Bài tập: Angry Birds

Angry Birds là một trò chơi rất nổi tiếng cho iPhone, nhưng bạn không cần biết nó để giải bài này:

Hai quả bóng được thả cùng một lúc từ độ cao h = 1 m xuống mặt đất, quả bóng nhỏ nằm ngay trên quả bóng lớn (như trong hình vẽ). Kích thước của hai quả bóng cũng như khoảng cách giữa chúng đều nhỏ hơn nhiều so với h. Quả bóng nằm dưới nặng hơn nhiều quả bóng nằm trên, M>>m. Va chạm giữa bóng và mặt đất, cũng như va chạm giữa hai quả bóng, là đàn hồi.

Tìm độ cao tối đa quả bóng nhỏ đạt được sau khi nảy lên. Bỏ qua ma sát.

(Nếu bạn phải lập phương trình ra mới giải được bài này thì nghĩa là bạn chưa tìm được lời giải tối ưu).

24 responses to “Bài tập: Angry Birds

  1. Chào chủ Blog và các bạn.
    Tôi xin có phương án cho Bài tập này như sau:
    Theo điều kiện của đầu bài, trước khi 2 quả bóng chạm nhau, chúng có cùng vận tốc (với sai số rất nhỏ ) nhưng ngược chiều nhau. Do M>>m nên sau khi va chạm đàn hồi, quả bóng nhỏ bị bật ngược lại với vận tốc gấp đôi so với trước khi va chạm. Tức là động năng của nó tăng gấp 4 lần=> độ cao tối ta sẽ gấp 4 lần = 4*h=4m.
    Rất mong các bạn chỉ giáo.
    Chúc Blog và các bạn luôn an khang.
    V.Thành

  2. Le Nhu Minh Tue

    Bài này ý của giáo sư là sử dụng relative velocity đúng không ạh.
    Chọn chiều dương hướng xuống. Theo như đề bài thì cả 2 m và M đều rơi cùng 1 vận tốc |V| = v so với trái đất. Vì M rớt trước nên sẽ đập mặt đất dội lại với vận tốc V (M/e) = -v. Trong khi đấy m vẫn tiếp tục rơi xuống với V(m/e) = v vậy nên V(m/M) = V(m/e) + V(e/M) = 2v.
    Khi m đập vào M và phản xạ lại ta sẽ được V(m/M) = -2v. Khi đấy V(m/e) = V(m/M) + V(M/e) = -2v – v = -3v.
    Suy ra S = -(V(m/e))^2 / (2.a) = -9/2 . v^2 . 1/g
    với v^2 = 2.g => S = -9 m

  3. Trò Angry Birds em cũng thử chơi vài lần trên Google Chrome, vui và rất hài hước. Dùng trò này dỗ trẻ con rất hiệu quả. Câu đố chắc dễ nên các bạn không post lời giải.

    Gọi -V là vận tốc quả bóng lúc sắp chạm đất. ( Lấy chiều dương của trục y hướng lên trên)

    Lấy hệ quy chiếu mới là quả bóng to lúc nảy lên. Vận tốc của quả bóng bé trong hệ quy chiếu mới trước lúc va chạm là -2V , sau khi va chạm vì quả bóng to khối lượng lớn hơn nhiều quả bóng bé nên giữ nguyên vận tốc là V so với trái đất. Vận tốc quả bóng nhỏ sẽ là 2V so với quả bóng to và sẽ là 3V so với trái đất. Và độ cao nó nảy lên sẽ là 3h.

  4. Tình hình sẽ như thế nào nếu số lần va chạm giữa hai quả banh tiến tới vô cùng?

  5. @ Dung Nguyen : bạn cho mình hỏi, tại sao lại là 3h, phải là 9h chứ nhỉ? k.e = g.p.e & velocity squared mà ?

    Mình cũng thắc mắc về vấn đề bảo toàn năng lượng.

    Vì va chạm giữa M và đất, giữa M và m đều là elastic collisions, tức là động năng bảo toàn. Ở đây bỏ qua ma sát, tức là tổng động năng = tổng thế năng ban đầu = tổng năng lượng của M & m ban đầu (1)

    Nhưng theo như lập luận của bạn thì M sau khi va chạm, vì M>>m nên tiếp tục đi lên với vận tốc v so với trái đất, tức là năng lượng của M không đổi ( nghĩa là M sẽ trở lại độ cao ban đầu và cũng là tối đa h , vị trí mà k.e= g.p.e = total energy, còn tại mọi thời điểm T.E của M = const ).

    Trong khi đó m lại có thể nảy lên cao với độ cao tối đa là 9h thì rõ ràng G.P.E cung như T.E của m đã tăng ). Vậy tổng năng lương T.E của M và m đã tăng, không còn = const nữa (2)

    Ở đây (2) mâu thuẫn với (1) , bạn làm ơn giải thích giùm mình với.

    Thanks bạn.

    • Đúng là 9h như bạn Lê Như Minh Tuệ giải, mình nhìn hình vẽ và nhẩm thử nên sai thôi. Xin lỗi làm bạn mất công thắc mắc. Thực ra để vận tốc của M sau khi va chạm bằng V là do tính gần đúng của một lần va chạm để giải một cách đơn giản. Còn khi va chạm nhiều lần thì phải làm kiểu khác.

      Như trong câu hỏi của bạn Minh, muốn tính được hệ sẽ thế nào sau rất nhiều lần va chạm thì phải giải chi tiết hơn. Nếu va chạm có mất năng lượng thì sau một thời gian đủ dài cả 2 vật M và m sẽ nằm yên. Trong trường hợp năng lượng bảo toàn, thì phức tạp hơn rất nhiều. Có một ví dụ là khi 2 vật M và m có khối lượng như nhau khi va chạm ở độ cao H với tốc độ bằng nhau và bằng Sqrt(2gH/m). Thì sau khi va chạm 2 vật chỉ đổi chiều vận tốc, một vật sẽ nảy lên độ cao 2H và rơi xuống, một vật sẽ chạm đất và nảy lên, Sau đó lại va chạm tại độ cao H với cùng vận tốc, và quá trình này diễn ra tuần hoàn, chu kỳ là thời gian giữa 2 lần va chạm.

      Vì sau mỗi lần va chạm, trao đổi động năng là một đại lượng gián đoạn và không liên tục ( trong trường hợp ví dụ ở trên thì thật may mắn là bằng 0) nên không thể đảm bảo sau một thời gian dài sẽ đưa hệ đến trạng thái ổn định nghĩa là sẽ lặp lại với chu kỳ là một lần va chạm. Có thể tính thử thấy rằng nếu 2 vật không cùng khối lượng thì trạng thái ổn định như vậy sẽ không bao giờ xảy ra.

      Thử nghĩ đến việc hệ sẽ tuần hoàn sau một số N lần va chạm, điều đó là có khả năng, nhưng vì quá trình va chạm với bảo toàn năng lượng là một quá trình rất toán học, động lượng cũng như xung lượng của từng vật thay đổi trong quá trình đó giống như step function, nên việc tuần hoàn sau N lần va chạm cũng chưa chắc được đảm bảo.

      Bạn hmtn2 có thể thử simulation bằng máy tính và vẽ đồ thị vận tốc của M và m sau từng lần va chạm. Mình đoán là sau một số lượng lớn va chạm, đò thị sẽ có dạng gần tuần hoàn nhưng có thể không lặp lại chính xác các trạng thái ở mỗi chu kỳ. Với M >> m , thì biến thiên động năng của vật M sau mỗi va chạm sẽ “liên tục” hơn (dV/V<<1), và khả năng có kết quả simulation gần "tuần hoàn" sẽ cao hơn.

      • Bạn Dung Nguyen làm ơn giải thích hộ mình về bản hất của việc tại sao năng lượng lại tăng với. Chứ mình không quan tâm đến tuần hoàn hay không tuần hoàn đâu. Hì hì

    • Le Nhu Minh Tue

      Cái cậu nói chỉ là tương đối thôi. Thực tế nó vẫn bảo toàn năng lượng cũng như động năng. Ví dụ như công thức động lượng đi, cậu cho quả banh (m) đập vào tường (M) với tốc độ v. Tường đứng yên trước sau gì thì động năng vẫn bằng 0, chỉ có mỗi quả banh có động năng, cậu nhìn vào công thức sẽ thấy m1.v1 = m1.v1′ m1.v = – m1.v. Vậy thì vô lý rồi. Chính xác ra thì ko phải như vậy. Bức tường vẫn di chuyển nhưng cực kỳ nhỏ, còn |v1’| < v cũng rất nhỏ. Cuối cùng vế phải bù trừ cho nhau vẫn ra được dương m1.v chứ không phải -m1.v.

      • Bạn Tuệ ơi, mình chả hiểu m1 với v1, v1′ của bạn ở đây là gì.

        Dẫu biết cái gì cũng có tính tương đối, ví dụ những assumptions của bài toán, nhưng sự tương đối này sẽ trở nên đáng kể nếu như ở đây h rất lớn hoặc hệ có nhiều cặp (M,m) đồng thời va đạp như trên. Lúc đó phần năng lượng tăng lên sẽ rất đáng kể.

        Cái mình cần được giải hích là bản chất của việc tăng năng lượng này cơ.

    • Có thể bạn chưa đọc kỹ, mình không nói rằng năng lượng sẽ không bảo toàn. Tuy nhiên trong một số bài toán có thể làm xấp xỉ, bài toán này cũng có thể giải một cách xấp xỉ với độ chính xác chấp nhận được bằng cách như vậy để trả lời cho câu hỏi độ cao của m đạt được sau khi va chạm. Còn nếu để trả lời câu hỏi năng lượng tổng cộng sau va chạm thì lại phải làm cách khác. Cũng như bài toán va chạm nhiều lần cũng phải làm cách khác,

      Khi học vật lý đôi khi bạn bắt gặp nhiều xấp xỉ. Nếu bạn nghĩ kỹ sẽ thấy khi giải bài tập cơ học với thế năng hấp dẫn của các vật trên trái đất cũng là xấp xỉ, khi tính đến trái đất có khối lượng rất lớn đối với vật cần xét. Bạn sẽ không bao giờ viết được công thức chính xác mgh+mv^2/2= constant nếu tính đến trái đất có khối lượng hữu hạn. Ví dụ khi bạn nhảy từ trên cao xuống, cả bạn và trái đất cùng chuyển động về phía khối tâm của cả bạn và trái đất. Nhưng trong khi giải phương trình thì không tính đến chuyển động về phía bạn của trái đất, nên bạn mới có công thức bảo toàn năng lượng với thế năng mgh.

  6. Le Nhu Minh Tue

    Cho em sửa lại ở trên 1 chút, các từ động năng thay bằng động lượng. |v1’| – v xấp xỉ gần bằng không.

  7. Nếu các va chạm là đàn hồi và bỏ qua ma sát, năng lượng của hệ 2 quả banh (động năng + thế năng) bảo toàn. Nếu để cho số lần va chạm tiến tới vô cùng, rõ ràng trạng thái cuối cùng của hệ là quả banh lớn M sẽ nằm yên trên mặt sàn, còn quả banh nhỏ rơi xuống rồi nảy lên etc. Khi đó độ cao cực đại của quả banh nhỏ là h(1 + M/m).

    • @ Minh : bạn sử dụng giải thiết va chạm đàn hồi giữa M và sàn, vậy tại sao bóng M sau vô số lần va chạm lại nằm yên trên mặt sàn ? Va chạm đàn hồi có nghĩa là động năng bảo toàn.

      • Khi M va chạm đàn hồi với sàn, động năng (hoặc tốc độ) của nó không đổi. Tuy nhiên tốc độ của M sẽ giảm dần sau nhiều lần va chạm với m. Có thể thấy M bị ‘kẹp sandwich’ bởi m và sàn, nên sau vô số lần va chạm vận tốc của M sẽ tiến tới 0 (cân bằng với sàn). Tất nhiên để cho chặt chẽ thì phải lập các phương trình và đánh giá, nhưng ở đây prof. Sơn yêu cầu không lập các phương trình.

  8. Dong y voi loi giai cua ban MINH. Nhu GS Son nhac truoc
    => (Nếu bạn phải lập phương trình ra mới giải được bài này thì nghĩa là bạn chưa tìm được lời giải tối ưu).

    • Mình nghĩ lập phương trình ở đây là sử dụng 2 công thức định luật bảo toàn động năng và động lượng để tìm ra mối liên hệ giữa vận tốc với khối lượng của mỗi vật cho va chạm đàn hồi. Công thức này bạn có thể tìm trong sách giáo khoa (có thể ko được chứng minh hoặc dẫn giải). Bạn vẫn ra được kết quả với chiều cao như ở trên.

  9. @ all : mình không muốn lún sâu vào những tranh cãi có chiều hướng không dẫn tới những kết luận chính thức nào. Đợi đáp án chuẩn của giáo sư vậy ( sau đó có gì thắc mắc tiếp …hì hì )

    Richard Feynman đã từng nói : “it is much more interesting to live not knowing than to have answers that might be wrong ” mừ :d

    • Hì còn mình thì nghĩ ngược lại😀. Cần phải luôn có câu trả lời cho tất cả mọi điều thú vị dù đúng hay sai, để đến khi biết mình sai hoặc chưa hoàn chỉnh thì lại càng thú vị và tò mò hơn để hiểu đúng vấn đề và mở rộng nó ra thêm🙂.

  10. Tôi không định có đáp án cho bài này.

    Câu hỏi của bạn Minh rất hay nhưng liệu có lý thuyết quá không? Nếu các bạn làm thí nghiệm thật sự thì sẽ thấy không thể nào làm cho hai quả bóng va chạm lại lần thứ hai, không nói gì đến chuyện va chạm vô số lần. Tôi đã làm rất nhiều lần, thường là quả bóng nhỏ bay lệch ra đi đâu mất chứ không có chuyện nó lại đập vào quả bóng to thêm một lần nữa. Vấn đề là rất khó để cho hai quả bóng chính xác ở trên đường vuông góc với mặt đất.

  11. Giáo sư Sơn, cháu nghĩ quả bóng nhỏ sau va chạm với quả bóng to bị bay lệch đi đâu đó mà không bật ngược trở lại theo 1 đường thẳng vuông góc với mặt sàn là vì ở đây 2 quả bóng không được treated như 2 chất điểm mà là 2 rigid bodies. Vì vậy, để tìm lời giải chính xác là rất khó.

    Hix…Điều cháu không thích nhất ở vật lý là sử dụng rất nhiều assumptions và approximations không đúng với thực tế TT_TT

    Sau khi đọc bài GS Ngô Bảo Châu phỏng vấn giáo sư, cháu hiểu ra rằng, trong vật lý cần nhất là trực quan – thứ mà cháu không có ạ :d

  12. Hiện tại tôi cũng vừa đọc diễn đàn và thấy đay chỉ là một bài toán của học sinh lớp 10 hiện nay. Tuy nhiên thấy ý kiến của bạn DAMTSON cũng như một số bạn khác khẳng định là chưa chính xác. Ở đây là một bài toán lý tưởng, còn trên thực nghiệm khi chúng ta không loại bỏ hoàn toàn được lực cản không khí cũng như khi tiến hành thí nghiệm hai vật rơi không xuyên tâm thì làm sao được. Thanks tác giả của blog đã đưa ra vấn đề.

  13. Rất mong được làm quen những người yêu vật lý.

  14. Dear giáo sư & các bạn,

    Cháu vừa mới hiểu ra bản chất của sự tăng năng lượng ở đây. Nói theo cách khác là sự tăng năng lượng của quả bóng nhỏ m trong trường hợp này là hoàn toàn chấp nhận được. Hóa ra chỉ là 1 chút toán học, không liên quan gì đến bản chất vật lý ở đây cả.

    Năm nhất cháu luân chuyển khắp 4 departments, học hành chắp vá tùm lum nên gần như toàn bộ môn Vật Lý không có chữ nào vào đầu. Nhưng chủ yếu là vì lười nên mặc dù giờ đã học đến năm 3, nhưng lecture notes của môn VL năm nhất vẫn chưa bao giờ đọc đến :”> May mà vừa nãy trong lúc lục tìm 1 số giấy tờ, cháu phát hiện lecture notes môn VL năm nhất vẫn còn mới tinh nằm lẫn trong đống giấy tờ. Thế là cháu ngồi đọc ( for the first time ) nên đã hiểu ra.

    Tóm lại, nếu chỉ coi 2 quả bóng M, m là 2 chất điểm, không coi là rigid bodies thì đáp số là 9h.

  15. Dạ thưa giáo sư em làm bài toán này như sau không biết có đúng không ạ . Mong giáo sư và mọi người giúp đỡ
    Gắn hệ quy chiếu và quả cầu dưới ( khi quả cầu này va chạm với mặt phẳng ) .Lúc đó quả cầu trên sẽ có vận tốc là 2v trong hệ quy chiếu trên khi quả cầu trên va chạm với quả cầu dưới do M>>m nên xem như là va chạm với mặt phẳng .Do va chạm đàn hồi nên quả cầu trên sẽ có vận tốc là 2v trong hệ quy chiếu cũ tức 3v trong hệ quy chiếu với mặt đất
    Có vận tốc ta dễ dàng tính được độ cao là 9m

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s