Phân bố của số nguyên tố

Hôm nay chúng ta không nói chuyện vật lý nữa mà nói chuyện toán. Mục tiêu không phải để tìm ra gì mới trong toán (“làm nàng Toán hoan hỉ”) mà chỉ đơn giản là để tìm hiểu thêm về vẻ đẹp của nàng, ở mức độ trực giác nhưng không nhất thiết phải chặt chẽ.

Ta đánh ngẫu trên bàn phím ra một số nguyên lớn, ví dụ 4061989. Liệu số này có phải số nguyên tố không? Trong trường hợp cụ thể này, sao khi tìm hiểu ta sẽ thấy số này không phải là số nguyên tố (4061989=809×5021), nhưng có thể đặt câu hỏi: nếu ta chọn một số 7 chữ số ngẫu nhiên thì xác suất số này là số nguyên tố là bao nhiêu?

Nếu nghĩ kỹ ta thấy xác suất này phải nhỏ hơn 1/2, vì một với xác suất một nửa số ta chọn là số chẵn. Nghĩ thêm về việc chia hết cho 3, ta thấy với xác suất 2/3 số ta chọn không chia hết cho ba. Xác suất để cho con số của ta không chia hết cho 2 và không chia hết cho 3 là \frac12\times\frac23=\frac13. Tiếp tục lý luận như vậy ta thấy xác suất để x là số nguyên tố là

\rho(x) = (1-\frac12) (1-\frac13) (1-\frac15) (1-\frac17)(1-\frac1{11}) \ldots (1-\frac 1p_x)

trong đó p_x là số nguyên tố lớn nhất nhỏ hơn x.

Lấy logarit của công thức trên ta được

\ln\rho(x) = \sum\limits_{p=2}^{p_x} \ln(1-\frac 1p)

Nếu x là một số rất lớn thì tổng ở vế phải chạy qua rất nhiều số p có giá trị gần gần bằng nhau, và như vậy tổng có thể thay bằng tích phân, thay cho \sum_p ta có thể viết \int\!dy\,\rho(y), vì \rho(y)dy là số lượng các số nguyên tố nằm trong khoảng (y,y+dy). Như vậy phương trình trên bây giờ thành

\ln\rho(x) = \int\limits_0^x\!dy\, \rho(y) \ln(1- \frac1y)

Đây là phương trình cho \rho(x). Để giải nó ta lấy đạo hàm theo x, biến phương trình tích phân thành phương trình vi phân,

\displaystyle{\frac{\rho'(x)}{\rho(x)}} = \rho(x) \ln(1-\frac1x) \approx -\displaystyle{\frac{\rho(x)}x}

Ở phép biến đổi cuối cùng ở vế phải ta coi x là một số lớn. Ta có thể viết

\displaystyle{\frac{\rho'(x)}{\rho^2(x)}}=-\frac1x

Lấy tích phân của hai vế, chú ý rằng \rho'/\rho^2 = - (1/\rho)', ta có

\displaystyle{\frac1{\rho(x)}} = \ln(x) + C

trong đó C là một hằng số tích phân. Cuối cùng ta tìm được công thức

\rho(x) \sim \displaystyle{\frac1{\ln(x)}}

Đây chính là công thức cần tìm. Như vậy số càng to thì xác suất nó là số nguyên tố càng ít. Với một số 7 chữ số, xác suất này khoảng 6-7%. Từ công thức này ta cũng có thể tìm được số các số nguyên tố nhỏ hơn x:

\pi(x) = \int\limits_0^x\!dy \rho(y) \sim \displaystyle{\frac x{\ln(x)}}

Đây là định lý số nguyên tố nổi tiếng.

2 responses to “Phân bố của số nguyên tố

  1. Hay và đơn giản

  2. Đúng là rất đẹp.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s