Bài tập về scaling

Ta lại nói vật lý của mèo, nhưng trong bài này ta mở rộng khái niệm “mèo” ra để bao gồm cả các động vật liên quan như sư tử, hổ, linh miêu, mèo rừng, người, chuột, v.v.

Ta biết: nếu khối lượng M của mèo tăng lên gấp 8, thì kích thước mỗi chiều L tăng gấp 2; nếu M tăng lên 27 lần thì L tăng lên 3 lần. Ta viết:

L \sim M^{1/3}

Ở đây dấu \sim là nói “biến thiên như”. Những định luật như vậy gọi là scaling.

Định luật này dễ hiểu, vì mật độ vật chất trong cơ thể mèo có thể coi là hằng số, không phụ thuộc vào khối lượng. Tương tự như vậy, diện tích bề mặt A biến thiên theo công thức A\sim M^{2/3}

Hơi khó hiểu hơn một chút là định luật Kleiber, theo đó tốc độ tiêu thụ năng lượng (công suất) biến thiên theo luỹ thừa 3/4 của khối lượng: W\sim M^{3/4}. Khó hiểu là ở chỗ tốc độ chuyển hoá năng lượng không tỷ lệ thuận với khối lượng M, cũng không tỷ lệ thuận với diện tích da M^{2/3} (cái mà ta chờ đợi nếu năng lượng chủ yếu dùng để giữ nhiệt độ cơ thể không đổi), mà theo một luỹ thừa trung gian giữa 1 và 2/3. Định luật này được tìm ra qua quan sát, bản chất của nó là thế nào thì khoa học đang nghiên cứu.

Bài tập: giả sử h là độ cao tối đa mà mèo có thể nhảy lên từ mặt đất, bắt đầu bằng trạng thái tĩnh. Cho h\sim M^z, tìm z.

7 responses to “Bài tập về scaling

  1. M^{3/4} <– cái này có vẻ như là định luật gần đúng, có tính fractal. Kiểu như người ta nói số chiều fractal của hệ tuần hoàn máu trong người là đâu quãng dưới 2 nhưng trên 1,5🙂

  2. Xin phép GS Sơn giới thiệu trang này và các bài viết lên https://www.facebook.com/sputnikedu. Nếu GS Sơn có tham gia facebook, thì mời GS post link các bài về giáo dục ở blog này mỗi khi có bài mới lên https://www.facebook.com/sputnikedu để nhiều người được thưởng thức! (Trê đó hiện có hơn 1500 người thường xuyên theo dõi, và mỗi ngày lại có thêm người nhập hội). Merci!

  3. con mèo gầy nhẩy cao hơn mèo béo .
    suy ra .. z không tồn tại🙂

  4. hoặc là z phải < 0

    • Loài nào thì cũng có con gầy con béo. Ở đây tôi muốn ta so sánh giữa các loài khác nhau, có khối lượng rất khác nhau như hổ, người, chuột. Nhưng bạn đưa ra một ý rất chính xác là khối lượng cao thì nhảy lên cao khó hơn, vì ở cùng một độ cao h thì thế năng của một vật khối lượng M biến thiên như U\sim M. Tuy nhiên con thuộc về loài to hơn cũng khoẻ hơn, nên chưa chắc z<0.

  5. Có một số đại lượng liên quan đến độ cao đạt được.
    -Công suất
    -Khối lượng
    -Thời gian nhún ( Thông qua quãng đường nhún từ lúc lấy đà nhảy cho đến khi chân rời mặt đất)

    Giả sử quãng đường nhún nhỏ so với chiều cao nhảy lên được.

    Công suất W tỷ lệ với M^{3/4}

    Quãng đường lấy đà L tỷ lệ với M^{1/3}

    Công suất x thời gian = biến thiên động năng (biến thiên thế năng trong lúc lấy đà bỏ qua theo giả thiết)

    W*dt=1/2M[d(v^2)]

    Quãng đường đi được tỷ lệ với

    dx=vdt

    Từ đó ta có

    W*v*dt=1/2M[d(v^2)*v]
    ->W*dx=1/2M[2/3 d(v^3)]=1/3M[d(v^3)]

    Gọi quãng đường nhún là L, ta có

    3W*L/M=(v0^3) ( v0 là vận tốc lúc chân bắt đầu rời đất)
    constant*M^{3/4}*M^{1/3}/M= v0^{3}

    Như vậy v0^{2}~M^{1/18}

    Chiều cao nhảy lên được cũng theo tỷ lệ này.

    Tuy nhiên cách tính này chỉ đúng trong một giới hạn biên thiên của khối lượng. Vì để nâng đỡ cơ thể dưới tác dụng của trọng lực, nên cấu trúc của các loài sẽ rất khác nhau khi khối lượng chênh lệch. Nên sẽ không dùng scaling được.

  6. Lời giải của tôi như sau. Để nhảy lên con vật cần nhún chân. Lực đẩy tỉ lệ thuận với tiết diện của bắp chân, tức là M^{2/3}, quãng đường lực tác dụng tỉ lệ thuận với độ dài của chân, M^{1/3}. Công = lực × quãng đường, biến thiên như M. Năng lượng này biến thành thế năng, Mh. Vậy h \sim M^0. Như vậy là độ cao một con vật nhảy lên được không phụ thuộc vào khối lượng của nó. Châu chấu, cào cào cũng nhẩy được cao như hổ, điều này phù hợp với quan sát. Có lẽ trên thực tế khó phân biệt được M^0M^{1/18} trong lời giải của Dung Nguyen.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s