5n bình phương năm trước

Ngày hôm nay (28/6), (5n)^2 năm trước. Đố biết đây là những sự kiện gì?

n=5:

n=2:

n=1:

Bất đẳng thức từ cuốn “Tư bản trong thế kỷ 21″

Hồi học phổ thông tôi rất ghét các bài tập về bất đẳng thức. Tôi nhớ mỗi khi đọc những đầu bài kiểu như là: Chứng minh *#^@^&^#!* < #$#$#@!@!$#@, trong đó cả hai vế đều là những biểu thức toán học dài ngoằng không có một ý nghĩa gì, lòng đã thấy nản không muốn làm.

Nhưng vừa rồi tôi lại đọc được trong cuốn sách mới của Thomas Piketty (mà báo chí đã có lần giới thiệu là cuốn “Thủ đô thế kỷ 21“) một câu như sau:

“Over a period of thirty years, a growth rate of 1 percent per year corresponds to cumulative growth of more than 35 percent.”

Câu này là một mệnh đề toán học, 1.0130 > 1.35. Bất đẳng thức này có đúng không? Dùng máy tính thì rất dễ kiểm tra, nhưng vấn đề là nếu không dùng máy tính thì sao?

Mặc dù ghét các bài tập về bất đẳng thức, loay hoay một lúc tôi cũng chứng minh được bất đẳng thức này sai. Chứng minh của tôi ở dưới. Có lẽ việc này cũng vô bổ như giải mấy bài toán sơ cấp, nhưng có bạn nào tìm ra cách chứng minh khác không? Và trong cuốn sách ngay sau đó tác giả đưa ra một bất đẳng thức nữa: 1.01530>1.5, có ai chứng minh được không?

1.01 < e^{0.01}

1.01^{30} < (e^{0.01})^{30} = e^{0.3}

e^{0.3} = 1 + 0.3 + \displaystyle{\frac{0.3^2}{1\cdot 2}} + \displaystyle{\frac{0.3^3}{1\cdot 2\cdot 3}} + \displaystyle{\frac{0.3^4}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}} + \displaystyle{\frac{0.3^5}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}} + \cdots

< 1.3 + \displaystyle{\frac{0.3^2}{1\cdot 2}} + \displaystyle{\frac{0.3^3}{1\cdot 2\cdot 3}} + \displaystyle{\frac{0.3^4}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 3}} + \displaystyle{\frac{0.3^5}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 3}} + \cdots

= 1.3 + \displaystyle{\frac{0.3^2}{1\cdot 2}} \left[ 1+\displaystyle{\frac{0.3}3} + \displaystyle{\left(\frac{0.3}3\right)^2} + \cdots \right]

=1.3 + \displaystyle{\frac{0.3^2}{1\cdot 2}}\cdot\displaystyle{\frac{10}9}= 1.35

\Rightarrow 1.01^{30}<1.35

Phân bố của số nguyên tố

Hôm nay chúng ta không nói chuyện vật lý nữa mà nói chuyện toán. Mục tiêu không phải để tìm ra gì mới trong toán (“làm nàng Toán hoan hỉ”) mà chỉ đơn giản là để tìm hiểu thêm về vẻ đẹp của nàng, ở mức độ trực giác nhưng không nhất thiết phải chặt chẽ.

Ta đánh ngẫu trên bàn phím ra một số nguyên lớn, ví dụ 4061989. Liệu số này có phải số nguyên tố không? Trong trường hợp cụ thể này, sao khi tìm hiểu ta sẽ thấy số này không phải là số nguyên tố (4061989=809×5021), nhưng có thể đặt câu hỏi: nếu ta chọn một số 7 chữ số ngẫu nhiên thì xác suất số này là số nguyên tố là bao nhiêu?

Nếu nghĩ kỹ ta thấy xác suất này phải nhỏ hơn 1/2, vì một với xác suất một nửa số ta chọn là số chẵn. Nghĩ thêm về việc chia hết cho 3, ta thấy với xác suất 2/3 số ta chọn không chia hết cho ba. Xác suất để cho con số của ta không chia hết cho 2 và không chia hết cho 3 là \frac12\times\frac23=\frac13. Tiếp tục lý luận như vậy ta thấy xác suất để x là số nguyên tố là

\rho(x) = (1-\frac12) (1-\frac13) (1-\frac15) (1-\frac17)(1-\frac1{11}) \ldots (1-\frac 1p_x)

trong đó p_x là số nguyên tố lớn nhất nhỏ hơn x.

Lấy logarit của công thức trên ta được

\ln\rho(x) = \sum\limits_{p=2}^{p_x} \ln(1-\frac 1p)

Nếu x là một số rất lớn thì tổng ở vế phải chạy qua rất nhiều số p có giá trị gần gần bằng nhau, và như vậy tổng có thể thay bằng tích phân, thay cho \sum_p ta có thể viết \int\!dy\,\rho(y), vì \rho(y)dy là số lượng các số nguyên tố nằm trong khoảng (y,y+dy). Như vậy phương trình trên bây giờ thành

\ln\rho(x) = \int\limits_0^x\!dy\, \rho(y) \ln(1- \frac1y)

Đây là phương trình cho \rho(x). Để giải nó ta lấy đạo hàm theo x, biến phương trình tích phân thành phương trình vi phân,

\displaystyle{\frac{\rho'(x)}{\rho(x)}} = \rho(x) \ln(1-\frac1x) \approx -\displaystyle{\frac{\rho(x)}x}

Ở phép biến đổi cuối cùng ở vế phải ta coi x là một số lớn. Ta có thể viết

\displaystyle{\frac{\rho'(x)}{\rho^2(x)}}=-\frac1x

Lấy tích phân của hai vế, chú ý rằng \rho'/\rho^2 = - (1/\rho)', ta có

\displaystyle{\frac1{\rho(x)}} = \ln(x) + C

trong đó C là một hằng số tích phân. Cuối cùng ta tìm được công thức

\rho(x) \sim \displaystyle{\frac1{\ln(x)}}

Đây chính là công thức cần tìm. Như vậy số càng to thì xác suất nó là số nguyên tố càng ít. Với một số 7 chữ số, xác suất này khoảng 6-7%. Từ công thức này ta cũng có thể tìm được số các số nguyên tố nhỏ hơn x:

\pi(x) = \int\limits_0^x\!dy \rho(y) \sim \displaystyle{\frac x{\ln(x)}}

Đây là định lý số nguyên tố nổi tiếng.

Tản mạn về vodka

Vào những năm 1960 ở Liên Xô một chai vodka 0,25 lít giá 1,49 rúp, còn một chai 0,5 lít giá 2,87 rúp. Việc định giá vodka phản ánh trình độ phát triển khoa học rất cao ở Liên Xô thời đó: 1,492,87≈π.

* * *

Nhà toán học Liên Xô Israel Gelfand đã từng nói người nghiện rượu nào ở Nga cũng biết 2/3>3/5. Khi phải chọn giữa 2 chai vodka cho 3 người hay 3 chai vodka cho 5 người, người đó chắc chắn sẽ chọn 2 chai cho 3 người. Điều này có lẽ chỉ đúng ở Nga. Trong một cuốn sách về thuyết tương đối mới xuất bản ở Anh ta đọc được câu: “Nói cách khác, phi thuyền chuyển động với tốc độ 3/5c, tức là 0,67c”.

* * *

Một đám sinh viên vật lý tụ tập uống rượu vodka, có nhiều người nhưng chỉ có một chai. Một sinh viên thấy cốc rượu của mình không đầy, giơ cốc lên bảo người rót: “Rót thêm cho tớ chứ, đã thoả mãn điều kiện biên đâu?”  Sinh viên rót rượu giơ chai rượu lên bảo “Không thấy điều kiện ban đầu à?”

Bài tập về nhiệt: làm nguội sữa

Bình A đựng nước và bình B đựng sữa, thể tích chất lỏng trong hai bình như nhau. Nước trong bình A là nước lạnh ở nhiệt độ 0 độ C, còn sữa ở bình B là sữa nóng với nhiệt độ 100 độ độ C. Ngoài ra ta có thêm bình C, đầu tiên không chứa gì.

Ta muốn dùng nước lạnh trong bình A để làm nguội sữa nóng trong bình B. Cách đơn giản nhất là cho hai bình tiếp xúc vào trao đổi nhiệt với nhau. Khi quá trình trao đổi nhiệt kết thúc thì hai bình có nhiệt độ như nhau, khoảng 50 độ C. Sữa như thế này vẫn hơi nóng. Có cách nào làm cho sữa lạnh hơn thế không?

Ta sẽ thử cách sau. Thay vì cho cả bình B tiếp xúc với bình A, ta múc một thìa sữa từ bình B, cho thìa sữa trao đổi nhiệt với bình A, đến lúc cân bằng nhiệt thì đổ thìa sữa vào bình C.

Sau đó ta lại múc một thìa sữa thứ hai từ bình B, cho thìa sữa trao đổi nhiệt với bình A, đến lúc cân bằng nhiệt lại đổ thìa sữa vào bình C.

Cứ làm đến thìa sữa thứ 100 thì toàn bộ sữa ở bình B đã chuyển sang bình C.

Giả sử năng lượng nhiệt hoàn toàn không mất đi trong quá trình đổ đi đổ lại, và nhiệt dung riêng của thìa và của các bình cũng bằng không.

Hỏi đến lúc cuối cùng

1. Sữa trong bình C nóng hơn hay lạnh hơn nước trong bình A?

2. Sữa trong bình C nóng hơn hay lạnh hơn thân nhiệt của người?

(bài này từ một cuốn sách, tôi sẽ giới thiệu sau khi đã có lời giải)

Archimed của thế kỷ 21

Vào thế kỷ thứ 3 trước công nguyên, Archimed dùng gương cong để đốt cháy chiến thuyền của quân La Mã

Archimed

Vào thế kỷ 21, một số kiến trúc sư Anh lặp lại chiến công của Archimed bằng toà nhà 20 Fenchurch Street, London (còn gọi là Walkie-talkie building)

Walkie-talkie building

Toà nhà hội tụ ánh sáng mặt trời vào dãy nhà đối diện gây cháy cả thảm, yên xe đạp, làm chảy cả vỏ ô tô. Chỗ ánh sáng hội tụ đủ nóng để rán trứng. Xem thêm bài này: http://www.dailymail.co.uk/news/article-2409710/Walkie-Talkie-building-melting-bicycles-Light-reflected-construction-City-skyscraper-scorches-seat.html

Bài tập: giả sử ta có thể làm được những chiếc gương phản chiếu lý tưởng, có giới hạn nào cho nhiệt độ đạt được ở điểm hội tụ ánh sáng mặt trời hay không? Nếu có thì giới hạn là bao nhiêu độ?

Số phận của vũ trụ đã an bài

Trong bài trước ta tìm được điều kiện để vũ trụ nở ra mãi mãi hoặc cuối cùng sẽ co lại. Nếu

\rho > \displaystyle{\frac{3H^2}{8\pi G}} \qquad\qquad (1)

vũ trụ sẽ co lại. Ngược lại thì vũ trụ sẽ nở ra mãi mãi. Hằng số Hubble H là một đại lượng đo được khá chính xác. Sau khi đo được H, theo công thức trên, ta có thể đo mật độ khối lượng trong vũ trụ \rho để biết số phận cuối cùng của nó thế nào.

Nhưng ta đã dùng cơ học Newton để tìm ra công thức này, mà như ai cũng biết lý thuyết đầy đủ về trường hấp dẫn là thuyết tương đổi rộng của Einstein, chứ không phải lý thuyết của Newton. Theo lý thuyết của Newton thì nguồn của lực hấp dẫn là khối lượng. Nhưng theo lý thuyết của Einstein thì nguồn của lực hấp dẫn là cả khối lượng lẫn áp suất. Trong bài này tôi sẽ giải thích tại sao công thức trên không bị thay đổi khi ta dùng lý thuyết của Einstein, ngay cả khi áp suất trong vũ trụ rất lớn, khi định luật vạn vật hấp dẫn của Newton không còn áp dụng được.

Trong bài trước là ta coi vật chất trong vũ trụ là vật chất phi tương đối tính, dân dã gọi là “bụi”. Bụi có mật độ khối lượng là \rho, và áp suất của bụi là rất thấp. Ở đây “thấp” là so với mật độ năng lượng. Nếu một vật có mật độ khối lượng là \rho thì mật độ năng lượng sẽ là \epsilon=\rho c^2 (theo công thức E=mc^2). Mật độ năng lượng đo bằng J/m3, cũng chính là N/m2, như vậy mật độ năng lượng và áp suất có cùng thứ nguyên.

Bụi được định nghĩa là các thể vật chất mà P nhỏ hơn nhiều lần \epsilon. Định luật vạn vật hấp dẫn của Newton áp đụng được đối với bụi. Chẳng hạn không khí có mật độ là \rho=1.3 kg/m3, nếu tính ra mật độ năng lượng tương đương với 1017 J/m3, tức là 1017 Pa, cao 1 nghìn tỷ lần áp suất không khí. Như vậy rõ ràng từ quan điểm của vũ trụ học, không khí là “bụi”, cũng như phần lớn các chất khác quanh ta. Các lý luận ta áp dụng trong bài trước mặc định vật chất trong vũ trụ là “bụi”.

Ngược lại, bức xạ không phải là bụi. Bức xạ có thể coi là khí tạo thành từ các hạt photon, chuyển động rất nhanh nên khi đập vào thành tường chúng gây ra áp suất rất lớn. Bức xạ có mật độ năng lượng và áp suất cùng một độ lớn, chính xác hơn là: \epsilon=3P.

Lý thuyết tương đối của Einstein cho thấy không những năng lượng gây ra trường hấp dẫn, mà cả áp suất cũng gây ra trường hấp dẫn. Như vậy, về nguyên tắc công thức ở trên có thể thay đổi. Ví dụ ta có thể tưởng tượng ra vũ trụ co lại nếu

\rho + \displaystyle{\frac P{c^2}} > \displaystyle{\frac{3H^2}{8\pi G}} \qquad \qquad (2)

và nở ra nếu ngược lại. Đối với bụi thì \rho\rho+P/c^2 coi như là như nhau, nhưng đối với các loại vật chất khác thì chúng có thể rất khác nhau. Làm sao ta biết (1) hay (2) là đúng?

Để trả lời câu hỏi này, ta dựa vào một Tiên đề

“Không thể thay đổi được số phận cuối cùng của vũ trụ”

Điều này nghĩa là nếu nếu đo đạc ở một lúc nào đó ta thấy vũ trụ có thể sẽ co lại thành một điểm, thì ta không có cách nào thay đổi được để vũ trụ lại nở ra. Hoặc ngược lại, nếu ta đo thấy vũ trụ đang trên đà giãn nở ra mãi mãi, thì sẽ không có cách nào làm cho nó co lại thành một điểm. Nói cách khác vũ trụ đã định co là co, đã định giãn là giãn.

Bây giờ giả sử tiêu chuẩn để vũ trụ cuối cùng nở ra/co lại là (2) chứ không phải là (1). Ta có thể thấy điều này trái với Tiên đề nói trên: ta có thể thay đổi được áp suất của vũ trụ (chẳng hạn, bằng cách dùng phản ứng hạt nhân, biết khối lượng thành năng lượng bức xạ), và như vậy nếu ta thấy vũ trụ của ta đang có \rho+P/c^2 hơi nhỏ hơn 3H^2/8\pi G một tý và đang trên đà giãn ra vô cùng, ta có thể tăng P lên để cho \rho+P/c^2 trở nên lớn hơn 3H^2/8\pi G, và vũ trụ co lại thành một điểm.

Ngược lại, nếu cái quyết định số phận vũ trụ là \rho thì con người coi như bất lực trước Đấng toàn năng, ít nhất về vấn đề số phận của vũ trụ: do định luật bảo toàn năng lượng, ta làm gì cũng không thay đổi được \rho, vì mật độ năng lượng bị đóng cứng ở \rho c^2.

Vì vậy, nếu ta chấp nhận tiên đề nói trên, cái quyết định số phận cuối cùng của vũ trụ là mật độ khối lượng, chứ áp suất không đóng vai trò gì. Công thức ở đầu bài này đúng ngay cả trong lý thuyết tương đối rộng của Einstein.

Từ công thức này ta có thể suy diễn ra tại sao “năng lượng tối” (dạng vật chất chiếm 70% khối lượng của vũ trụ) có khối lượng dương lại có thể gây ra hiện tượng “phản hấp dẫn”, tức là đẩy các vật khác ra chứ không phải hút vào. Nhưng đây là đề tài của một bài khác.

(Cho các bạn biết lý thuyết tương đối rộng: nguồn gốc sâu xa của Tiên đề trên là trong lý thuyết của Einstein, nếu vũ trụ có mật độ lớn hơn tới hạn thì nó phải có thể tích hữu hạn, còn nếu mật độ nhỏ hơn tới hạn thì thể thích của nó là vô cùng)