Ramanujan và bạn C

Ramanujan là một nhà toán học Ấn Độ. Có một câu chuyện rất nổi tiếng về ông ta, do Hardy (một nhà toán học khác) kể lại:

Tôi nhớ một lần đến thăm Ramanujan lúc anh bị ốm ở Putney. Tôi đi taxi số 1729, và có nói với anh là con số này có vẻ chẳng có ý nghĩa gì, và tôi hy vọng đó không phải là điềm xấu. “Không”, Ramanujan trả lời, “đó là một số rất hay, nó là số nhỏ nhất có thể biểu điễn bằng tổng lập phương hai số nguyên bằng 2 cách khác nhau” (1729=13+123=93+103).

Đúng Ramanujan là một người hết sức đặc biệt, có thể nói là độc nhất vô nhị, có phải không? Tôi đã từng nghĩ như thế, cho đến khi tình cờ đọc được câu chuyện sau:

Ba bạn học sinh A, B và C, đi trên phố và nhìn thấy một chiếc ô tô vi phạm luật lệ giao thông. Không ai nhớ số xe, nhưng mỗi người nhớ một khía cạnh của số này. A nhớ là hai chữ số đầu tiên bằng nhau, B nhớ là hai chữ số cuối cùng cũng bằng nhau, và C nhớ là số này có bốn chữ số và là một số chính phương.

(chuyện xảy ra ở Việt Nam khoảng năm 1963, theo Lê Hải Châu và Lê Hải Khôi, Selected Problems in the Vietnamese Mathematical Olympiad 1962-2009, World Scientific, 2010).

Bạn C có khả năng nhìn một số có 4 chữ số mà biết ngay nó là số chính phương hay không (nhưng không nhớ số đó là số nào!).

Hỏi số xe là số nào?

14 responses to “Ramanujan và bạn C

  1. Giải bài tập thì dĩ nhiên là dễ rồi vì 11 là số nguyên tố. Nhưng làm thế nào để giỏi như bạn C thì em vẫn chưa biết.

    Có khoảng gần 70 số chính phương có 4 chữ số. Em chỉ có thể rút bớt thời gian kiểm tra xem có phải là số nguyên chính phương không bằng cách ta dễ dàng biết 30^2,40^2,…,90^2 bằng bao nhiêu và từ chữ số hàng nghìn và chữ số hàng trăm của số cần xét ta rút lai có thể biết nếu là số chính phương thì sẽ nằm trong khoảng từ 40^2 đến 50^2 hay từ 60^2 đến 70^2, etc. Rồi bằng nhiều nhất 9 phép tính thử (nếu làm khéo thì rất đơn giản ) sẽ biết số đó là chính phương hay không. Tuy nhiên cách này vẫn dùng nhiều cơ bắp quá.

  2. Dang ngoi ra de thi cho SV, met qua vao day choi lai gap bai toan LHC/LHK nay.
    Chuyen chang C nho la so chinh phuong chac la bia thoi, ai ma nhin 1 so 4 chu so biet ngay la chinh phuong duoc😀

    Tuy nhien bai cung thu vi, de toi ve do con gai xem sao.

    So luong truong hop thi cung it thoi

    aabb = 11 X a0b, va a0b phai chia het cho 11, suy ra a+b = 11.

    Khi do a0b = 11 x (9x a +1)

    Nhu vay 9 x a + 1 cung phai la chinh phuong nua. Xem cac truong hop a tu 2 den 9, chi co a = 7 la OK thoi.

    (Xin loi viet tieng Viet khong co dau, vi dang o co quan)

  3. Mình cũng nghĩ giống như bạn nhưng ko nhất thiết phải nhiều lần thử thế đâu. Ví dụ như muốn tính 48^2 thì ta lấy 50^2 =2500 lấy 2 số đầu là 25 – (50-48) = 23, hàng đơn vị là bình phương của 2 = 4 vậy 48^2 = 2304. Chỉ cần nhìn vào dãy số là mình có thể đoán nó nằm ở đoạn nào rồi.

    Như 7744 nhìn vào bạn C biết nó thua 90^2=8100 (Có điều cách tính 90^2 hơi khác tí 50^2) 81-77 = 4 tức thua 2 , vậy đoán con số 88. Để chắc chắn thì ta tính tiếp số 4 thì ứng hàng chục, còn số 2 bình phương =4 ứng với hàng đơn vị.

    Hay ngược lại muốn tính 87^2 đi thì 90-87=3 nhân 2 lên là 6 tức hàng chục, 3 bình phương =9 lên là hàng đơn vị, lấy 81-6 = 75, vậy số đó là 7569
    86^2, thua 4 nhân 2 = 8 hàng chục, 4^2=16 hàng đơn vị lấy 80+16 = 96 (2 số cuối),2 số đầu 81-8=73, vậy 86^2=7396…

    Còn nếu như bạn C nhìn là biết nhưng ko nhớ thì đúng thua thật mình không nghĩ ra cách nào hơn. Bấm máy tính vẫn là nhanh nhất😀

  4. Mình không biết làm thế nào để chứng minh số 1729 là số nhỏ nhất thỏa mãn tính chất đó. Có bạn nào biết không (tất nhiên không phải là bằng cách thử dần dần các cặp số khác nhau)?

  5. Để chính xác hơn một chút thì người ta sửa câu nhận xét của Ramanujan thành : “nó là số nhỏ nhất có thể biểu điễn bằng tổng lập phương hai số nguyên DƯƠNG bằng 2 cách khác nhau”. Vì nếu xét tới cả số âm thì còn có trường hợp nhỏ hơn là 91 (91 = 6^3+(-5)^3 = 4^3+3^3)

  6. Cháu nghĩ số đó là 7744 = 88^2. Hồi trước cháu đã thấy bài toán này trong sách “Những vấn đề phát triển toán 6” của thầy Tôn Thân.

  7. Cháu thấy rằng số chính phương tận cùng là 1, 4, 5, 6, 9.
    Số tận cùng là 11, thì không thể.
    số tận cùng là 55 thì cũng không thể (vì nó chỉ có thể tận cùng là 25 mà thôi).
    Số tận cùng là 66, 99 thì cũng không thể vì nó chia cho 4 dư 2 và 3 (trong khi số chính phương chia cho 4 dư 0 và 1)
    Chỉ còn trường hợp duy nhất là nó tận cùng là 44.
    Có số 12 ^2 = 144, cho nên a^2 – 12^2 = 100k = (a+b)(a-b) (k là số tự nhiên)
    Cho nên a+b mang giá trị 50 hoặc 100, hoặc a-b mang giá trị 50 mà thôi.
    thì nó chỉ có số a chỉ co thể là 38, 62, 88.
    Thử vào ta được số a = 88, số cần tìm là 7744.
    Còn việc bạn C nhìn ra số đó là số chính phương thì giỏi quá, có 2 khả năng. Ngay lúc đó bạn ấy nhìn ra điều này, hoặc là bạn ấy đã biết giá trị bình phương của tất cả các số trong khoảng từ 1 tới 100 rồi😀.

  8. Bổ sung thêm:
    (a+12)(a-12) = 100k, chúng có cùng tính chẵn lẻ, cho nên cả 2 nhân tử đều phải là số chẵn, từ đó mà (a + 12) bằng 50 hoặc 100, hoặc (a-12) = 50.

  9. Nếu mở rộng ra số chính phương có 6 chữ số, ba số đầu bằng nhau, 3 số cuối bằng nhau.
    Lý luận tương tự, ta có tận cùng của chúng phải là 444.
    Có số 38^2 = 1444.
    a^2 – 38^2 = 1000k.
    -> (a – 38)(a + 38) = 1000k.
    Nhận thấy rằng a + 38 và a – 38 không thể đồng thời chia hết cho 5 và 10.
    (bởi vì a + 38 – (a – 38) = 76, không chia hết cho 5 và 10)
    Nên chỉ có trường hợp là một trong 2 số chia hết cho 125 mà thôi, và chúng đều phải là số chia hết cho 4 ( nếu a+ 38 chia cho 4 dư 2 thì a – 38 chia cho 4 cũng dư 2, vì 76 chia hết cho 4 –> tích của chúng sẽ chỉ chia hết cho 4 chứ không chia hết cho 8, mà 1000 chia hết cho 8)
    a + 38 có thể là 500, 1000.
    a – 38 có thể là 500.
    có các trường hợp a = 462, 962, 538.
    Không có số nào thỏa mãn.

  10. 462^2 = 213444.
    538^2 = 289444.
    962^2 = 925444.
    (Với bài toán trên, cháu thấy cũng có cách khác là mình thử chọn số có dạng aaa444,(a từ 1 tới 9) rồi mình lấy căn bậc 2 là được😀.)
    Từ đây thấy rằng không tồn tại số chính phương nào có dạng aaaabbbb….
    Cháu nhớ hồi câp 3 có làm một bài trên máy tính Casio: tìm số có 6 chữ số abcdef, sao cho ( abc + def ) ^2 = abcdef.
    với số có 2 chữ số thì đó là 2025 = (20 + 25) ^ 2, 3025 = (30 + 25) ^ 2. 9801 = (98 + 1) ^ 2.
    Bạn nào hứng thú thì làm nhé.

  11. Cháu vừa nghĩ thêm 1 cách nữa.
    số aabb chia hết cho 11.
    aabb = 11 * a0b.
    Cho nên số a0b phải chia hết cho 11, theo lý luận ở trên thì số chính phương như trên có tận cùng là 44, nên b = 4.
    (a + 4)- 0 chia hết cho 11.
    Nên a chỉ có thể bằng 7.

    Tương tự, giả sử tồn tại số mà ta cần tìm, aaabbb = a00b * 111.
    Số a000b có tận cùng là 4 và chia hết cho 111.
    a000b = xy*111.
    xy là một số chính phương có 2 chữ số và tận cùng bằng 4 –> xy = 64.
    Thử lại ta thấy 64*111 = 7104 (không thỏa mãn).
    Như vậy không tồn tại số mà ta cần tìm.

  12. 1000x + 100x + 10y + y = n*n
    1100x + 11y = n*n
    11(100x + y) = n*n
    11(11*9x + x + y) = n*n
    11*11*(9x + (x + y)/11) = n*n
    11m*11m = n*n
    => 9x + (x + y)/11 = m*m
    x + y x + y = 11
    => 9x + 1 = m*m
    => x = 7; m = 8
    => y = 4

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s