)^2 = m1 . (Δv)^2 / (2l) (14)
Đây chính là công thức liên hệ cần xác định. Từ đó ta có thể xác định được áp suất không khí P
P = Favg / A = 1/(3V) . N. m* . (V*avg)^2 (15)
Với
A : diện tích bề mặt hình trụ
V : thể tích hình trụ với V = A.h
Mà mật độ không khí ρ= (N . m*)/V (16)
Suy ra
P = 1/3 . ρ . (V*avg)^2 (17)
Các công thức lý luận từ (7) tới (15) được lấy từ cuốn sách Physics for scientists and engineers by Giancoli trang 477 và 478. Do em đang tự học lại vật lý và toán đại cương vì còn chưa nắm vững và cũng còn nhiều chỗ lý thú ý nghĩa vật lý hay toán mà em chưa biết do sau 4 năm đại học ko thu được kết quả nên giáo sư hãy giảng giải kỹ càng hơn 1 chút khi đưa ra câu kết luận giải thích câu đố. Em cám ơn giáo sư nhiều ạh.
ntzung | November 18, 2010 at 12:53 am | Reply

Câu đố của GS Sơn khó quá, mà chưa thấy đáp án nhỉ 🙂

Có cần biết con chim này cánh to từng nào không ?

Cánh mà to lên gấp 2 lần, thì chắc là số lần đập có thể giảm 1/2 nhỉ

khối lượng 2g, nhưng mà khối lượng riêng trên 1 đơn vị thể tích bằng bao nhiêu nhỉ

Khối lượng riêng của không khí là vào khoảng 1.2kg/m3 đúng không bác Sơn ? Chia ra cho 1dm3 thì được 1.2gr ?

Chẳng thấy nói con chim to từng nào. (Cũng chẳng biết tên tiếng Anh là gì để tra). Chắc là phải nhỏ hơn 1dm3 nhiều. Con gà to cỡ đó (không kể lông) phải được hơn 1kg ? Tức là tỷ lệ trong lượng không kể lông của chim chắc phải bằng cỡ 1000 lần không khí ?

Cứ cho là mỗi cánh chim dài 5cm, rộng 1cm mỗi lần đập độ xuống trung bình 2cm, thể tích không khí bị đập xuống mỗi lần = 1/100 dm 3, với 2 cánh là 2/200 dm3, hay 2/100 gr khí, 1/100 khối lượng chim ? Như vậy phát đập này làm chim “nhích lên” được quãng 1/100 của 2cm, hay 0,02 cm ?

lực hút trái đất = 10m/s2, tức là nếu rơi tụ do thì trong 1s đầu tiên rơi được 5m = 25 000 x 0.02cm, suy ra để rơi tự do 0.02cm chỉ mất 1/160 s. Như vậy cứ mỗi 1/160s lại phải đập cánh 1 cái để bù lại, tức là đập cánh 160 lần 1 giây ?!

Chắc là sai thảm hại ở nhiều bước, vì làm sao chim đập cánh nổi 160 lần giây ?!

Vài dòng linh tinh, bác Sơn bỏ quá cho
- damtson | November 18, 2010 at 3:49 am | Reply
  
  Nếu mà bác google “Chim ruồi” thì sẽ thấy rất nhiều thông tin bổ ích, ví dụ bài trong Wikipedia tiếng Việt. Tiếng Anh là hummingbird, loài nhỏ nhất là bee hummingbird. Đánh giá tần số của bác không có gì sai, nó chỉ cao hơn con số thật 2 lần. Đáp án của tôi (sẽ viết sau) không chính xác được như vậy.
- Dung Nguyen | November 18, 2010 at 4:58 am | Reply
  
  Cách ước lượng của giáo sư Zũng rất là funny và hình tượng mà lại rất đơn giản nữa.
damtson | November 18, 2010 at 10:14 pm | Reply

OK, đây là đáp án. Rất tiếc tôi chưa có thời gian xem kỹ lời giải của các bạn, nhưng có vẻ là phần lớn các bạn đều đi đúng hướng.

Tôi dùng phương pháp thứ nguyên để đánh giá. Gọi kích thước của con chim là $l$ . Trong phép gần đúng này ta không quan tâm đến hình dạng của con chim, coi như nó là một cục các chiều đại khái như nhau (ví dụ, coi con chim là hình lập phương). Nếu giả sử mật độ của con chim là $\rho$ , khối lượng của chim là $m$ , thì $l =(m/\rho)^{1/3}$ . Trong phép gần đúng này, $l$ cũng là kích thước của cánh con chim.

Lực đẩy trung bình $F$ do con chim vẫy cánh phụ thuộc vào khối lượng riêng của không khí $\rho_{\rm air}$ , kích thước cánh $l$ , và tần số cánh vẫy $\omega$ . $\rho_{\rm air}$ đo bằng g cm^-3, $l$ đo bằng cm, còn $\omega$ đo bằng s^-1. Lực $F$ thì đo bằng g cm s^-2 (lực = khối lượng × gia tốc). Chỉ có một cách lập ra một biểu thức có thứ nguyên của lực từ $\rho_{\rm air}$ , $l$ và $\omega$ , đó là

$F \sim \rho_{\rm air} l^4 \omega^2$ .

Cân bằng lực này với trọng lực $gm = g\rho l^3$ , ta tìm được

$\omega = C \sqrt{\displaystyle{\frac g l}} \sqrt{\displaystyle{\frac\rho{\rho_{\rm air}}}}$

trong đó $C$ là một hằng số, cỡ bằng 1, mà ta không thể tìm được bằng phương pháp thứ nguyên. Chú ý rằng $\sqrt{g/l}$ là tần số dao động của một con lắc có độ dài bằng $l$ . Như vậy tần số vỗ cánh của con chim khoảng bằng $\sqrt{\rho/\rho_{\rm air}}$ lần tần số dao động của con lắc.

Bây giờ ta tính bằng số: nếu khối lượng con chim là 2 g, mật độ con chim bằng mật độ của nước 1 g/cm³, thì $l\approx$ 1.25 cm. Mật độ không khí cỡ bằng 1.25 mg/cm³. Vậy thì cả hai biểu thức trong căn đều khoảng 800, nếu đặt C=1 thì tần số đâp cánh là 800 s^-1.

Tần số này hơi cao quá, kết quả không chính xác bằng lời giải của bác ntzung. Ta “cheat” một tí. Tần số này chắc là radian/s, không phải là Hertz (một vòng 1 giây, tức là $2\pi$ /s). Ví dụ tần số dao động con lắc đúng ra phải là $(1/2\pi)\sqrt{g/l}$ . Như vậy tần số đập cánh phải là

$f =\displaystyle{\frac \omega{2\pi}}= \displaystyle{\frac C{2\pi}} \sqrt{\displaystyle{\frac g l}} \sqrt{\displaystyle{\frac\rho{\rho_{\rm air}}}}$

Bây giờ mà cho C=1 thì tần số bằng 130 Hz. Kết quả bây giờ khá gần với kết quả thật (80 Hz)!

Mặc dù phương pháp thứ nguyên này không cho phép ta xác đinh chính xác hằng số C, nhưng nó cho ta sự phụ thuộc của tần số đập cánh vào khối lượng của con chim (giả thiết là các tỷ lệ giữa các bộ phận của con chim không thay đổi). Vì $l\sim m^{1/3}$ , nên

$f \sim 1/m^{1/6}$

Nếu con chim nặng lên 64 lần thì tần số đập cánh giảm đi 2 lần. Biết rằng con chim ruồi nặng 2 g đập cánh 80 lần một giây, ta có thể tính được là một người nặng 60 kg, nếu đập cánh như con chim (và nếu tỷ lệ kích thước giữa cánh và thân cũng như của con chim) thì phải đập 14 lần một giây mới lơ lửng được trong không khí.
Dung Nguyen | November 19, 2010 at 9:05 am | Reply

Em chỉ hay dùng thứ nguyên để kiểm tra kết quả thôi, chứ ít khi dùng để giải quyết. Khi làm bài này em phải tìm hiểu xem cách bay của con chim thế nào, đập cánh kiểu gì. Nhưng em cũng thích cách của giáo sư Sơn và giáo sư Zũng . Có thể học tập được nhiều cách suy nghĩ từ một bài toán cũng rất bổ ích.
ntzung | November 19, 2010 at 9:56 am | Reply

“Phu+o+ng pha’p thu+’ nguye^n” co’ pha?i la` “dimension analysis” theo tie^’ng Anh kho^ng ba’c So+n ?
- Le Nhu Minh Tue | November 19, 2010 at 10:25 am | Reply
  
  Dạ đúng rồi đó thưa giáo sư Dũng ^^
buitung | November 19, 2010 at 12:06 pm | Reply

kết quả thật tuyệt vời !
buitung | November 19, 2010 at 12:09 pm | Reply

nhưng cháu vẫn không hiểu tại sao số C lại = 0
?
ntzung | November 19, 2010 at 1:01 pm | Reply

Sorry I’ll write in English, because I can’t write Vietnamese with accents with my office computer.

Thanks ba’c So+n for the solution. I’m glad that the solution that I cooked is similar to yours, even though I don’t quite understand where does the number 2pi comes from.

I think the size of the wings (compared to the size of the body) plays an important role here. Even if I manage to wave my hands 1000 times a second, I still can’t fly :-). More seriously, lengthening the wings of an airplane a bit makes a big difference in terms of stability etc, right ? Large wings may act as a parachute for the bird, but here probably the wings are not large enough for this parachute to have a big impact on the gravitational acceleration, so let’s ignore it. However, the wings are probably larger than I thought: the surface of each wing is not 5cm X 1cm as I wrote before, but maybe 5cmx2cm = 0.1 dm2 (due to long feathers) or even more. With this correction I can reduce my estimate to around 100/s 😀
- damtson | November 24, 2010 at 9:01 am | Reply
  
  Cái số $1/(2\pi)$ đó thực ra là cheating, vượt quá phạm vi của phương pháp thứ nguyên. Qua đây ta cũng thấy sự hạn chế của phương pháp thứ nguyên: nó không cho ta kết quả số chính xác. Nhưng nó thường cho phép tìm ra các scaling laws (như $f\sim m^{-1/6}$ ở đây) một cách nhanh chóng.
Dung Nguyen | November 19, 2010 at 2:13 pm | Reply

Em thấy giáo sư Zũng rất vui tính và có ý tưởng cũng hết sức ngộ nghĩnh, thỉnh thoảng em có qua blog của giáo sư đọc trộm thấy rất thú vị. Tuy nhiên em cũng nghĩ với bài ước lượng này thì chỉ cần đúng đến cỡ order là đủ rồi.
Ví dụ trong lời giải của em, em lấy cả chiều dài lẫn chiều rộng cánh đều ~5cm để ước lượng cho đơn giản. Nếu em lấy chiều rộng cánh là 2cm thì cũng ra kết quả gần với kết quả trong wiki nhưng em nghĩ là không cần thiết. Hoặc khi giáo sư giả thiết rằng mỗi lần đập cánh, con chim sẽ nhích được 1/100 của 2cm, nếu xét kỹ thì cũng chưa chính xác vì nếu cùng đập xuống 2cm nhưng con chim đập cánh nhanh rồi nâng cánh lên chậm, hoặc là đập cánh chậm rồi nâng cánh lên nhanh thì kết quả sẽ rất khác nhau. Hoặc như trong lời giải của giáo sư Sơn có dùng khối lượng riêng của con chim cỡ khối lượng riêng của nước cũng chưa thật chính xác vì cấu tạo của con chim sẽ optimized cho việc bay như là xương xốp và nhẹ hơn, một số bộ phận trong cơ thể giảm bớt khối lượng nên khối lượng riêng sẽ nhỏ hơn nước nhiều. Và tính cụ thể nếu kích thước của con chim cỡ 5cm như thực tế, thì kết quả của giáo sư Sơn cũng rất gần với kết quả thực trong wiki.
Nhưng em thấy lời giải của giáo sư Zũng rất dễ hiểu và đơn giản. Lời giải của giáo sư Sơn thì em thấy hay ở điểm cần rất ít giả thiết, chỉ là khối lượng của chim, khối lượng riêng của nước và không khí.