Du dương như trống trường

Đầu đề của bài này là để các bạn tự hỏi: tại sao đánh trống thì chỉ ra tiếng “tùng tùng”, không ra nốt đồ rê mi, mà khi đánh đàn (piano hay ghi-ta) thì lại ra các nốt nhất định? Một điều đáng ngạc nhiên là không thể giải thích (hoặc ít nhất tôi không biết cách giải thích) điều này mà không dùng đến toán cao cấp: phương trình đạo hàm riêng, hàm Bessel.

Sự khác nhau giữa đàn và trống, từ quan điểm của vật lý, là sự khác nhau giữa không gian 1 chiều và không gian 2 chiều. Khi đánh đàn đàn (kể cả piano) tiếng phát ra do dao động của dây đàn, có thể coi là một vật thể 1 chiều. Trong khi đó vật phát ra tiếng ở trống là mặt trống, là một vật 2 chiều.

Tai ta cảm nhận được một nốt (ví dụ nốt “đô”) khi dao động tạo ra là tổ hợp của các dao động hình sin, trong đó có một tần số cơ bản (ví dụ 440 Hz) và các “harmonics” có tần số bằng một số nguyên lần tần số cơ bản. Dao động của một dây đàn thỏa mãn điều kiện này. Dao động của một dây đàn được mô tả bằng phương trình

$\displaystyle{\frac{\partial^2\phi}{\partial t^2} - v^2 \frac{\partial^2\phi}{\partial x^2} = 0}$

với điều kiện biên $\phi(0)=\phi(l) =0$ (hai đầu của dây đàn bị cột chặt). Phương trình này có thể giải bằng phương pháp tách biến, dùng phương pháp này ta tìm được các tần số là

$\displaystyle{\omega_n = n \frac{\pi v}l}$

Như vậy các tần số dao động của dây đàn là bội của tần số cơ bản $\omega_1=\pi v/l$ . Thừa số $n\pi$ trong công thức trên thực ra là các nghiệm của phương trình $\sin(x)=0$

Bây giờ ta xét dao động của mặt trống. Dao động này được mô tả bằng phương trình

$\displaystyle{ \frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2\psi}{\partial y^2} = - \frac{\omega^2}{v^2}\psi }$

với điều kiện biên $\psi=0$ khi $x^2+y^2=R^2$ (ta giả sử mặt trống hình tròn với bán kính $R$ ). Phương trình này có thể giải bằng các chuyển sang tọa độ cực. Sau khi giải các bạn có thể thấy các tần số dao động của mặt trống tỉ lệ thuận với các nghiệm của các hàm Bessel $J_0$ , $J_1$ , $J_2$ , v.v. Các nghiệm này là

của $J_0$ : 2.4048, 5.5201, 8.6537 …

của $J_1$ : 3.8317, 7.0156, 10.1735 …

của $J_2$ : 5.1356, 8.4172, 11.6198 …

Các bạn có thể thấy các nghiệm này không phải là bội của một tần số cơ bản nào cả. Vì vậy tiếng trống không du dương như tiếng đàn.

This entry was posted in Music and tagged drum. Bookmark the permalink.

7 responses to “Du dương như trống trường”

hhmeo | March 28, 2012 at 9:51 am | Reply

Hay tuyệt vời :D.
Blog của 5xu | March 28, 2012 at 2:43 pm | Reply

Anh ơi hình như các trống định âm (timpani) có nốt đấy. Hoặc các bộ gõ như marimba, vibraphone thì nó cũng là bộ các thanh gỗ hoặc sắt (vật thể 2 chiều) mà chơi nhạc nghe du dương lắm.
- damtson | March 28, 2012 at 4:46 pm | Reply
  
  Đúng là thế. Hình như trong trường hợp timpani người ta làm cách nào đó mà dao động tần số nhỏ nhất (2.40) bị suy giảm rất nhanh, nốt nhận biết được là 3.83, nghiệm đầu tiên của hàm $J_1$ . Người ta bảo đánh timpani phải đánh lệch tâm (vì $J_1(0)=0$ ). Vợ tôi bảo đã đánh thử nhưng không ra nốt, chắc là vì đánh vào tâm.
Blog của 5xu | March 28, 2012 at 11:41 pm | Reply

Vâng, em cũng thử rồi, cái trống nhìn đơn giản, tưởng chừng như cứ cầm dùi gõ vào là kêu, hóa ra không phải thế. Đúng là cái gì cũng phải học, kể cả là cầm dùi gõ vào cái trống cho nó kêu.

Cái marimba và vibraphone, em nghĩ lại rồi, các thanh gỗ hoặc sắt đấy, điều kiện biên cũng bằng không.
Huy | April 18, 2012 at 4:05 pm | Reply

Có dạng trống hai chiều nào làm cho các tần số là (hoặc xấp xỉ là) bội số của một tần sốc cơ bản không ?

Tôi hỏi vì nhớ khi xét trống hình vuông $0\leq x\leq 1$ , $0\leq y\leq 1$ , giá trị riêng của toán tử Laplace bằng $\lambda_{m,n}=-\pi^2(m^2+n^2)$ , với $m,n$ nguyên dương. Mấy người làm toán lại hay bàn về vấn đề “Can one hear the shape of the drum?”. Đại khái, nếu hai cái trống có cùng dãy tần số thì chúng có bắt buộc đồng dạng không…
CTT | June 25, 2012 at 4:57 pm | Reply

Cái này chắc phải coi là trống 3 chiều vì mặt trống cong? Cái lạ là trống này có nhiều nốt (mỗi một vị trí trên trống là một nốt). Mà nghe cũng du dương lắm, cứ như thể là mỗi vị trí tạo ra một dãy tần số là bội của một tấn số cơ bản nào đó.
hunglaconic | August 11, 2012 at 2:35 am | Reply

Tai ta cảm nhận tần số cơ bản như nốt nhạc. Đâu cần đến bội của nó?
Hình như các tần số cao hơn thường làm nên âm sắc của thanh âm (ví dụ như các nguyên âm khác nhau a, e o u i…hay các âm thanh của pianô, sáo, viôlông…) chứ không phải âm thanh có du dương (kéo dài) hay không?
Khi nghe âm thanh đơn sắc – chỉ có một đường sin, không có bội thì vẫn du dương nhỉ?