Hình học cầu và “đường bay vàng”

Nhân dịp báo chí đang viết nhiều về “đường bay vàng” (đường bay thẳng từ Hà Nội đến TP HCM qua Lào, Campuchia), ta bàn qua chuyện hình học cầu. Bài này chắc sẽ quá đơn giản với các bạn học toán/lý, nhưng phục vụ kinh tế quốc dân.

Bài toán thực tiễn là như sau. Giả sử ta biết kinh tuyến và vĩ tuyến của 2 thành phố; ta phải tìm khoảng cách theo đường chim bay giữa hai thành phố đó.

Để cho đơn giản ta coi trái đất là một hình cầu bán kính R. Tạm thời đặt R=1. Giả sử kinh tuyến và vĩ tuyến của thành phố thứ nhất là (\theta_1, \phi_1), của thành phố thứ 2 là (\theta_2,\phi_2). Như vậy trong hệ toạ độ Descartes với tâm là ở tâm trái đất, toạ độ của hai thành phố là

x_1=\cos\theta_1\cos\phi_1, \qquad x_2=\cos\theta_2\cos\phi_2
y_1=\cos\theta_1\sin\phi_1, \qquad\, y_2=\cos\theta_2\sin\phi_2
z_1=\sin\theta_1,\phantom{\cos\phi_1} \qquad\, z_2=\sin\theta_2,\phantom{\sin\phi_2}

Nếu ta cần tìm khoảng cách giữa hai điểm (x_1,y_1,z_1)(x_2,y_2,z_2) thì ta chỉ cần tính \sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2} là xong. Nhưng đây là đường thẳng xuyên qua trái đất, “đường giun đào” chứ không phải đường chim bay.

Để tìm đường chim bay ta xét hai véctơ \vec r_1\vec r_2, nối từ tâm trái đất ra hai điểm. Để tìm độ dài đường chim bay ta phải tìm góc giữa hai véc tơ này. Cả hai véctơ này đều có độ dài bằng 1, vậy cos của góc giữa hai véctơ chính là tích vô hướng của hai véc tơ này:

\cos(\widehat{\vec r_1, \vec r_2}) = \vec r_1 \cdot \vec r_2 = x_1x_2+y_1y_2 +z_1 z_2
= \cos\theta_1\cos\theta_2\cos(\phi_1-\phi_2) +\sin\theta_1\sin\theta_2.

Muốn tính góc ta chỉ cần lấy arccos của biểu thức cuối cùng. Độ dài đường chim bay bằng R nhân cho giá trị của góc (tính bằng radian)

d_{12}= R\arccos(\cos\theta_1\cos\theta_2\cos(\phi_1-\phi_2) +\sin\theta_1\sin\theta_2).

Bây giờ quay trở về bài toán “đường bay vàng”. Từ http://www.latlong.net/ ta có thể tra được kinh tuyến và vĩ tuyến của Hà Nội (1), Huế (2), Ban Mê Thuột (3), TPHCM (4) như sau:

\theta_1=21.033^\circ \qquad \phi_1=105.850^\circ
\theta_2=16.450^\circ \qquad \phi_2=107.562^\circ
\theta_3=12.666^\circ \qquad \phi_3=108.038^\circ
\theta_4=10.823^\circ \qquad \phi_4=106.630^\circ

Từ công thức trên, với bán kính trái đất R=6371 km, ta có thể tính được khoảng cách giữa bất cứ hai cặp thành phố nào. Ví dụ khoảng cách theo đường chim bay giữa Hà Nội và TPHCM là d_{14}=1138 km. Để so sánh tổng độ dài ba đoạn Hà Nội-Huế, Huế-Ban Mê Thuột, Ban Mê Thuột-TPHCM (có lẽ hoàn toàn nằm trên không phận Việt Nam) là d_{12}+d_{23}+d_{34}=1220 km, dài hơn đường thẳng 82 km. Con số này khá là khớp với số đo bay thử nghiệm. (Thực ra để biết độ dài theo đường chim bay giữa hai thành phố ta chỉ cần tra ở đây, nhưng tự tính toán ra số vẫn vui hơn).

Còn đây là ảnh chụp trên một chuyến bay từ Quy Nhơn ra Hà Nội.

quynhon-hanoi1875

Đường bay “vàng” Quy Nhơn-Hà Nội

[Cám ơn anh Đỗ Xuân Quang (VietJetAir) đã nêu ý tưởng dẫn đến bài này].

Dự đoán giải thưởng Ig Nobel năm 2014

Ngày 18/9/2014, ngoài cuộc trưng cầu dân ý tại Scotland (quê hương của James Clerk Maxwell) còn có một sự kiện nữa: giải thưởng Ig Nobel năm 2014 sẽ được trao tại Harvard. Rất khó đoán công trình nào sẽ được giải thưởng năm nay, nhưng ít nhất có 2 ứng viên nặng ký.

1. Patricia J. Yang, Jonathan C. Pham, Jerome Choo, David L. Hu, Duration of urination does not change with body size, PNAS 111, 11932 (2014).

Xem thêm bài giới thiệu của trường Georgia Tech: Study of animal urination could lead to better-engineered products hay là bài giới thiệu ở National Geographic.

2. V. Hart et al., Dogs are sensitive to small variations of the Earth’s magnetic field, Frontiers in Zoology 2013, 10:80 . Xem thêm bài giới thiệu ở Discovery Magazine: Dogs Align Themselves to Earth’s Magnetic Field When Pooping.

Không biết còn công trình nào hay nữa không?

Bài toán đếm gà

Nhà Lan có 4 chuồng gà, mỗi chuồng có 8 con gà. Hỏi nhà Lan có tất cả bao nhiêu con gà?

\textrm{A.}~ 4\times 8 \qquad \textrm{B.}~ 8\times 4\qquad \textrm{C.}~ 8+4! \qquad \textrm{D.}~4^{\,\frac84+\frac48}

\textrm{E.}~ \displaystyle{\frac {\textrm{d}}{\textrm{d}x}} x^{8/4} \bigg|_{x=\frac{4^8}{8^4}}

Hữu xạ tự nhiên hương

Phòng không lạnh ngắt như tờ. Ở góc phòng có một chậu cây, trên cây có một bông hoa. Tại thời điểm t=0 bông hoa nở. Phòng vẫn hoàn toàn tĩnh lặng. Hỏi sau bao nhiêu thời gian thì hương thơm của hoa tràn ngập khắp phòng?

Lực bất tòng tâm

Có những lúc ta cảm thấy lực bất tòng tâm. Đó là tại sao? Chủ yếu là do một trong hai nguyên nhân: hoặc là khối lượng bất tòng tâm, hoặc là gia tốc bất tòng tâm.

Tiểu đội trưởng của chúng tôi là một người giỏi vật lý, đặc biệt là anh ta có biết thuyết tương đối và sự thống nhất của không gian và thời gian. Hôm qua anh ra lệnh: “Các đồng chí đào hào bắt đầu từ chỗ này đến tối!”

Tôi đọc bài “Local and Global in Geometry” của Gromov mấy lần, hình như cuối cùng cũng lờ mờ hiểu được ý chính. Bài báo giải thích nghịch lý: tại sao thế giới thì phẳng, mà thớt ở nhà toàn vênh?

5n bình phương năm trước

Ngày hôm nay (28/6), (5n)^2 năm trước. Đố biết đây là những sự kiện gì?

n=5:

n=2:

n=1:

Bất đẳng thức từ cuốn “Tư bản trong thế kỷ 21″

Hồi học phổ thông tôi rất ghét các bài tập về bất đẳng thức. Tôi nhớ mỗi khi đọc những đầu bài kiểu như là: Chứng minh *#^@^&^#!* < #$#$#@!@!$#@, trong đó cả hai vế đều là những biểu thức toán học dài ngoằng không có một ý nghĩa gì, lòng đã thấy nản không muốn làm.

Nhưng vừa rồi tôi lại đọc được trong cuốn sách mới của Thomas Piketty (mà báo chí đã có lần giới thiệu là cuốn “Thủ đô thế kỷ 21“) một câu như sau:

“Over a period of thirty years, a growth rate of 1 percent per year corresponds to cumulative growth of more than 35 percent.”

Câu này là một mệnh đề toán học, 1.0130 > 1.35. Bất đẳng thức này có đúng không? Dùng máy tính thì rất dễ kiểm tra, nhưng vấn đề là nếu không dùng máy tính thì sao?

Mặc dù ghét các bài tập về bất đẳng thức, loay hoay một lúc tôi cũng chứng minh được bất đẳng thức này sai. Chứng minh của tôi ở dưới. Có lẽ việc này cũng vô bổ như giải mấy bài toán sơ cấp, nhưng có bạn nào tìm ra cách chứng minh khác không? Và trong cuốn sách ngay sau đó tác giả đưa ra một bất đẳng thức nữa: 1.01530>1.5, có ai chứng minh được không?

1.01 < e^{0.01}

1.01^{30} < (e^{0.01})^{30} = e^{0.3}

e^{0.3} = 1 + 0.3 + \displaystyle{\frac{0.3^2}{1\cdot 2}} + \displaystyle{\frac{0.3^3}{1\cdot 2\cdot 3}} + \displaystyle{\frac{0.3^4}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}} + \displaystyle{\frac{0.3^5}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}} + \cdots

< 1.3 + \displaystyle{\frac{0.3^2}{1\cdot 2}} + \displaystyle{\frac{0.3^3}{1\cdot 2\cdot 3}} + \displaystyle{\frac{0.3^4}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 3}} + \displaystyle{\frac{0.3^5}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 3}} + \cdots

= 1.3 + \displaystyle{\frac{0.3^2}{1\cdot 2}} \left[ 1+\displaystyle{\frac{0.3}3} + \displaystyle{\left(\frac{0.3}3\right)^2} + \cdots \right]

=1.3 + \displaystyle{\frac{0.3^2}{1\cdot 2}}\cdot\displaystyle{\frac{10}9}= 1.35

\Rightarrow 1.01^{30}<1.35