Bài tập về nhiệt: làm nguội sữa

Bình A đựng nước và bình B đựng sữa, thể tích chất lỏng trong hai bình như nhau. Nước trong bình A là nước lạnh ở nhiệt độ 0 độ C, còn sữa ở bình B là sữa nóng với nhiệt độ 100 độ độ C. Ngoài ra ta có thêm bình C, đầu tiên không chứa gì.

Ta muốn dùng nước lạnh trong bình A để làm nguội sữa nóng trong bình B. Cách đơn giản nhất là cho hai bình tiếp xúc vào trao đổi nhiệt với nhau. Khi quá trình trao đổi nhiệt kết thúc thì hai bình có nhiệt độ như nhau, khoảng 50 độ C. Sữa như thế này vẫn hơi nóng. Có cách nào làm cho sữa lạnh hơn thế không?

Ta sẽ thử cách sau. Thay vì cho cả bình B tiếp xúc với bình A, ta múc một thìa sữa từ bình B, cho thìa sữa trao đổi nhiệt với bình A, đến lúc cân bằng nhiệt thì đổ thìa sữa vào bình C.

Sau đó ta lại múc một thìa sữa thứ hai từ bình B, cho thìa sữa trao đổi nhiệt với bình A, đến lúc cân bằng nhiệt lại đổ thìa sữa vào bình C.

Cứ làm đến thìa sữa thứ 100 thì toàn bộ sữa ở bình B đã chuyển sang bình C.

Giả sử năng lượng nhiệt hoàn toàn không mất đi trong quá trình đổ đi đổ lại, và nhiệt dung riêng của thìa và của các bình cũng bằng không.

Hỏi đến lúc cuối cùng

1. Sữa trong bình C nóng hơn hay lạnh hơn nước trong bình A?

2. Sữa trong bình C nóng hơn hay lạnh hơn thân nhiệt của người?

(bài này từ một cuốn sách, tôi sẽ giới thiệu sau khi đã có lời giải)

3 responses to “Bài tập về nhiệt: làm nguội sữa

  1. Em giải như vầy:
    Gọi tk là nhiệt độ của bình nước sau khi thìa thứ k trao đổi nhiệt xong. Coi khối lượng, nhiệt dung riêng của nước và sữa là như nhau.
    (1/100)*(100-tk)= tk-t(k-1)
    =>tk= (100/101)*(1+t(k-1))
    =>tn= ∑_(k=1)^n▒(100/101)^k =100*[1- (100/101)^100]
    =>t100= 63,03oC
    Nhiệt độ của sữa phải cân bằng với nước, ts= 36,97oC

  2. Khi cho 2 bình sữa và nước tiếp xúc với nhau nhiệt độ cuối cùng là khoảng 50 độ C nên có thể coi nhiệt dung của 2 bình là bằng nhau.
    Nếu t(n-1) là nhiệt độ bình nước khi cho thìa sữa thứ (n-1) trao đổi nhiệt xong thì:
    t(n)-t(n-1)=(100-t(n-1))/100 hay
    t(n) = 100(1+t(n-1))/100
    Từ đây tính được t(n)=100-101*(100/101)^n. Thay n = 100 vào thu được t ~ 63 độ. Nhiệt độ bình C chứa sữa lúc này sẽ là 100 – 63 = 37 độ (chính xác hơn là 36,97), lạnh hơn bình A và bằng đúng nhiệt độ cơ thể người.

    Giả sử ta không chia bình sữa thành 100 thìa mà chia thành m thìa. Công thức tổng quát cho nhiệt độ bình nước sau n lần trao đổi nhiệt sẽ là:
    t(n) = 100 – 100*(m/(1+m))^n
    Khi trao đổi nhiệt xong hết bình sữa, n = m. Nếu như m tiến tới vô hạn thì biểu thức chứa m sẽ tiến tới 1/e. Nhiệt độ bình nước sẽ là 100 – 100/e = 63,21 còn nhiệt độ bình sữa mới sẽ là 100/e = 36,79.

  3. Lời giải của các bạn là đúng.

    Không cần tính toán cũng có thể biết lúc cuối bình C lạnh hơn bình A. Đó là do thìa sữa cuối cùng đổ vào bình C có nhiệt độ bằng bình A, nhưng những thìa sữa trước đó lạnh hơn. Điều khá bất ngờ là ta dùng nước làm nguội sữa, đến cuối cùng nước lại nóng hơn sữa.

    Ta thấy có một sự trùng hợp khá thú vị: nhiệt độ của cơ thể người gần bằng 100/e độ C.

    Bài này ở trong quyển sách mới của Mark Levi, “Why Cats Lands on Their Feet”

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s