Trả tiền nhuận bút

Posted on January 12, 2017 | 11 Comments

Một tờ tạp chí quy định trả tiền nhuận bút theo số trang. Bài dài n trang được trả

$1+\displaystyle{\frac12}+\displaystyle{\frac13}+\cdots+\displaystyle{\frac1n}$

đồng.

Bạn Tèo có một bài báo dài 1/2 trang được đăng. Hỏi toà soạn phải trả bạn bao nhiêu tiền?

This entry was posted in Math, Problems. Bookmark the permalink.

11 responses to “Trả tiền nhuận bút”

hung | January 13, 2017 at 1:51 am | Reply

1 đồng
thilan | January 13, 2017 at 2:27 am | Reply

Khiếp, trông phức tạp quá ! Ví dụ em cứ tính là Tèo viết được một trang, tính cho nó dễ, tính ra rồi thì em chia hai để được nửa trang, thì có đúng không?

Chính những bài toán như thế này khiến cho học trò kinh hãi. Ấy là vì, nếu chúng có giải ra được, thì chúng cũng không dám công bố, vì sợ người ta đọc xong chê mình dốt. Sao mà các thày cô lại có tài làm cho học trò sợ toán suốt đời hay thế chứ? 😀 Em hy vọng sir HHK cùng GS NBC sẽ làm cho mọi người gần gụi với toán hơn ! 🙂
- damtson | January 13, 2017 at 10:25 am | Reply
  
  Trả 1 đồng như bạn hung viết thì không công bằng, vì viết 1 trang cũng được tiền như nửa trang. Trả 1/2 đồng cũng không phải là hay, vì ý tưởng của công thức trên là để khuyến khích viết ngắn, viết càng dài thì số tiền nhận được trên một trang giấy càng nhỏ (nhưng không bằng không), nếu 1/2 trang được 1/2 đồng thì số tiền tính theo trang bằng trường hợp viết 1 trang.
Mèo | January 13, 2017 at 2:06 pm | Reply

Cứ mỗi 1/(2^n) trang thì trả 1/(2^n) đồng :D.
Dung Nguyen Xuan | January 13, 2017 at 5:44 pm | Reply

Bài này mà dùng một hàm (function) thì hơi khó. Cho em ăn gian dùng 2 hàm.

Gọi số tiền trả cho nửa trang đầu tiên của trang thứ n là f(n), nửa trang thứ 2 của trang thứ n là g(n).

Điều kiện nhuận bút được thỏa mãn khi
(1) g(n)>0, f(n)>0
(2) g(n)+f(n)=1/n
(3) g(n) f(n+1)

Để thỏa mãn 3 điều kiện đầu, ta đặt

f(n)= 1/(2n)+h(n) và

g(n)=1/(2n)-h(n) với h(n)>0 và h(n)<1/(2n).

Điều kiện cuối cùng được thỏa mãn khi

h(n)+h(n+1) < 1/(2n)-1/(2n+2)=1/(2n(n+1))

Có rất nhiều hàm h(n) thỏa mãn được tính chất này. Em mạnh dạn lấy hàm h(n)=1/(4n(n+1)).

Vậy nửa trang đầu sẽ được ăn 5/8 đồng.

Với trò ăn gian này, thì có thể thích chia một trang thành bao nhiêu phần cũng được, nhưng cái yếu là phải dùng nhiều hơn 1 hàm.
- damtson | January 14, 2017 at 6:43 pm | Reply
  
  Thế có bài dài đúng π trang thì trả bao nhiêu tiền?
  - Dung Nguyen Xuan | January 14, 2017 at 7:52 pm |
    
    Câu này em biết trước kết quả nếu như dùng hàm đặc biệt rồi (sau khi tìm đáp án dùng hàm sơ cấp thì em có mở sách đọc thêm về Harmonic number) nên không tính. Chỉ cần đánh hàm H_z vào máy tính là ra kết quả. Để các bạn vào sau trả lời.
  - Dung Nguyen Xuan | January 14, 2017 at 8:45 pm |
    
    Điều thú vị là nếu em chia một trang ra số phần đủ nhỏ (cỡ 1001 phần), thì cách ăn gian của em cho kết quá khá gần với hàm Harmonic number. Khi cho số trang lớn hơn 1 thì kết quả gần như trùng nhau khi plot.
damtson | January 14, 2017 at 8:49 pm | Reply

OK, lời giải của tôi như sau: gọi nhuận bút trả cho bài báo n trang là H_n

$H_n = 1+\displaystyle{\frac12}+\displaystyle{\frac13}+\cdots+\displaystyle{\frac1n}$

Ta biết

$\displaystyle{\frac1n} = \int\limits_0^1\!dx\, x^{n-1},$

do đó

$H_n = \displaystyle{\int\limits_0^1\!dx\, (1+x+x^2+\cdots+x^{n-1})} = \int\limits_0^1\!dx\, \displaystyle{\frac{1-x^n}{1-x}}$

Bài của bạn Tèo có n = 1/2 trang, như vậy nhuận bút của bạn là

$H_{1/2}=\displaystyle{\int\limits_0^1\!dx\, \frac{1-x^{1/2}}{1-x}} = \int\limits_0^1\!dx\, \displaystyle{\frac1{1+\sqrt x}}$

đồng. Để tính tích phân cuối cùng ta có thể đổi biến x = u² – 1. Kết quả cuối cùng là

$H_{1/2} = 2 (1-\ln(2))\approx 0.6137$

đồng.
Minh Lê | March 19, 2017 at 11:43 am | Reply

Em hay lập trình mạng neuron nên bài toán này nếu cho trí tuệ nhân tạo giải thì lời giải sẽ phụ thuộc vào điều kiện còn thiếu của bài toán là nhà xuất bản sẽ từ chối in bài báo nếu nó quá bao nhiêu trang :)). Dựa vào số n max thì mới đánh giá được nghiệm tại điểm (0,5, x) bao nhiêu là hợp lý.

_ n_max = 2. hàm đi qua 3 điểm (0,0)(1,1)(2,1.5) thì máy tính sẽ ra 1 hàm và tính được giá trị (0,5, x1)
– n_max = 3 hàm đi qua 4 điểm (0,0)(1,1)(2,1.5)(3,1.8) thì máy tính sẽ ra 1 hàm và tính được giá trị (0,5, x2)

theo em thì mô hình bài toán đặt ra không đầy đủ thì dù lời giải đúng logic thì đó vẫn là lời giải sai.
Van Vu | April 6, 2017 at 8:05 pm | Reply

Công thức nhuận bút là \int_0^n f(x) dx + C. C là tiền trà thuốc để bắt đàu ngồi nghĩ; f(x) là hàm trơn, dương, giảm dần (cang viet nhiều càng dễ). Nếu n lớn ta lấy f =1/(x+1) và C =.57 (Ẻuler constant). n bé thì lợi cho nguoi viết 1 chút vì Ẻuler constant không phải xấp xi đúng của 1 +1/2+…+1/n – ln n. Chảng hạn n=1/2 cho nhuận bút .97. Tất nhiên toà soạn vẫn phải chi ra thôi 🙂