Dự đoán giải thưởng Ig Nobel năm 2014

Ngày 18/9/2014, ngoài cuộc trưng cầu dân ý tại Scotland (quê hương của James Clerk Maxwell) còn có một sự kiện nữa: giải thưởng Ig Nobel năm 2014 sẽ được trao tại Harvard. Rất khó đoán công trình nào sẽ được giải thưởng năm nay, nhưng ít nhất có 2 ứng viên nặng ký.

1. Patricia J. Yang, Jonathan C. Pham, Jerome Choo, David L. Hu, Duration of urination does not change with body size, PNAS 111, 11932 (2014).

Xem thêm bài giới thiệu của trường Georgia Tech: Study of animal urination could lead to better-engineered products hay là bài giới thiệu ở National Geographic.

2. V. Hart et al., Dogs are sensitive to small variations of the Earth’s magnetic field, Frontiers in Zoology 2013, 10:80 . Xem thêm bài giới thiệu ở Discovery Magazine: Dogs Align Themselves to Earth’s Magnetic Field When Pooping.

Không biết còn công trình nào hay nữa không?

Bài toán đếm gà

Nhà Lan có 4 chuồng gà, mỗi chuồng có 8 con gà. Hỏi nhà Lan có tất cả bao nhiêu con gà?

\textrm{A.}~ 4\times 8 \qquad \textrm{B.}~ 8\times 4\qquad \textrm{C.}~ 8+4! \qquad \textrm{D.}~4^{\,\frac84+\frac48}

\textrm{E.}~ \displaystyle{\frac {\textrm{d}}{\textrm{d}x}} x^{8/4} \bigg|_{x=\frac{4^8}{8^4}}

Hữu xạ tự nhiên hương

Phòng không lạnh ngắt như tờ. Ở góc phòng có một chậu cây, trên cây có một bông hoa. Tại thời điểm t=0 bông hoa nở. Phòng vẫn hoàn toàn tĩnh lặng. Hỏi sau bao nhiêu thời gian thì hương thơm của hoa tràn ngập khắp phòng?

Lực bất tòng tâm

Có những lúc ta cảm thấy lực bất tòng tâm. Đó là tại sao? Chủ yếu là do một trong hai nguyên nhân: hoặc là khối lượng bất tòng tâm, hoặc là gia tốc bất tòng tâm.

Tiểu đội trưởng của chúng tôi là một người giỏi vật lý, đặc biệt là anh ta có biết thuyết tương đối và sự thống nhất của không gian và thời gian. Hôm qua anh ra lệnh: “Các đồng chí đào hào bắt đầu từ chỗ này đến tối!”

Tôi đọc bài “Local and Global in Geometry” của Gromov mấy lần, hình như cuối cùng cũng lờ mờ hiểu được ý chính. Bài báo giải thích nghịch lý: tại sao thế giới thì phẳng, mà thớt ở nhà toàn vênh?

5n bình phương năm trước

Ngày hôm nay (28/6), (5n)^2 năm trước. Đố biết đây là những sự kiện gì?

n=5:

n=2:

n=1:

Bất đẳng thức từ cuốn “Tư bản trong thế kỷ 21″

Hồi học phổ thông tôi rất ghét các bài tập về bất đẳng thức. Tôi nhớ mỗi khi đọc những đầu bài kiểu như là: Chứng minh *#^@^&^#!* < #$#$#@!@!$#@, trong đó cả hai vế đều là những biểu thức toán học dài ngoằng không có một ý nghĩa gì, lòng đã thấy nản không muốn làm.

Nhưng vừa rồi tôi lại đọc được trong cuốn sách mới của Thomas Piketty (mà báo chí đã có lần giới thiệu là cuốn “Thủ đô thế kỷ 21“) một câu như sau:

“Over a period of thirty years, a growth rate of 1 percent per year corresponds to cumulative growth of more than 35 percent.”

Câu này là một mệnh đề toán học, 1.0130 > 1.35. Bất đẳng thức này có đúng không? Dùng máy tính thì rất dễ kiểm tra, nhưng vấn đề là nếu không dùng máy tính thì sao?

Mặc dù ghét các bài tập về bất đẳng thức, loay hoay một lúc tôi cũng chứng minh được bất đẳng thức này sai. Chứng minh của tôi ở dưới. Có lẽ việc này cũng vô bổ như giải mấy bài toán sơ cấp, nhưng có bạn nào tìm ra cách chứng minh khác không? Và trong cuốn sách ngay sau đó tác giả đưa ra một bất đẳng thức nữa: 1.01530>1.5, có ai chứng minh được không?

1.01 < e^{0.01}

1.01^{30} < (e^{0.01})^{30} = e^{0.3}

e^{0.3} = 1 + 0.3 + \displaystyle{\frac{0.3^2}{1\cdot 2}} + \displaystyle{\frac{0.3^3}{1\cdot 2\cdot 3}} + \displaystyle{\frac{0.3^4}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}} + \displaystyle{\frac{0.3^5}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}} + \cdots

< 1.3 + \displaystyle{\frac{0.3^2}{1\cdot 2}} + \displaystyle{\frac{0.3^3}{1\cdot 2\cdot 3}} + \displaystyle{\frac{0.3^4}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 3}} + \displaystyle{\frac{0.3^5}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 3}} + \cdots

= 1.3 + \displaystyle{\frac{0.3^2}{1\cdot 2}} \left[ 1+\displaystyle{\frac{0.3}3} + \displaystyle{\left(\frac{0.3}3\right)^2} + \cdots \right]

=1.3 + \displaystyle{\frac{0.3^2}{1\cdot 2}}\cdot\displaystyle{\frac{10}9}= 1.35

\Rightarrow 1.01^{30}<1.35

Phân bố của số nguyên tố

Hôm nay chúng ta không nói chuyện vật lý nữa mà nói chuyện toán. Mục tiêu không phải để tìm ra gì mới trong toán (“làm nàng Toán hoan hỉ”) mà chỉ đơn giản là để tìm hiểu thêm về vẻ đẹp của nàng, ở mức độ trực giác nhưng không nhất thiết phải chặt chẽ.

Ta đánh ngẫu trên bàn phím ra một số nguyên lớn, ví dụ 4061989. Liệu số này có phải số nguyên tố không? Trong trường hợp cụ thể này, sao khi tìm hiểu ta sẽ thấy số này không phải là số nguyên tố (4061989=809×5021), nhưng có thể đặt câu hỏi: nếu ta chọn một số 7 chữ số ngẫu nhiên thì xác suất số này là số nguyên tố là bao nhiêu?

Nếu nghĩ kỹ ta thấy xác suất này phải nhỏ hơn 1/2, vì một với xác suất một nửa số ta chọn là số chẵn. Nghĩ thêm về việc chia hết cho 3, ta thấy với xác suất 2/3 số ta chọn không chia hết cho ba. Xác suất để cho con số của ta không chia hết cho 2 và không chia hết cho 3 là \frac12\times\frac23=\frac13. Tiếp tục lý luận như vậy ta thấy xác suất để x là số nguyên tố là

\rho(x) = (1-\frac12) (1-\frac13) (1-\frac15) (1-\frac17)(1-\frac1{11}) \ldots (1-\frac 1p_x)

trong đó p_x là số nguyên tố lớn nhất nhỏ hơn x.

Lấy logarit của công thức trên ta được

\ln\rho(x) = \sum\limits_{p=2}^{p_x} \ln(1-\frac 1p)

Nếu x là một số rất lớn thì tổng ở vế phải chạy qua rất nhiều số p có giá trị gần gần bằng nhau, và như vậy tổng có thể thay bằng tích phân, thay cho \sum_p ta có thể viết \int\!dy\,\rho(y), vì \rho(y)dy là số lượng các số nguyên tố nằm trong khoảng (y,y+dy). Như vậy phương trình trên bây giờ thành

\ln\rho(x) = \int\limits_0^x\!dy\, \rho(y) \ln(1- \frac1y)

Đây là phương trình cho \rho(x). Để giải nó ta lấy đạo hàm theo x, biến phương trình tích phân thành phương trình vi phân,

\displaystyle{\frac{\rho'(x)}{\rho(x)}} = \rho(x) \ln(1-\frac1x) \approx -\displaystyle{\frac{\rho(x)}x}

Ở phép biến đổi cuối cùng ở vế phải ta coi x là một số lớn. Ta có thể viết

\displaystyle{\frac{\rho'(x)}{\rho^2(x)}}=-\frac1x

Lấy tích phân của hai vế, chú ý rằng \rho'/\rho^2 = - (1/\rho)', ta có

\displaystyle{\frac1{\rho(x)}} = \ln(x) + C

trong đó C là một hằng số tích phân. Cuối cùng ta tìm được công thức

\rho(x) \sim \displaystyle{\frac1{\ln(x)}}

Đây chính là công thức cần tìm. Như vậy số càng to thì xác suất nó là số nguyên tố càng ít. Với một số 7 chữ số, xác suất này khoảng 6-7%. Từ công thức này ta cũng có thể tìm được số các số nguyên tố nhỏ hơn x:

\pi(x) = \int\limits_0^x\!dy \rho(y) \sim \displaystyle{\frac x{\ln(x)}}

Đây là định lý số nguyên tố nổi tiếng.