Bất đẳng thức từ cuốn “Tư bản trong thế kỷ 21”

Hồi học phổ thông tôi rất ghét các bài tập về bất đẳng thức. Tôi nhớ mỗi khi đọc những đầu bài kiểu như là: Chứng minh *#^@^&^#!* < #$#$#@!@!$#@, trong đó cả hai vế đều là những biểu thức toán học dài ngoằng không có một ý nghĩa gì, lòng đã thấy nản không muốn làm.

Nhưng vừa rồi tôi lại đọc được trong cuốn sách mới của Thomas Piketty (mà báo chí đã có lần giới thiệu là cuốn “Thủ đô thế kỷ 21“) một câu như sau:

“Over a period of thirty years, a growth rate of 1 percent per year corresponds to cumulative growth of more than 35 percent.”

Câu này là một mệnh đề toán học, 1.0130 > 1.35. Bất đẳng thức này có đúng không? Dùng máy tính thì rất dễ kiểm tra, nhưng vấn đề là nếu không dùng máy tính thì sao?

Mặc dù ghét các bài tập về bất đẳng thức, loay hoay một lúc tôi cũng chứng minh được bất đẳng thức này sai. Chứng minh của tôi ở dưới. Có lẽ việc này cũng vô bổ như giải mấy bài toán sơ cấp, nhưng có bạn nào tìm ra cách chứng minh khác không? Và trong cuốn sách ngay sau đó tác giả đưa ra một bất đẳng thức nữa: 1.01530>1.5, có ai chứng minh được không?

1.01 < e^{0.01}

1.01^{30} < (e^{0.01})^{30} = e^{0.3}

e^{0.3} = 1 + 0.3 + \displaystyle{\frac{0.3^2}{1\cdot 2}} + \displaystyle{\frac{0.3^3}{1\cdot 2\cdot 3}} + \displaystyle{\frac{0.3^4}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}} + \displaystyle{\frac{0.3^5}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}} + \cdots

< 1.3 + \displaystyle{\frac{0.3^2}{1\cdot 2}} + \displaystyle{\frac{0.3^3}{1\cdot 2\cdot 3}} + \displaystyle{\frac{0.3^4}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 3}} + \displaystyle{\frac{0.3^5}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 3}} + \cdots

= 1.3 + \displaystyle{\frac{0.3^2}{1\cdot 2}} \left[ 1+\displaystyle{\frac{0.3}3} + \displaystyle{\left(\frac{0.3}3\right)^2} + \cdots \right]

=1.3 + \displaystyle{\frac{0.3^2}{1\cdot 2}}\cdot\displaystyle{\frac{10}9}= 1.35

\Rightarrow 1.01^{30}<1.35

6 responses to “Bất đẳng thức từ cuốn “Tư bản trong thế kỷ 21”

  1. Ta có thể dùng nhị thức Newton:
    1.015^{30} = (1+0.015)^{30} > 1 + C^1_{30}*0.015 + C^2_{30}*0.015^2
    = 1+ 30.0.015+ 30*29/2 *0.015^2 = 1.547875 > 1.5

  2. Do Thanh Binh

    “Có lẽ việc này cũng vô bổ như giải mấy bài toán sơ cấp.” Em thấy làm toán sơ cấp thú vị mà giáo sư, đặc biệt các bài toán số học, tổ hợp.

  3. Tôi có vấn đề với bất đẳng thức xuất phát. Không biết GS lấy đâu ra. Vì nếu phải chứng minh thì lại là một bài toán khó hơn🙂

  4. Em thấy buồn cười là báo chí dịch Capital thành “thủ đô” trong khi trong economics thì Capital nghĩa là “tư bản”

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s