Thiên thạch rơi

Một thiên thạch lao từ ngoài vũ trụ xuống trái đất. Giả sử kích thước của thiên thạch không thay đổi trong quá trình bay (tức là không bị nhiệt làm bay hơi mất đi). Hỏi kích thước của thiên thạch phải là bao nhiêu để tốc độ của nó khi rơi xuống mặt đất không bị ảnh hưởng mấy bởi lực ma sát khí quyển?

Viết thêm ngày 22/2: để bắt đầu, ta giả sử thiên thạch hình khối lập phương, chuyển động theo hướng vuông góc với một mặt. Giả sử các phân tử không khí đầu tiên đứng yên và va chạm đàn hồi với thiên thạch. Giả sử các phân tử không khí không va chạm vào nhau. Hỏi thiên thạch chuyển động được bao xa thì vận tốc giảm đi một nửa?

meteorite

28 responses to “Thiên thạch rơi

  1. Với bài này thì một trong những điều làm người giải lao tâm khổ tướng đó là giáo sư chỉ hỏi kích thước chứ không đả động đến hình dáng khí động học, nhiệt độ bề mặt, vận tốc, incident angle hay khối lượng, nếu vậy kích thước thiên thạch chắc phải hoặc vào hàng nano, hoặc là vào loại siêu lớn😀.

    Nếu ko phải 2 đáp án này mà ở giữa giữa thì chắc ma sát khí quyển khi đó, do tác động của nhiệt độ (mà thực ra đã có nhiệt độ cao như vậy thì thiên thạch đã bị chậm lại rồi) hoặc tốc độ cao của thiên thạch trở nên biến tính, không phải là một hàm monotonic theo kích thước (luôn >0) như thông thường mà khả năng nó sẽ trở thành tổng của ít nhất 2 hàm monotonic con, một hàm tăng, hàm kia giảm, khi kích thước thiên thạch tăng, nhưng thành phần nào của ma sát khí quyển có thể giảm khi kích thước tăng thì em chưa từng nghe đến nên chỉ có thể suy luận được đến đây. Nói chung bài này giáo sư cho đề chưa rõ ràng lắm, lại không có gợi ý nên đúng là hơi khó😀

    • Bài này cố tình để cho điều kiện “mở”, tức là các bạn phải tự đặt ra những giả thiết có lý về hình dạng, góc bay, trọng lượng riêng của thiên thạch, và về các thứ khác.

  2. Thiên thạch có đường kính bằng độ dày bầu khí quyển chẳng hạn.

  3. Em có lần tự hỏi là liệu có khả năng thiên thạch đâm xuống đất theo hướng vuông góc (nếu có thể thì chắc xác suất của một sự kiện như thế là rất bé), lúc đó thì lực cản không khí còn đóng vai trò lớn nữa không nhỉ?

    • Lực cản không khí lúc đó sẽ đóng vai trò ít hơn, nhưng cũng không ít hơn rất nhiều. Thiên thạch đâm với góc 30 độ thì quãng đường của nó trong khí quyển dài gấp đôi khi nó đâm với góc 90 độ so với mặt đất. Do ta chỉ cần đánh giá cỡ độ lớn thôi nên có thể coi góc là 90 độ hoặc 30 độ đều được.

      Mời các bạn xem phần tôi viết thêm hôm nay trong bài.

  4. Em thấy F = m.a = m.g – 1/2.p.C.A.v^2 , từ đó ta có được gia tốc a
    Thay a vào v = v_0 + a.t, ta suy ra được thời gian t
    Thay t vào s = s_0 + v_0.t + a.t^2/2, từ đó ta suy ra được quãng đường s.
    Với F = m.a ban đầu ta suy ra được P=F/A
    Ngoài ra P.V = n.R.T trong điều kiện khí lý tưởng các nguyên tử không va chạm vào nhau ta suy ra được T với V = A.s. Có được T ta sẽ so sánh vật chất của thiên thạch xem nó cao hơn hay thấp hơn với T ta tính được khi đấy ta sẽ điều chỉnh các thông số để cho nó không bị tan chảy. Mai em suy nghĩ tiếp xem có bị sai chỗ nào không ạh😀

    • Cách giải này của em sai ngay từ đầu do vận tốc v và gia tốc a là một hàm phụ thuộc vào thời gian (tức không theo Galilei) khi sử dụng phương trình đầu tiên. Với phương trình này biến gia tốc a = dv/dt rồi để giải nó ra được một hàm phụ thuộc vào v và t với các điều kiện biên ban đầu để tính thì đã phức tạp. Từ đó biến đổi tiếp vận tốc v = dx/dt càng phức tạp hơn nữa. Có lẽ em nên quay lại với gới ý ban đầu của giáo sư Sơn để nghĩ cách tính cho dễ dàng hơn.
      Có điều em thắc mắc là trong thực tế vận tốc của thiên thạch phải tăng dần, ban đầu tăng nhanh, sau tăng chậm dần chứ sao lại có thể chậm hơn được ạh với lực hút của trái đất.

      • Le Nhu Minh Tue

        Àh không đúng là chậm dần nếu vận tốc ban đầu là quá lớn😀

      • Đoạn viết thêm tôi định đơn giản hoá bài toán đi bằng cách không xét lực hấp dẫn của trái đất.

      • Le Nhu Minh Tue

        Vậy thì ta sẽ có F = m.a = -1/2.p.C.A.v^2 (1)

        Thay a =dv/dt ta được :
        v = 2.m.v_o / (2.m+v_o.p.C.A.t) (2)

        Từ đây ta suy ra được thời gian t để v_o ban đầu giảm đi 1 nửa.
        Tiếp tục biến đổi v = dx/dt ta có :
        x = 2.m/ (p.C.A). ln(2.m + v_o.p.C.A.t) (3)

        Với t ở trên ta thay vào được x theo yêu cầu bài toán.
        Quay lại P=F/A và P.V=n.R.T với V=A.x thay các phương trình (1),(2) và (3) trên vào ta được một hàm nhiệt T phụ thuộc vào thời gian t.

        Ở đây ta sẽ chú ý dấu trừ ở pt (1) F ban đầu, F đó là do ma sát không khí tác động lên thiên thạch, như vậy đồng thời cũng sẽ tạo ra phản lực -F tác động ngược lại lên không khí, và -F này mới tương đương F ở P=F/A. Như vậy thì T mới không bị âm.

      • Mình chỉ có một băn khoăn nhỏ ở chỗ bạn tính nhiệt độ T. Nếu giả thiết các phân tử không khí đứng yên thì liệu khái niệm nhiệt độ có còn ý nghĩa không ?

      • Le Nhu Minh Tue

        Theo mình biết thì ở 0 độ Kelvin thì các nguyên phân tử sẽ đứng yên. Khi các nguyên phân tử bắt đầu chuyển động thì nhiệt độ sẽ bắt đầu tăng lên. Ở đây có lực tác động lên các nguyên tử để cho nó chuyển động😀, vậy tức phải có nhiệt độ khác 0 độ Kelvin.

      • Ngay cả khi đó, mình vẫn cảm thấy không ổn lắm. Vì phương trình khí lý tưởng được xây dựng dựa trên thuyết động học chất khí. Mà mô hình giải quyết bài toán này lại vi phạm thuyết đó. Mình nghĩ có lẽ chỉ nên dừng lại ở việc xem xét bài toán ở phạm vi cơ học. Còn nếu sử dụng thêm nhiệt học thì cần phải thận trọng. Ở đây mình cũng không rõ là có thể sử dụng nhiệt học như thế nào. Hy vọng giáo sư Sơn có thể giải thích giúp em chỗ này ạ.

      • Tôi đang hơi bận, nhưng đúng là không cần nhiệt. Khi tôi viết là các phân tử không khí không va chạm vào nhau là có ý này.

  5. _ Em sử dụng các điều kiện đầu mà gs vừa viết thêm ạ. Em cũng giả thiết là thiên thạch rơi vuông góc với mặt đất và tại thời điểm đâm xuống mặt đất, vận tốc của nó chỉ giảm đi 1 nửa, như vậy quãng đường nó ma sát với không khí là khoảng L=80km (độ cao tầng trung lưu).
    _ Khi thiên thạch rơi, cứ 1 giây có b^2.n.v hạt đập vào mặt thiên thạch; b là cạnh, n là mật độ trung bình của không khí, v là vận tốc thiên thạch (phụ thuộc thời gian). Mỗi hạt va chạm đàn hồi nên cung cấp động lượng “hãm” bằng 2.m.v. Theo đl 2 Newton thì phản lực của không khí bằng: F=dp/dt=2m.n.b^2.v^2=2d.b^2.v^2, với d là khối lượng riêng của không khí.
    _Gia tốc thiên thạch: a=(F-P)/M=(2d.b^2.v^2/M)-g=(2d.b^2.v^2/D.b^3)-g , với D là khối lượng riêng thiên thạch.
    _Ta coi gần đúng v(t)=(v0-v0/2)/2=v0/4 và dùng công thức v0^2-(1/2v0)^2=2aL,sau đó thế v vào biểu thức a sẽ thu được biểu thức sau cho cạnh b của thiên thạch: b=d/[D(3/L+8g/v0^2)].
    _ Ta có nhận xét là 3/L~10^-4, trong khi vận tốc thiên thạch khi bắt đầu rơi vào trái đất v0 khoảng 12-70 km/s, nghĩa là 8g/v0^2~10^-7, do đó có thể bỏ qua số hạng thứ hai dưới mẫu và thu được công thức rất gọn như sau:
    b=L.(d/D).(1/3)
    Không khí ở gần mặt đất có khối lượng riêng khoảng 1,2 kg/m^3, nhưng càng lên cao càng loãng. Hơn nữa em đọc thấy người ta bảo tầng đối lưu chiếm khoảng 80% khối lượng khí quyển, nếu dựa vào độ dày mỗi tầng, ta có thể tính “đại khái” khối lượng riêng d=0.4kg/m^3. Khối lượng riêng của thiên thạch D thì em chọn loại phổ biến là thiên thạch đá D=3300kg/m^3. Thế vào công thức cuối ta có b=3,2m.
    Có thể tính ngược lại khối lượng của thiên thạch là khoảng 110 tấn.

  6. Trong lúc tính vận tốc trung bình em bị nhầm cộng thành trừ ạ. Em xin sửa lại chút xíu. Tức là v=(v0+v0/2)/2=3v0/4. Khi đó công thức cho cạnh b của thiên thạch sẽ là : b=3Ld/D=29m. Khi đó khối lượng thiên thạch là khoảng hơn 80000 tấn!!!

  7. Giao’ sư hỏi khó quá : Tốc độ chuyển động của Thiên thạch lúc vào vùng khí quyển là bao nhiêu m/s và lao xuống mặt đất mà vận tốc không thay đổi thì không thể xảy ra và không khả thi trừ khi coi thiên thạch đó là vật không có trọng lượng .

  8. nguyen le tien

    lâu ngày không làm toán nên tôi quên hết!
    Nhưng cứ thử đưa đại ra một hướng giải như sau:
    giả thử thiên thạch đi được một đoạn đường là dx , thì nó sẽ đẩy lùi một
    khối không khí có thể tích là
    dx * F , với F là diện tích “cục” thiên thạch .
    như thế trọng lượng cục không khí là dx*F*m , nếu m là tỷ trong không khí.
    Bây giờ giả thử va chạm này là đàn hồi một các lý tưởng như hai hòn bi da
    thì ta áp dụng hai định lý cơ học
    1 bảo toàn năng lượng kinetic 1/2 mv2
    2 impuls mv
    thì tính ra đi một đoạn dx thì thiên thạch chậm lại bao nhiêu
    Từ đó xào nấu công thức vi phân là giải ra.

  9. nguyen le tien

    gọi dV là sự thay đổi của tốc độ thiên thạch khi đi quãng dX, M là trọng lượng thiên thạch , Vk là tốc độ sau đó của “hòn bi” không khí, giả thử không khí đứng yên trước khi va chạm thì bảo toàn năng lượng cho ta
    1/2 MVt2 – 1/2M(Vt-dV)2 = 1/2 dx.F.m Vk2 hay
    dV2 – 2Vt.dV = dx.F.m/M . Vk (1)
    dùng nguyen ly bảo toàn impuls ta sẽ có tỉ lệ Vt/Vk
    từ đó khử được Vk trong (1)
    và phương trình vi phân giản hoá chỉ còn có Vt,dV và dX
    giải phường trình này là xong.. nhưng tôi quên sạch các thuật giái phương trình này rồi.. hu hu!

    Xin giáo sư chỉ vẻ cho!

  10. nguyen le tien

    Gọi :
    V là tốc độ thiên thạch
    dV là sự thay đổi của tốc độ thiên thạch khi đi quãng dX,
    M là trọng lượng thiên thạch ,
    Khi đi quãng dX , thiên thạch đểy một khối không khí nặng là m ,
    Với m = F.dX.m’ , F là diện tích thiên thạch, m’ là tỉ trọng không khí.
    Giả sử không khí đứng yên trước khi va chạm, sau đó bị thiên thạch đẩy đi và đat tốc độ Vk
    Bảo toàn năng lượng cho ta:
    ½ MV^2 + ½ M(V-dV)^2 = ½ mVk^2 , hay
    -dV^2 + 2VdV = m/M Vk^2 (1)
    Bảo toàn momentum cho ta
    MV = mVk + M(V-dV) hay
    Vk = M/m dV
    Thế vào (1) cho :
    -dV^2 + 2VdV = M/m dV^2 , hay
    2VdV = (1+M/m) dV^2 .
    M/m lớn hơn 1 nhiều , nên bỏ bớt đi cho đơn giản ( có thể làm thế được không?)
    2V = M/m dV hay
    2V = M / Fm’dX * dV hay
    dX = M/2Fm’ dV / V hay với k = M/2Fm’ ta có phương trình vi phân đơn giản
    dX = k (1/V) dV ..

  11. nguyen le tien

    như thế kết quả là một hàm exp tự nhiên, nếu tôi không hiểu lầm thì khi GS đặt câu hỏi là “bao xa sẽ giảm đi một nửa” thì gợi ý là vấn đề giông giống như .. phân huỷ phóng xạ “bao lâu thì phân huỷ còn một nửa”
    Hai vấn đề , theo tôi nghĩ, có tính giống nhau ở chỗ “tỷ lệ” ,
    ở phân huỷ thì số nguyên tử bị phân huỷ tỉ lệ thuận với tổng số .
    càng nhiều thì càng phân huỷ nhiều và càng ít đi theo hàm exp..
    ở vấn đề thiên thạch thì “càng nhanh thì càng ..va đập nhiều với không khí. và sự bị hãm dV cũng tỉ lệ với v và rút cục . hai vấn đề có điểm chung là sự “thay đổi” tỉ lệ với “toàn thể” và kết quả toán là “hàm mũ tự nhiên”

  12. nguyen le tien

    xin lỗi! công thức đầu tôi đặt nhầm dấu – thành cộng.. nhưng dẫu + hay -cũng không thay đổi bản chất “tỉ lệ” của vấn đề.🙂

  13. nguyen le tien

    Với phương trình vi phân:
    dX = -k dV/V với k = M/2Fm’
    lấy nguyên hàm ta có
    x = c –k ln(v)
    gọi V0 là vận tốc thiên thạch ở điểm x=0 , ta có c = k ln(v0) , tóm lại
    x = k (ln(V0) – ln(V)) hay k= ln(V0/V)
    với V = ½ V0 ta có
    X = k ln 2 và kết quả là để Vận tốc giảm bằng một nửa thiên thạch đi một quãng là
    X = ln(2) * M / 2Fm’
    Khi bay nó giảm tốc độ theo hàm
    V = V0 exp(-2XFm’/M)

  14. nguyen le tien

    X =  k ln(Vo/V)
    giả thử “giảm không đáng kể” nếu tốc độ chỉ giảm 1/100
    như thế 
    X = k ln ( 100/99)= k  0.01
    k = M/2Fm’
    không tính tới tỉ trọng không khí thay đổi theo cao độ, bề dầy khí quyển là 80 km,thiên thạch nặng như sắt thi với d là chiều dài cạnh khối thiên thạch hình lập phương thì
    k = d3 . M’/m’ */ 2d2 
    k = d . M’/m’  /2 , M’/m’ là khoảng 8000
    k = d * 4000
    như thế 
    x = d * 4000 * 0.01= 40d
    d  = x / 40
    với x = 80 km thì  khối thiên thạch  bự cỡ 2km!

    sao mà to thế! không biết có sai chỗ nào không!😉

  15. Bạn nguyen le tien đã làm đúng.

    Trong bài toán đơn giản hoá, tốc độ của thiên thạch giảm đi đáng kể (chính xác là e-2 lần) khi nó quét đi một thể tích không khí có khối lượng bằng chính nó (theo ký hiệu của bạn nguyen le tien là XFm’ = M).

    Điều này cũng dễ hiểu. Khi một vật nặng đập vào một vật nhẹ, thì tốc độ nó không bị giảm đi là mấy. Để cản một vật đang chuyển động, cần ít nhất một khối lượng bằng khối lượng của vật đó.

    Để đánh giá mật độ không khí, ta có thể ném một miếng xốp và xem nó bay được bao nhiêu thì rơi xuống đất. Các bạn thử làm thí nghiệm này ở nhà xem. Không cần độ chính xác cao, chỉ cần đánh giá thôi.

  16. Bài toán này nếu giải một cách “chính thống” và sử dụng phương trình vi phân như bác nguyen le tien thì sẽ thu được bức tranh về sự phụ thuộc của quãng đường vào vận tốc theo hàm loga tự nhiên. Nếu vẫn sử dụng cách tính của em, và thay điều kiện vận tốc cuối không phải là v0/2 mà là 0.99v0 thì em thu được công thức cuối cho cạnh của thiên thạch là b=199d.L/D. Sử dụng số liệu giống bác nguyen le tien, tức là L=80km, d/D=1/8000 thì em thu được b=1990m. Cách tính này em nghĩ cũng cho kết quả không tồi, lại không cần dùng phương trình vi phân. Chỉ có điều ta sẽ đánh mất bức tranh về quãng đường và vận tốc thiên thạch. Mong giáo sư Sơn có thể trả lời thêm về “độ an toàn” khi em dùng cách tính này không ạ?

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s