Mật độ tới hạn của vũ trụ

Trong bài này chúng ta sẽ làm quen với khái niệm mật độ tới hạn của vũ trụ và một một đại lượng khác thường được gọi đơn giản là \Omega. Giá trị của \Omega là đại lượng quyết định số phận cuối cùng của vũ trụ, nên nó rất quan trọng. Để đọc bài này các bạn chỉ cần có kiến thức vật lý phổ thông.

Khi ta đứng trên mặt đất và tung một hòn đá lên, nó sẽ bay lên nhưng cuối cùng sẽ rơi xuống đất. Đó là do động năng của hòn đá không đủ để thắng thế năng của trọng trường của trái đất.

Bây giờ ta giả sử ta có thể giảm dần khối lượng của trái đất đi mà vẫn giữ kích thước của nó không thay đổi. Để làm như thế ta phải tưởng tượng mật độ của trái đất giảm dần đi. Lúc đó lực hấp dẫn của trái đất sẽ ngày càng yếu, vì lực hấp dẫn tỉ lệ thuận với khối lượng của vật thể. Đến một lúc nào đó hòn đá do ta tung lên sẽ vượt khỏi trọng trường để bay ra ngoài vũ trụ.

Trong vũ trụ học cũng có một hiện tượng như vậy. Qua quan sát ta biết vũ trụ đang giãn nở ra với tốc độ đặc trưng bằng hằng số Hubble (xem ở dưới). Với cùng một tốc độ giãn nở này, nếu vũ trụ có mật độ \rho cao hơn một mật độ \rho_c nào đó thì đến một lúc nào đó nó sẽ không nở ra nữa mà bắt đầu co lại. Ngược lại, nếu \rho<\rho_c nhỏ thì vũ trụ sẽ giãn ra mãi. \rho_c được gọi là tới hạn là mật độ tới hạn.

Trong bài này ta sẽ tính mật độ tới hạn, giả sử hằng số Hubble H là đã biết. Định luật Hubble, xin nhắc lại, là như sau: trong vũ trụ đang giãn nở, hai thiên hà cách nhau khoảng cách bằng a chạy ra xa nhau với vận tốc v tỉ lệ thuận với a. Hằng số tỷ lệ H trong công thức v=Ha được gọi là hằng số Hubble.

Ta tưởng tượng một mô hình vũ trụ rất đơn giản: ta giả sử vũ trụ là một quả cầu có mật độ vật chất là \rho. Mô hình này không hoàn toàn đúng vì vũ trụ không có ranh rới, không có điểm nào có thể coi là tâm hình cầu. Tuy nhiên mô hình đơn giản này sẽ cho ta kết quả đúng.

Ta theo dõi một ngân hà cách tâm quả cầu một khoảng cách bằng a. Gọi khối lượng của ngân hà này là m.

Ta lấy tâm hình cầu làm gốc toạ độ, và xét hệ quy chiếu mà tâm hình cầu đứng yên. Do sự giãn nở của vũ trụ, thiên hà chuyển động ra xa tâm hình cầu. Nếu ta ký hiệu vận tốc chuyển động của thiên hà là v, thì động năng của nó là mv^2/2.

Thế năng của ngân hà bằng -GMm/a, trong đó M là khối lượng vật chất bên trong quả cầu bán kính a: M=4\pi \rho a^3/3.

Như vậy vũ trụ sẽ giãn nở mãi mãi nếu

\displaystyle{\frac{mv^2}2} - G \displaystyle{\frac{4\pi a^3}3} \rho  \frac ma \ge 0

hay

\displaystyle{\frac{v^2}{a^2}} \ge \frac{8\pi G}3 \rho

Nhưng v/a chính là hằng số Hubble H. Bất đẳng thức trên có thể viết thành điều kiện để vũ trụ nở ra mãi mãi

\rho \le \rho_c

trong đó

\rho_c = \displaystyle{\frac{3H^2}{8\pi G}}

chính là mất độ tới hạn. Trong khi đó nếu \rho > \rho_c vũ trụ sẽ co lại.

Tỷ số

\Omega = \displaystyle{\frac{\rho}{\rho_c}}

quyết định số phận của vũ trụ (“Ta là \alpha\Omega…”). Nếu \Omega>1 thì vũ trụ sẽ kết thúc bằng một vụ nổ lớn ngược: mọi thiên hà trong vũ trụ lại vào một điểm, nhiệt độ càng ngày càng cao lên, tiến đến vô cùng. Nếu \Omega\le1 thì tương lai của vũ trụ sáng sủa hơn một chút: các ngân hà càng ngày càng xa nhau ra, vũ trụ ngày càng loãng đi, nhưng không có gì đặc biệt xảy ra.

Để biết tương lai vũ trụ thế nào như vậy ta cần biết \rho\rho_c. Hiện nay ta biết hằng số Hubble khá chính xác:

H = 70 \textrm{km/s/Mpc}

Ở đây Mpc (megaparsec) là đơn vị độ dài dùng trong thiên văn, bằng 3.1 \times 10^{22} m, từ đó ta có thể tìm thấy mật độ tới hạn:

\rho_c \approx 8.5 \times 10^{-27} \textrm{kg/m}^3

Còn để tìm \rho ta phải khoanh ra một thể tích trong vũ trụ và tìm cách “cân” vật chất bên trong thể tích này. Trong một thời gian dài người ta đo được \Omega chỉ độ 0.3, trong đó 0.04 từ vật chất nhình thấy, còn lại từ vật chất không nhìn thấy (“vật chất tối”). Tuy nhiên lý thuyết inflation tiên đoán \Omega=1 với độ chính xác cao. Trong nhiều năm (đầu và giữa những năm 90) nhiều nhà vật lý lý thuyết  vẫn giữ niềm tin sắt son là \Omega=1 mặc dù quan sát có vẻ cho thấy \Omega<1. Cuối cùng, năm 1998 ta biết trong vũ trụ còn một dạng vật chất nữa gọi là “năng lượng tối”, với mật độ bằng khoảng 0.7\rho_c. Cộng thêm mật độ vật chất tối ta có \Omega\approx 1 phù hợp với tiên đoán của lý thuyết inflation.

Những tính toán trong bài này hoàn toàn dựa vào lý thuyết hấp dẫn của Newton, tuy nhiên kết quả chính của bài này (công thức liên hệ \rho_cH) không thay đổi nếu ta dùng thuyết tương đối rộng của Einstein.

Tìm thấy tín hiệu của sóng hấp dẫn từ Big Bang!

“I have a surprise for you: it’s five sigmas, at .2″ Chao-Lin Kuo nói như vậy với Andrei Linde và vợ.

Các bạn thân mến, nếu kết quả mới công bố ngày 17/3/2014 của thí nghiệm BICEP2 là đúng, thì đây có thể là phát hiện vật lý lớn nhất trong hàng chục năm nay! Tạm thời tôi chưa có thời gian viết nhưng các bạn đọc có thể đọc các bài này:

A New Cosmic Discovery Could Be The Closest We’ve Come to the Beginning of Time

Detection of Waves in Space Buttresses Landmark Theory of Big Bang

Bài báo khoa học ở đây: http://bicepkeck.org/b2_respap_arxiv_v1.pdf

Bài báo kết luận: “The long search for tensor B-modes is apparently over, and a new era of B-mode cosmology has begun.” B-mode là tín hiệu sóng hấp dẫn từ vụ nổ lớn, và là một điều lý thuyết inflation tiên đoán từ những năm 1980. Điều mong ước bấy lâu nay đã thoả nỗi chờ mong!

Xem thêm video Chao-Lin Kuo đưa tin cho Andrei Linde, một trong những tác giả của lý thuyết inflation.

Bài tập về scaling (2)

Cho biết tốc độ tiêu thụ năng lượng W của các động vật biến thiên theo khối lượng M theo quy luật W\sim M^{3/4} (định luật Kleiber đã nhắc đến ở bài trước). Hỏi nhịp tim biến thiên theo khối lượng như thế nào?

Khoá học trực tuyến về thuyết tương đối của Brian Greene

Brian Greene của trường Columbia (tác giả cuốn Giai điệu dây và bản giao hưởng vũ trụ) sẽ dạy hai khoá học trực tuyến về Thuyết tương đối, một khoá không dùng toán và một khoá dùng toán. Các khoá học này hoàn toàn miễn phí, các bạn có thể vào đây xem thêm thông tin:

http://www.worldscienceu.com/

Về cơ bản có thể hiểu phần lớn thuyết tương đối hẹp (special relativity) không cần toán gì cao hơn toán phổ thông. (Thuyết tương đối rộng, hay thuyết tương đối tổng quát, thì cần nhiều toán hơn).

Về thuyết tương đối có cuốn sách It’s About Time của David Mermin chỉ cần toán ở trình độ phổ thông. Cuốn này theo tôi rất hay.

Bài tập về scaling

Ta lại nói vật lý của mèo, nhưng trong bài này ta mở rộng khái niệm “mèo” ra để bao gồm cả các động vật liên quan như sư tử, hổ, linh miêu, mèo rừng, người, chuột, v.v.

Ta biết: nếu khối lượng M của mèo tăng lên gấp 8, thì kích thước mỗi chiều L tăng gấp 2; nếu M tăng lên 27 lần thì L tăng lên 3 lần. Ta viết:

L \sim M^{1/3}

Ở đây dấu \sim là nói “biến thiên như”. Những định luật như vậy gọi là scaling.

Định luật này dễ hiểu, vì mật độ vật chất trong cơ thể mèo có thể coi là hằng số, không phụ thuộc vào khối lượng. Tương tự như vậy, diện tích bề mặt A biến thiên theo công thức A\sim M^{2/3}

Hơi khó hiểu hơn một chút là định luật Kleiber, theo đó tốc độ tiêu thụ năng lượng (công suất) biến thiên theo luỹ thừa 3/4 của khối lượng: W\sim M^{3/4}. Khó hiểu là ở chỗ tốc độ chuyển hoá năng lượng không tỷ lệ thuận với khối lượng M, cũng không tỷ lệ thuận với diện tích da M^{2/3} (cái mà ta chờ đợi nếu năng lượng chủ yếu dùng để giữ nhiệt độ cơ thể không đổi), mà theo một luỹ thừa trung gian giữa 1 và 2/3. Định luật này được tìm ra qua quan sát, bản chất của nó là thế nào thì khoa học đang nghiên cứu.

Bài tập: giả sử h là độ cao tối đa mà mèo có thể nhảy lên từ mặt đất, bắt đầu bằng trạng thái tĩnh. Cho h\sim M^z, tìm z.

Chủ tịch Hội vật lý Mỹ thăm Việt Nam

Trên APS news số mới nhất (tháng 10/2013) có bài  “APS President Visit Vietnam for Physics Event”.

Các bạn đọc theo đường dẫn sau: http://www.aps.org/publications/apsnews/201310/upload/October-2013.pdf. Bài nằm ở trang 3.

Thùng lớn, thùng nhỏ

Bạn phải làm thùng sắt để chứa 100 lít khí nén ở áp suất 100 atm. Bạn muốn sử dụng một khối lượng sắt tối thiểu. Bạn nên làm 10 thùng mỗi thùng 10 lít, hay một thùng 100 lít?