A problem by Sakharov

Andrei Sakharov (1921-1989) was a Soviet physicist. He is well known (among other things) for his work on the origin of baryon asymmetry in the Universe, his contributions to the Soviet hydrogen bomb program, and his political activism.

Here is one of his math problems.

A pizza his cut by straight lines into small pieces. The number of lines is very large and the cuts are drawn completely randomly. Most of the pizza pieces are then polygons with straight edges, with varying number of vertices.



Question 1: What is the average number of vertices of a pizza piece?

Question 2: Let S be the average area and p be the average perimeter of a pizza piece. What is the value of S/p2?

(In the original version, the pizza is replaced by a slice of cabbage. It is said that Sakharov made up this problem while he was cutting cabbage to help his wife with pirogi making.)

Source: Сахаровский сборник, изд. Хроника, Нью-Йорк, 1981, с. 140.


Origin of the term “ghost” used in quantum field theory

For a long time I had been wondering who was the first to use the term “ghost” into quantum field theory. My first encounter with the term was in the context of Faddeev-Popov’s approach to quantization of non-Abelian gauge theories. But Faddeev and Popov, in their first articles, did not use “ghost”; instead, they used a more innocuous term, something like “a fictitious scalar field.” From what I could find out, almost immediately after Faddeev and Popov that strange field, scalar but with fermionic statistics, was renamed “ghost.” The post-Faddeev-Popov literature, however, does not contain any indication on who came up with this term. It also seems that the Russian equivalent “духи” was imported from English, rather than the other way around.

Who was that person who has managed to introduce into the vocabulary of particle physics, the science of the 20th century, a word that has origin in the superstitious beliefs at the dawn of human history?

Several days ago I ran onto David Derbes, a retired physics teacher from the University of Chicago Laboratory High School, who has helped the publication of a number of historical documents, including Dyson’s and Coleman’s lectures in quantum field theory. He told me about his latest object of study—the first preprint of Faddeev and Popov, in Russian and never published. I asked him if he knew the origin of the term “ghost.” David said did not know, but he told me he would try to find out.

With David’s help, now I think I know who has introduced the term “ghost” and when.

It turned out that the term was introduced by Wolfgang Pauli, in a different context. Pauli, a giant in physics, was also responsible for the introduction of the particle now called “neutrino” with a famous letter which started with the words „Liebe radioaktive Damen und Herren“, “Dear radioactive Ladies and Gentlemen.” And as with the neutrino, Pauli introduced the term “ghost” in a letter. In fact, in two letters. The first letter, sent to Källén on December 9, 1954, contains Pauli’s announcement of his intention to send a letter to TD Lee, where he would propose the word “ghost.” (The letter to Källén is letter [1942] in the book edited by Karl von Meyenn, see the end of this posting). Pauli predicted that once the term is proposed, its use will spread epidemically in the literature. But Pauli wrote that he did not think “ghosts” are physical, citing a quote, allegedly by Lichtenberg, “There are more things in the compendiums of physics, than are dreamt of in heaven and Earth.”

The letter to TD Lee was sent five days later on December 14, 1954, written in English, and copied to Dyson. Here are the beginning and the end of that letter. Note the way Pauli signed the letter. (Text taken from the Karl von Mayenn’s book; this is letter [1946] in that volume.)

“Dear Lee!

It is already some time that I started to study your paper seriously. Days became weeks, weeks two months and my file „Lee-model“ is still increasing – a proof of its importance. It is true that in my way of looking at it, most of this importance is concentrated in your footnote 4, p. 1331 and the rest of the paper seems to me, at least in first approximation, negligible in comparison to this small printed note.

(… a lot of technical discussions follow …)

The essential occurrence of negative probabilities in your example makes it, of course, extremely unphysical. But this is not my whole story, and in some other respects, I may have good consolation for you, too. Until now I only told you results which are proved. In the following concluding part of this letter I shall formulate guesses or conjectures of a more general kind, which should be merely considered as the outline of a program of further mathematical investigations.

Let us call a new energy-state with negative probability (negative in comparison with the other states of normal behaviour for small coupling constant), whose energy tends to ±∞ for (renormalized) coupling constant g going to 0, a ‚ghost‘. It is my opinion that the occurrence of ‚ghosts‘ will soon turn out to be a general feature of coupling constant renormalization. This feature has been revealed first by your example, the importance of which should therefore not be underrated. If the unrenormalized theory diverges logarithmically, the energy of the ghosts will behave for small g as \exp(\textrm{const}/g^2). This seems to offer an explanation for the fact that in the examples, which could be really investigated until now, Dyson’s power series have the convergence radius zero. I suggest that this result (Thirring and others), which is presumably general, be brought in connection with the fact that the ghost energy is of the mentioned essentially singular type at the point g = 0. If my conjecture is right, the renormalized field-theory should have a mathematically rigorous solution, which, however, is unphysical because of the occurrence of negative probabilities in it. The ghosts have no physical reality whatsoever, they are the formal reaction of mathematics to the tricks played on her by the method of renormalization.

If my conjecture is right, this should also hold for quantum electrodynamics, the only case where we are certain that renormalization has anything to do with nature. The ghosts would then be situated very roughly, at the extreme high energy of e137 times electron mass (factors like l/π in the exponent not excluded). These ghost-states will then be only very seldom excited and one can understand the possibility that quantum-electrodynamics including renormalization, can give good approximations. But, in principle, it would have this defect too.

The situation is too new for us to think about the therapy now, we have first to think about good mathematical methods, to check the diagnosis and make the bacillus in the renormalization method generally visible. There are great difficulties in this problem. If, for instance, a ‚ghost‘ would be discovered in a Tamm-Dancoff approximation, how could we be sure that it is not only a result of the insufficiency of this approximation?

Nevertheless I think that this mathematical problem can be attacked and I suggested to Källén, who is at present in Copenhagen, that he resumes his old work of 1952 in the light of this new aspect. Our results will certainly be published in due time in one form or another but I think they have first to be put on a broader basis.

Meanwhile I hope that the end of this long letter will be the beginning of something else and I conclude with all good wishes for Xmas and for a really new year in physics to yourself and to all friends at Columbia University.

Sincerely yours,

The society of ghost hunters
The president

TD Lee’s paper mentioned by Pauli is Phys. Rev. 95, 1329 (1954). Pauli would continue to refer to particles with negative norm as “ghosts.” For example, in a letter sent to to Heisenberg on May 18, 1955, Pauli expressed doubt that modes with negative norm in Heisenberg’s model can be quarantined from the rest of the Hilbert space. He asked: „Wieso bleibt der Geist in der Flasche?“ “Why does the ghost stay in the bottle?” (it appears that in German the word Geist, meaning ghost, is also used for a genie in a bottle).

Pauli’s ghost is, in the modern language, related to the Landau pole. With the invention of asymptotic freedom, Landau pole is no longer inevitable in quantum field theory. Pauli’s prediction that the term “ghost” would be widely used remains correct. “Ghost” lives on, most notably as the colorful name for Faddeev and Popov’s “fictitious scalar field.”


W. Pauli, Wissenschaftlicher Briefwechsel mit Bohr, Einstein, Heisenberg u.a. Band IV, Teil II: 1953-1954 (Scientific Correspondence with Bohr, Einstein, Heisenberg, a.o. Volume IV, Part II: 1953-1954), edited by Karl von Meyenn, Springer, 1999.

Addendum (July 6, 2019): Although the English word “ghost” was first proposed by Pauli in his December 9, 1954 letter to Källén, Pauli conceived the use of the German word “Geist” for the same purpose a few days earlier, in his December 6, 1954 letter to Fierz.

Huy chương Dirac của ICTP năm 2018

Tôi cảm thấy rất vinh dự là một trong ba người được Trung tâm Vật lý lý thuyết quốc tế (ICTP) trao huy chương Dirac năm 2018. Tôi rất vui là cùng nhận giải với tôi là hai người đồng nghiệp tôi rất kính trọng, Subir Sachdev và Xiao-Gang Wen. Giải thưởng còn có ý nghĩa đặc biệt với tôi vì ICTP là một tổ chức đã giúp nhiều nhà khoa học từ các nước đang phát triển, trong đó có Việt Nam, tiếp xúc với cộng đồng khoa học quốc tế.

Tôi muốn nhân dịp này bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với các thầy cô, và chân thành cảm ơn đồng nghiệp, bạn bè, người thân đã tin, ủng hộ và giúp đỡ tôi suốt những năm qua.

Tôi cũng muốn chia sẻ đôi chút về công việc của mình. Thời gian sắp tới, cùng với đồng nghiệp và học trò, tôi sẽ tiếp tục tiến hành nghiên cứu các hiện tượng lượng tử trong các hệ nhiều hạt, đặc biết là các hệ tương tác mạnh. Bài toán về tương tác mạnh trong vật lý nhiều hạt là một bài toán khó và quan trọng đối với nhiều lĩnh vực, trong đó có vật lý hạt nhân và khoa học vật liệu. Rất nhiều khả năng là những phương pháp ta dùng hiện nay, bao gồm những phương pháp đối ngẫu mà tôi tham gia phát triển, sẽ chỉ là một phần nhỏ của những công cụ người ta sử dụng trong tương lai.

Về lâu dài, tôi muốn tìm tòi học hỏi về các lĩnh vực khác nhau của vật lý và khoa học nói chung, không nhất thiết liên quan trực tiếp đến những đề tài hiện nay tôi đang nghiên cứu.

Và cuối cùng, không thể không nhắc đến mối quan tâm lớn của tôi là sự phát triển của ngành Vật lý Việt Nam. Tôi đang cùng đồng nghiệp trong và ngoài nước bàn bạc, tìm cách cải thiện ngành vật lý Việt Nam hiện nay. Chúng ta có tiềm năng, và tôi tin rằng tương lai của ngành vật lý ở Việt Nam sẽ rất xán lạn nếu chúng ta có một chính sách đúng đắn nhằm thu hút được những tài năng trẻ và tạo điều kiện cho họ phát triển tài năng của mình. Tôi rất mong có được sự ủng hộ thiết thực từ phía nhà nước để sớm ra được một chính sách như vậy.

Ở đâu có đối xứng, ở đó có bảo toàn

Emmy Noether và bài báo năm 1918

100 năm về trước, ngày 26/7/1918 là ngày định lý Noether được công bố. Định lý này là một định lý rất quan trọng trong vật lý. Nó nói rằng mỗi đối xứng (chính xác hơn: đối xứng liên tục) của một hệ vật lý dẫn đến một định luật bảo toàn. Vị dụ tính đồng nhất của không gian dẫn đến định luật bảo toàn xung lượng. Tính đồng nhất của thời gian (các định luật vật lý, các hằng số cơ bản không thay đổi theo thời gian) dẫn đến định luật bảo toàn năng lượng. Tính đẳng hướng của không gian (nhìn theo hướng nào không gian cũng như nhau) dẫn đến định luật bảo toàn mômen quay. Định lý này đã thấm sâu vào nếp suy nghĩ của các nhà vật lý. Mọi định luật bảo toàn đều cuối cùng được đưa về một đối xứng. Ví dụ định luật bảo toàn điện tích liên quan đến đối xứng gauge của phương trình Schrödinger (“Định luật bảo toàn khối lượng” hay nói đến trong sách giáo khoa thì do công thức E=mc^2 chính là từ định luật bảo toàn năng lượng mà ra).

Có lẽ lần đầu tiên tôi được nghe nói đến bà Emmy Noether là từ cô Hoàng Xuân Sính vào năm 1984. Emmy Noether sống vào thời còn rất nhiều trở ngại cho phụ nữ làm khoa học. Bà chỉ được học dự thính chứ không được học chính thức. Và ở Göttingen người ta không cho bà làm giáo sư (Privatdozent), mặc dù được Hilbert và Klein hết sức ủng hộ. Người ta kể lại rằng trong cuộc họp một giáo sư nói: “Cứ tưởng tượng những chiến sĩ của ta từ chiến trường trở về, họ sẽ cảm thấy thế nào nếu phải học một người phụ nữ?” Hilbert trả lời: “Tôi không nghĩ giới tính là quan trọng cho việc xét vào chức Privatdozent. Đây là trường đại học chứ không phải nhà tắm công cộng.”

Theo link ở dưới các bạn có thể xem video của Perimeter Institute về định lý Noether. Có các video giải thích ở các mức khác nhau.


Không đề


Bài thơ ngày nào anh viết cho em
Nay đã nằm bên kia chân trời sự kiện.
Những khao khát ngây thơ, ước mơ thánh thiện,
theo Hawking, rồi sẽ thành tương quan lượng tử giữa các hạt photon.