Category Archives: Problems

Lord Kelvin and the heat transfer problem

Lord Kelvin argued that life on Earth had to be younger than 100 millions years, the time it takes for heat from the center of the Earth to diffuse to its surface. For if the Earth’s surface had been cool enough for life for more than 100 millions years, its molten core would have long lost all its heat, and the Earth now would be too cold for volcanic activities. Lord Kelvin’s claim was later discredited by the discovery of radioactivity, but his treatment of the heat transfer problem is widely accepted as correct.

Diffusion of heat is essentially a Brownian motion, in which the distance traveled is proportional to the square root of time. If it takes 100 millions years for heat to travel the radius of the Earth, i.e., 6000 km, then it would take 100 years for heat to travel 6 km. Scaling down further, it would take 3000 seconds for heat to go 6 m, and only 0.3 seconds for 6 cm.

Then why do I have to cook an egg in boiling water for 6 minutes???

Luộc trứng

Trứng gà có kích thước khoảng 5 cm chiều dài, luộc 6 phút thì ăn được. Trứng đà điểu kích thước 15 cm chiều dài, hỏi luộc bao nhiêu phút thì ăn được?

Hữu xạ tự nhiên hương

Phòng không lạnh ngắt như tờ. Ở góc phòng có một chậu cây, trên cây có một bông hoa. Tại thời điểm t=0 bông hoa nở. Phòng vẫn hoàn toàn tĩnh lặng. Hỏi sau bao nhiêu thời gian thì hương thơm của hoa tràn ngập khắp phòng?

Bất đẳng thức từ cuốn “Tư bản trong thế kỷ 21”

Hồi học phổ thông tôi rất ghét các bài tập về bất đẳng thức. Tôi nhớ mỗi khi đọc những đầu bài kiểu như là: Chứng minh *#^@^&^#!* < #$#$#@!@!$#@, trong đó cả hai vế đều là những biểu thức toán học dài ngoằng không có một ý nghĩa gì, lòng đã thấy nản không muốn làm.

Nhưng vừa rồi tôi lại đọc được trong cuốn sách mới của Thomas Piketty (mà báo chí đã có lần giới thiệu là cuốn “Thủ đô thế kỷ 21“) một câu như sau:

“Over a period of thirty years, a growth rate of 1 percent per year corresponds to cumulative growth of more than 35 percent.”

Câu này là một mệnh đề toán học, 1.0130 > 1.35. Bất đẳng thức này có đúng không? Dùng máy tính thì rất dễ kiểm tra, nhưng vấn đề là nếu không dùng máy tính thì sao?

Mặc dù ghét các bài tập về bất đẳng thức, loay hoay một lúc tôi cũng chứng minh được bất đẳng thức này sai. Chứng minh của tôi ở dưới. Có lẽ việc này cũng vô bổ như giải mấy bài toán sơ cấp, nhưng có bạn nào tìm ra cách chứng minh khác không? Và trong cuốn sách ngay sau đó tác giả đưa ra một bất đẳng thức nữa: 1.01530>1.5, có ai chứng minh được không?

1.01 < e^{0.01}

1.01^{30} < (e^{0.01})^{30} = e^{0.3}

e^{0.3} = 1 + 0.3 + \displaystyle{\frac{0.3^2}{1\cdot 2}} + \displaystyle{\frac{0.3^3}{1\cdot 2\cdot 3}} + \displaystyle{\frac{0.3^4}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}} + \displaystyle{\frac{0.3^5}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}} + \cdots

< 1.3 + \displaystyle{\frac{0.3^2}{1\cdot 2}} + \displaystyle{\frac{0.3^3}{1\cdot 2\cdot 3}} + \displaystyle{\frac{0.3^4}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 3}} + \displaystyle{\frac{0.3^5}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 3}} + \cdots

= 1.3 + \displaystyle{\frac{0.3^2}{1\cdot 2}} \left[ 1+\displaystyle{\frac{0.3}3} + \displaystyle{\left(\frac{0.3}3\right)^2} + \cdots \right]

=1.3 + \displaystyle{\frac{0.3^2}{1\cdot 2}}\cdot\displaystyle{\frac{10}9}= 1.35

\Rightarrow 1.01^{30}<1.35

Bài tập về nhiệt: làm nguội sữa

Bình A đựng nước và bình B đựng sữa, thể tích chất lỏng trong hai bình như nhau. Nước trong bình A là nước lạnh ở nhiệt độ 0 độ C, còn sữa ở bình B là sữa nóng với nhiệt độ 100 độ độ C. Ngoài ra ta có thêm bình C, đầu tiên không chứa gì.

Ta muốn dùng nước lạnh trong bình A để làm nguội sữa nóng trong bình B. Cách đơn giản nhất là cho hai bình tiếp xúc vào trao đổi nhiệt với nhau. Khi quá trình trao đổi nhiệt kết thúc thì hai bình có nhiệt độ như nhau, khoảng 50 độ C. Sữa như thế này vẫn hơi nóng. Có cách nào làm cho sữa lạnh hơn thế không?

Ta sẽ thử cách sau. Thay vì cho cả bình B tiếp xúc với bình A, ta múc một thìa sữa từ bình B, cho thìa sữa trao đổi nhiệt với bình A, đến lúc cân bằng nhiệt thì đổ thìa sữa vào bình C.

Sau đó ta lại múc một thìa sữa thứ hai từ bình B, cho thìa sữa trao đổi nhiệt với bình A, đến lúc cân bằng nhiệt lại đổ thìa sữa vào bình C.

Cứ làm đến thìa sữa thứ 100 thì toàn bộ sữa ở bình B đã chuyển sang bình C.

Giả sử năng lượng nhiệt hoàn toàn không mất đi trong quá trình đổ đi đổ lại, và nhiệt dung riêng của thìa và của các bình cũng bằng không.

Hỏi đến lúc cuối cùng

1. Sữa trong bình C nóng hơn hay lạnh hơn nước trong bình A?

2. Sữa trong bình C nóng hơn hay lạnh hơn thân nhiệt của người?

(bài này từ một cuốn sách, tôi sẽ giới thiệu sau khi đã có lời giải)