Tổng Ramanujan

Có một công thức thường được gắn với tên Ramanujan:

1+2+3+4+\cdots = - \displaystyle{\frac1{12}}

Về mặt toán học công thức này có vẻ không thể nào đúng, nhưng trong vật lý công thức này rất nổi tiếng. Nó liên quan đến lực Casimir và xuất hiện nhiều trong lý thuyết dây. Bình thường công thức này có thể giải thích được qua hàm zeta Riemann: \zeta(-1)=-\frac1{12}. Tuy nhiên ta có thể “chứng minh” nó chỉ dùng toán sơ cấp. Các bạn có thể xem video

Bài tập:

1+1+1+1+\cdots = ?

1 \times 2 \times 3\times 4\times \cdots = ?

9 responses to “Tổng Ramanujan

  1. Điều này thực sự quá khó tin nhưng mà có vẻ chuỗi này rất nổi tiếng! Nhờ GS cho mọi người biết chuỗi số nguyên dương kia đã thỏa mãn điều kiện hội tụ như thế nào với ạ? Mà ngày xưa em nhớ đọc cuốn đọc cuốn Đường vào toán học hiện đại của tác giả người Nga tên Sawyer cũng có nói đến chuỗi 1-1+1-1+1-1+… và nó có đến 4 giá trị là 0, 1, -1 và 1/2. nói chung là có thể ra nhiều giá trị. Bây giờ ta thử xét chuỗi số S1=1+1+1+1+1….:

    Ta có S2=1-2+3-4+5-6+……=1/4
    2S2=1-2+1-2+3-4+3-4+….=1/2
    2S2=(-1)+(-1)+(-1)+….=1/2
    -2S2=1+1+1+1+1+….=-1/2
    S=-1/2.
    Đó là 1.
    Ta có: S2=(-1)+(-1)+(-1)+….=1/4
    -S2=1+1+1+1….=-1/4
    S=1/4.
    Đó là 2.
    Ta có S=1+2+3+4+….=-1/12
    S= (1+1+1+1+…) + (0+1+2+3+4+….)=-1/12
    S=S1 + S
    S1=0.
    Đó là 3.
    S= (1+1+1+1+….)+ (1+1+1+1+1+)…. (+1+1+1+1+1…) + …..= S1+S1+S1+S1+….
    =k*S1=âm vô cùng(với k là vô cùng).
    Đó là 4.

    Với chuỗi thứ 2, em không giải quyết được và nghĩ là chắc chắn chuỗi đó vô hạn, không biết có ai có thể tìm ra giá trị xác định của tích vô hạn đó hay không. Ta thử xét A=1x2x3x4x…..:
    A2=3x4x5x6x7….=A/22A=A
    A3=4x5x6x…=A2/3=A/(2×3)2x3A3=A
    ….
    Ta có: kxA=2xA2+2x3xA3+….2x3x4…xkAk
    A=2xA2/k+2x3xA3/k+….2x3x4…x(k-1)xAk
    Như vậy, nếu A là 1 giá trị xác định thì chuỗi kia cũng là 1 giá trị xác định. Do chuỗi kia là chuỗi nguyên dương=> Phần tử 2x3x4x(k-1)xAk phải =0 khi k->vô cùng. Phần tử đó chính là A/k nên nếu A là 1 giá trị xác định thì giá trị xác định của A phải là 0.

    Cuối cùng là em muốn biết suy nghĩ của GS. Nếu một chuỗi mà giá trị của nó có thể thế này hay thế khác thì áp dụng vào vật lý để mô tả thực tại thì sẽ như thế nào? Em không tin lắm vào việc thực tại sẽ thế này hay thế kia do ta muốn thế. Cảm ơn GS!

    • Tất nhiên trong vật lý nếu ta tính ra đại lượng gì mà lại ra tổng phân kỳ thì chứng tỏ là có gì đó không ổn. Thường những tổng hay tích phân phân kỳ xuất hiện trong lý thuyết trường, như ta hiểu hiện nay, phải có những hiệu ứng ở năng lượng rất cao hoặc khoảng cách rất nhỏ mà ta không hoàn toàn biết rõ. Nhưng ta cũng không nhất thiết phải biết vật lý ở những năng lượng rất cao này, nếu nó thoả mãn một số đối xứng nhất định thì ta có thể lấy tổng của chuỗi ví dụ theo phương pháp hàm zeta Riemann.

      Một ví dụ nổi tiếng là khái niệm “kỳ dị axial” trong lý thuyết trường. Năm 1949 Jack Steinberger (đồng thời với 2 nhà vật lý người Nhật, Fukuda và Miyamoto) tính thời gian sống của một hạt gọi là hạt π0, mới được phát hiện trong tia vũ trụ. Trong tính toán của ông xuất hiện một tích phân không hội tụ, nếu tính theo một cách thì ra kết quả hợp với thực nghiệm, tính theo một cách khác thì lại ra số 0. Hai mươi năm sau thì người ta mới hiểu được vấn đề là ở đâu. Lúc đó Steinberger đã bỏ vật lý lý thuyết từ lâu và đã là một nhà vật lý thực nghiệm nổi tiếng. Năm 1988 ông được giải thưởng Nobel về những cống hiến vào vật lý neutrino.

      Cái tổng 1+1+1+… xuất hiện trong một bài toán liên quan đến graphene trong từ trường. Nó là độ dẫn Hall của graphene (đo bằng đơn vị 4e^2/h) khi hoá thế nhỏ hơn 0 một chút. Ta có thể nói là thực nghiệm đo được 1+1+1+…=-1/2 !

    • Vâng! Cảm ơn GS! Mặc dù em rất thích chuỗi, nhưng kiến thức về chuỗi hầu như là em chỉ được đọc chứ chưa được học cẩn thận nên mong GS thông cảm cho sự ngây thơ này. Ban đầu, em cũng có phần tự tin về nhận định sự kỳ diệu của tự nhiên thông qua sự bất định của chuỗi. Nguyên nhân cho việc một chuỗi ra nhiều kết quả ở trên chủ yếu là do em sử dụng sự mập mờ của số đếm và so sánh số đếm ở vô cùng. Em không biết chúng ta đã giải đáp vấn đề này đến đâu và hiện vẫn tin vô hạn là bằng chứng cho việc tự nhiên là thứ vượt quá trí tuệ con người? Dù sao thì trong vấn đề kia mặc dù bây giờ em cũng chưa biết rõ vấn đề và vẫn không thể tưởng tượng nổi tại sao 1+x với x>0 lại có thể cho ra giá trị <0, nhưng suy nghĩ hiện tại cũng đồng ý rằng đó là hạn chế của các kiến thức về chuỗi mà em biết(và cũng có thể toàn bộ kiến thức toán của mình). Đúng là kiến thức về toán của em thì làm gì có nhiều mà hạn chế hay không. Nhưng mà quả thật là còn nhiều điều em vẫn chưa rõ và cũng muốn biết rõ. Mong là không bị chê cười chuyện này!

  2. Bạn Roll: Về tổng toàn 1 hay tổng Ramanujan, nếu dùng những định nghĩa của giải tích, thì những chuỗi này phân kỳ. Nên bạn chỉ cần biến đổi “có vẻ hợp lý” thì mỗi chuỗi có thể bằng nhiều giá trị khác nhau. Thế tại sao người ta lại gán cho tổng Ramanujan giá trị -1/12? Đó là vì nó liên quan đến sự mở rộng của hàm Riemann zeta, cụ thể: Zeta(-1) = -1/12. Tương tự, tổng toàn 1 sẽ “chỉ” bằng -1/2, vì Zeta(0) = -1/2. “Chứng minh” của tổng toàn 1 liên quan trực tiếp đến chuỗi Grandi: https://en.wikipedia.org/wiki/Grandi%27s_series

    Giáo sư: Em chưa giải quyết được cái tích vô hạn kia. Hiện em đang theo hướng tìm mở rộng của khai triển Taylor này tại x = 1: sum_(k=1)^(infty) (-1)^k*log(k)*x^k

  3. Biểu thức ta cần tính bằng eS trong đó

    S= \sum_{n=1}^\infty \ln n

    Ta lại có

    \ln n = \lim\limits_{s\to 0} \displaystyle{\frac{\partial n^s}{\partial s}}

    Các bạn tiếp tục?

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s