Hình học cầu và “đường bay vàng”

Nhân dịp báo chí đang viết nhiều về “đường bay vàng” (đường bay thẳng từ Hà Nội đến TP HCM qua Lào, Campuchia), ta bàn qua chuyện hình học cầu. Bài này chắc sẽ quá đơn giản với các bạn học toán/lý, nhưng phục vụ kinh tế quốc dân.

Bài toán thực tiễn là như sau. Giả sử ta biết kinh tuyến và vĩ tuyến của 2 thành phố; ta phải tìm khoảng cách theo đường chim bay giữa hai thành phố đó.

Để cho đơn giản ta coi trái đất là một hình cầu bán kính R. Tạm thời đặt R=1. Giả sử kinh tuyến và vĩ tuyến của thành phố thứ nhất là (\theta_1, \phi_1), của thành phố thứ 2 là (\theta_2,\phi_2). Như vậy trong hệ toạ độ Descartes với tâm là ở tâm trái đất, toạ độ của hai thành phố là

x_1=\cos\theta_1\cos\phi_1, \qquad x_2=\cos\theta_2\cos\phi_2
y_1=\cos\theta_1\sin\phi_1, \qquad\, y_2=\cos\theta_2\sin\phi_2
z_1=\sin\theta_1,\phantom{\cos\phi_1} \qquad\, z_2=\sin\theta_2,\phantom{\sin\phi_2}

Nếu ta cần tìm khoảng cách giữa hai điểm (x_1,y_1,z_1)(x_2,y_2,z_2) thì ta chỉ cần tính \sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2} là xong. Nhưng đây là đường thẳng xuyên qua trái đất, “đường giun đào” chứ không phải đường chim bay.

Để tìm đường chim bay ta xét hai véctơ \vec r_1\vec r_2, nối từ tâm trái đất ra hai điểm. Để tìm độ dài đường chim bay ta phải tìm góc giữa hai véc tơ này. Cả hai véctơ này đều có độ dài bằng 1, vậy cos của góc giữa hai véctơ chính là tích vô hướng của hai véc tơ này:

\cos(\widehat{\vec r_1, \vec r_2}) = \vec r_1 \cdot \vec r_2 = x_1x_2+y_1y_2 +z_1 z_2
= \cos\theta_1\cos\theta_2\cos(\phi_1-\phi_2) +\sin\theta_1\sin\theta_2.

Muốn tính góc ta chỉ cần lấy arccos của biểu thức cuối cùng. Độ dài đường chim bay bằng R nhân cho giá trị của góc (tính bằng radian)

d_{12}= R\arccos(\cos\theta_1\cos\theta_2\cos(\phi_1-\phi_2) +\sin\theta_1\sin\theta_2).

Bây giờ quay trở về bài toán “đường bay vàng”. Từ http://www.latlong.net/ ta có thể tra được kinh tuyến và vĩ tuyến của Hà Nội (1), Huế (2), Ban Mê Thuột (3), TPHCM (4) như sau:

\theta_1=21.033^\circ \qquad \phi_1=105.850^\circ
\theta_2=16.450^\circ \qquad \phi_2=107.562^\circ
\theta_3=12.666^\circ \qquad \phi_3=108.038^\circ
\theta_4=10.823^\circ \qquad \phi_4=106.630^\circ

Từ công thức trên, với bán kính trái đất R=6371 km, ta có thể tính được khoảng cách giữa bất cứ hai cặp thành phố nào. Ví dụ khoảng cách theo đường chim bay giữa Hà Nội và TPHCM là d_{14}=1138 km. Để so sánh tổng độ dài ba đoạn Hà Nội-Huế, Huế-Ban Mê Thuột, Ban Mê Thuột-TPHCM (có lẽ hoàn toàn nằm trên không phận Việt Nam) là d_{12}+d_{23}+d_{34}=1220 km, dài hơn đường thẳng 82 km. Con số này khá là khớp với số đo bay thử nghiệm. (Thực ra để biết độ dài theo đường chim bay giữa hai thành phố ta chỉ cần tra ở đây, nhưng tự tính toán ra số vẫn vui hơn).

Còn đây là ảnh chụp trên một chuyến bay từ Quy Nhơn ra Hà Nội.

quynhon-hanoi1875

Đường bay “vàng” Quy Nhơn-Hà Nội

[Cám ơn anh Đỗ Xuân Quang (VietJetAir) đã nêu ý tưởng dẫn đến bài này].

4 responses to “Hình học cầu và “đường bay vàng”

  1. Cảm ơn GS Sơn đã tính toán cụ thể để mọi người được biết, khỏi phải bàn cãi. Ngoài ra xin GS tính giúp “bổ chính” cho việc như sau: Máy bay không phải lúc nào cũng bay trên cùng một độ cao, mà là bay lên từ độ cao = 0m, 30 phút sau mới đạt độ cao 10km, và còn lại 30 phút cuối thì giảm dần độ cao từ 10km xuống 0m. Vậy thì cái này có đóng góp đáng kể trong sự khác biệt trên hay không. Cảm ơn GS.

    • Tôi không rõ, nhưng có lẽ cả đường bay vàng lẫn đường bay thường đều có đoạn lên xuống này, nên nó không ảnh hưởng lắm đến chênh lệch độ dài giữa hai đường.

  2. Để tính toán chi phí chuyến bay, không chỉ độ dài khoảng cách mà con tùy thuộc chi phí quá cảnh, tình hình chính trị giữa các quốc gia, dự đoán trong trường hợp xấu nhất là các quốc gia không thuận thảo, cũng như tình hình khí hậu, thời tiết vùng bay.

  3. khong biet hang khong va NASA ho co dung mot parametric equation cho be mat ellipsoid cua trai dat khong Prof. nhi ? ket qua han phai khac doi chut.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s