Theo dự án này, người ta sẽ đào một đường hầm thẳng tắp, xuyên qua lòng đất (“đường tàu vàng”) từ Hà Nội đến Thành phố Hồ Chí Minh. Tàu sẽ được thả rơi tự do trong hầm, lúc khởi động thì vận tốc bằng không. Trong hầm người ta sẽ giữ chân không và loại trừ hết ma sát. Tàu tăng tốc dần cho tới khi đến giữa hầm, sau đó giảm tốc dần, và khi đến đầu kia thì tàu dừng lại (vận tốc bằng không).
Hỏi thời gian đi từ Hà Nội đến TPHCM sẽ là bao nhiêu?
Lời giải của tôi (viết 15/2):
Đường hầm của ta có dạng như sau:
Trong hình trên đường hầm là đường thẳng màu đỏ, mặt đất là đường cong màu đen. Mặc dù đường hầm thẳng, nhưng một người đi bộ từ đầu này đến đầu kia của đường hầm đầu tiên sẽ thấy nó dốc xuống, xong thành ngang bằng, sau thành dốc lên (như bạn Mèo đã comment). Đó là do hướng của gia tốc trọng trường (những mũi tên trong hình trên) thay đổi trên đường đi (giá trị tuyệt đối của gia tốc trọng trường có thể coi là không đổi vì đường hầm ở gần mặt đất). Như vậy người đi bộ, vốn đã quen coi mặt đất là phẳng, và gia tốc trọng trường luôn ở hướng đi xuống, sẽ cảm thấy đường hầm lõm ở giữa, như hình sau đây:
Thực ra bức tranh này không hoàn toàn đúng, vì ta đã thay đường hầm thẳng thành đường hầm cong với độ dài lớn hơn. Nhưng trong trường hợp hai điểm gần nhau trên mặt cầu như Hà Nội và TPHCM thì sự sai khác về độ dài không lớn.
Như nếu ta nhìn vào chuyển động của tàu ở bức tranh trên thì ta sẽ thấy nó chuyển động như một con lắc:
Độ dài của con lắc này được xác định bằng đọ cong của đường hầm (theo cảm nhận của người đi bộ), nhưng độ cong này chính bằng độ cong của mặt đất (so sánh 2 hình đầu tiên trong lời giải). Vì vậy độ dài con lắc bằng R – bán kính trái đất.
Thời gian tàu chạy từ đầu này đến đầu kia như vậy sẽ bằng nửa chu kỳ con lắc:
và bằng 42.2 phút.
Giá trị trên không phụ thuộc vào phân bố vật chất trong trái đất (vì tàu chạy loanh quanh trên mặt đất thôi).
Nhiều bạn đã tính ra là nếu giả sử mật độ của trái đất là constant thì thời gian đi theo đường hầm thẳng không phụ thuộc vào độ dài của hầm.
Dam Thanh Son's Blog 
Nhưng mà đi thế thì làm sao trẻ em đi học bà mẹ đi làm đươc nhỉ ?
Nếu em hiểu đúng, thì tàu sẽ đi theo hình chữ V phải không ạ? Đoạn đầu xuống dốc, đoạn sau lên dốc :D.
Đường tàu không hoàn toàn tạo hình chữ V (không có thay đổi hướng đột ngột ở giữa), nhưng đây là một hướng suy nghĩ đúng.
Viết một cái phương trình dao động điều hòa thì tính ra khoảng 45 phút. Câu hỏi phụ là hầm phải đào thế nào nếu tính đến cả lực Coriolis ? Nếu đào thẳng tắp như GS Sơn planned, có khi tàu bị Coriolis đá văng vào thành :).
Bài toán của giáo sư theo em nghĩ đó là đường đi phải là 1 đường chéo với R, M là bán kính và khối lượng trái đất. Xem trái đất như một hình tròn với mật độ vật chất khối lượng là giảm dần từ trong ra ngoài. Trong đó R1,M1 vị trí và khối lượng trái đất ở HN, tương ứng R2 M2 ở tpHCM. Với R1<R2, M10 và nửa đoạn đường sau a1 – a2<0. Sự khác biệt ở đây chính là mật độ vật chất p giảm từ trong ra ngoài. Do em không biết công thức tính p theo R như thế nào nên em chưa có được con số theo như yêu cầu của giáo sư. Cũng có thể cách suy luận của em sai khi đặt giả thuyết là p biến thiên theo R. ^_^
Do comment ở trên của em bị lỗi mất đoạn nên em viết lại
p: mật độ trái đất thay đổi giảm dần từ trong ra ngoài
R: bán kính trái đất với R1 – HN, R2 – tp HCM (R1<R2)
M: khối lượng trái đất với M1 – HN, M2 – tp HCM (M10 , nửa đoạn đường sau a1 – a2 < 0 do p – mật độ giảm dần từ trong ra ngoài. Vì chưa biết công thức p phụ thuộc vào R ra sao nên em vẫn chưa tính được thời gian để tàu chạy. Hi vọng lần này em comment không bị mất đoạn ^^
Thưa giáo sư em ko hiểu tại sao em viết công thức gia tốc hấp dẫn theo bán kính trái đất với mật độ và gia tốc hướng tâm lại ko ra được công thức ạh mà lại còn bị mất đoạn nữa. Sau 2 công thức đó em trừ với nhau, đoạn đầu gia tốc sẽ dương, đoạn sau gia tốc sẽ âm. Khi đó tàu sẽ tăng tốc và bị hãm dần.
Bạn có thể viết lại cho tôi qua email cái message bị cắt mất. Nếu bạn viết text có dấu nhỏ hơn (<) với dấu lớn hơn (>) thì đoạn bên trong hai dấu ấy có thể bị cắt mất, nhưng không biết có phải lý do là như vậy không. Bạn có thể dùng html codes để tránh: dấu nhỏ hơn viết là “<”, còn dấu lớn hơn viết là “>”.
nếu bài này giải với mật độ khối lượng của trái đất là không đổi thì: nếu đặt tàu ở một trong hai đầu thì nó tự dao động điều hòa với tần số w=căn(4.pi.G.d/3) với d là mật độ khối lượng, từ đó tính được thời gian tàu chuyển động.
Bạn thử tính ra số xem có giống kết quả của Hung Ly không. Ngoài ra, các bạn thử so sánh thời gian này với thời gian một vệ tinh bay 1 vòng quanh trái đất xem sao.
cháu tính ra là 42 phút (ít hơn bạn Hung Ly 3 phút ), kể cả đi từ HN sang NY cũng chỉ mất chừng đó thời gian.
Điểm đáng chú ý ở đây là đường hầm không đi xuyên tâm Trái Đất.
Bài này đơn giản là bởi vì ở đây ta giả sử Trái Đất là 1 perfect sphere và density của nó là uniform.
Nhưng mà thực tế nó không phải như vậy.
Có 1 câu truyện cười về các nhà Vật Lý như thế này:
——-
Chủ trại gà phát hiện gà của mình toi hàng loạt liền mời các nhà khoa học bao gồm 1 nhà sinh học, một nhà hóa học và 1 nhà vật lý đến xem xét.
Nhà sinh học vạch lông gà kiểm tra một hồi nhưng không kết luận được gì. Nhà hóa học tiến hành một vài xét nghiệm song cũng không phát hiện được nguyên nhân. Chẳng hề mó tới con gà, nhà vật lý chỉ đứng quan sát hồi lâu rồi rút máy tính ra. Sau một hồi tính toán điên cuồng, nhà vật lý tuyên bố: “Tôi đã tìm ra, nhưng chỉ cho trường hợp con gà hình cầu ở trong chân không” 😀
——
Đường tàu chỉ đi ở vỏ của trái đất (chỗ sâu nhất cũng chỉ vài chục km) mà các bạn lại cần biết phân bố khối lượng đến tận tâm trái đất à?
cháu tính ra 42 min ạ, chu kì dao động của tàu gần bằng chu kỳ của vệ tinh.
với đường hầm từ HN đi SG thì đường hầm ở gần mặt đất. Nhưng với đường hầm từ 1 thành phố ở left-handsided semi-sphere đến 1 thành phố khác ở right-handsided semi-sphere thì đường hầm rất gần tâm trái đất ( ở đây 2 thành phố nằm gần xích đạo ).
Vấn đề là nếu density là uniform thì thời gian đi không phụ thuộc chiều dài đường hầm. Nhưng nếu density không uniform thì cháu không biết tính sao nữa.
Cháu không biết đoạn HN-TP.HCM có cong nhiều không để đào 1 đường hầm thẳng xuyên tới nhau (cho tàu không phải đổi phương). Cháu nghĩ sẽ dễ hình dung hơn với HN và Niuđêli.
Điều thú vị ở đây là nếu như coi kl trái đất tập trung tại tâm thì:
Thứ nhất, thời gian đi tàu 1 chiều lại chẳng hề phụ thuộc vào chiều dài đường hầm.
Thứ 2, thời gian đi 1 chuyến khứ hồi (đi và về) lại bằng thời gian vệ tinh bay quanh TĐ 1 vòng.
trong sách vật lý nâng cao cấp 3 có bài này, và cũng có cả bài xét chuyển động của vật trên một đường đi xuyên qua tâm trái đất với điều kiện mật độ khối lượng trái đất là như nhau tại mọi điểm trong lõi.
GS Sơn et al, các bạn đang nói đến vệ tinh ở độ cao nào thế ? Mình nhớ có cái loại vệ tinh gì mà nó chẳng quay tí nào kia mà …
Đúng là phải nói chính xác độ cao là bao nhiêu thì mới biết chu kỳ quay. Chắc mọi người đều cho là độ cao nhỏ hơn nhiều bán kính trái đất.
đúng ạ, mọi người đều xét đến vệ tinh ở độ cao rất nhỏ so với bán kính trái đất ạ.
Vệ tinh mà không quay thì nó chỉ có nước rơi tòm xuống TĐ thôi. Có lẽ ý của bạn là vệ tinh quay với vận tốc góc bằng vận tốc góc tự quay của TĐ.
Nếu câu hỏi là đào đường hầm như thế nào để thời gian đi là ngắn nhất thì khó hơn. Có thể dự đoán ‘dạng’ của đường hầm mà không cần viết phương trình ra không nhỉ?
Hy vọng GS Sơn chưa quên câu hỏi của em [có liên quan rất lớn đến giả thuyết về sự non-constancy của vận tốc ánh sáng và ‘tính tuyệt đối’ của các hệ qui chiếu tự do]
cháu không bao giờ có thể quên được cảm giác xúc động hồi năm 2 đại học khi học Electromagnetism. Sau 1 hồi đi xuyên suốt 1 chiều dài lịch sử với rất nhiều phương trình, cuối cùng phương trình mà Maxwell derived out là c= constant.
@Minh: bạn cho mình hỏi bạn đang đi theo trường phái nào thế ? 😀 ý mình là bạn đang ấp ủ 1 theory mới à ? 😀 mình chỉ biết hiện tại string theory is seemingly ruling out the theoretical physics field. Có thể nói hầu hết các new theories mà mình biết hiện tại đều build on Einstein’s general relativity theory.
Thế nên mình rất tò mò, không hiểu bạn đang đi theo theory mới nào vậy ?
GS cho cháu hỏi là GS dùng Lagrangian L= T- V có ra kết quả giống cách dùng Newtonian ( tức là dùng phương trình lực ) không ạ ?
sao cháu lại ra 2 kết quả khác nhau.
Lúc đầu cháu không định dùng Lagrangian, nhưng vì bạn Minh hỏi về cách nào dự đoán dạng của đường hầm nên cháu mới định dùng nguyên lý Hamilton để prove đường thẳng là đường tốt nhất. Nhưng khi dùng Lagrangian thì cháu là ra kết quả khác với kết quả dùng Newtonian method.
Cháu tính ra HN-SG tầm 42.3 min, còn chu kỳ là 84.6 min. Chu kỳ vệ tinh cũng xấp xỉ như chu kỳ đi. Bất ngờ. 😀
Tôi mới post một trong những cách giải bài này.
ở công thức của chú, nếu thay g=GM/R^2, rồi lại thay công thức M với mật độ d và bán kính R thì lại được công thức trong trường hợp giải với giả thiết d không đổi. như vậy, việc coi g không đổi cũng như là việc coi mật độ khối lượng d ở “loanh quanh bề mặt” trái đất là không đổi.
Thưa GS, cho em hỏi là ta có thể đào 1 đường hầm “cong” hơn được không, khi đó chiều dài con lắc sẽ ngắn hơn và ta có thể đi nhanh hơn?
Và giới hạn của độ cong này là gì?
Rất cảm ơn GS về một kết quả thú vị. Theo tính toán trên, liệu có thể kết luận như sau không: trong một điều kiện lý tưởng, luôn tồn tại một cung đường bán kính R trong lòng đất đi từ điểm này đến điểm kia trong thời gian khoảng 42,2 giây mà không phụ thuộc vào khoảng cách giữa hai điểm đó.?