Bài tập: siêu tân tinh

Bài này thoạt nhìn có vẻ khó nhưng thực ra có thể giải được bằng vật lý sơ cấp.

Một siêu tân tinh (supernova) nổ và giải phóng ra năng lượng E=1044 J. Vật chất xung quanh siêu tân tinh có mật độ ρ=2×10-21 kg/m3. Vụ nổ sinh ra một quả cầu nóng ngày càng to ra. Nôm na đây là một quả cầu rỗng, vỏ quả cầu phần lớn làm từ vật chất lúc đầu nằm bên trong quả cầu và bị vụ nổ “quét” ra ngoài (cộng thêm một phần nhỏ là vật chất từ ngôi sao ban đầu). Sau một thời gian tàn dư của siêu tân tinh sẽ trông giống thế này:

Kepler's supernova

Đánh giá kích thước của quả cầu ở thời điểm t=1000 năm sau khi siêu tân tinh nổ. Bỏ qua sự mất mát năng lượng do bức xạ.

15 responses to “Bài tập: siêu tân tinh

  1. Bán kính của siêu tân tinh r phải là một hàm theo thời gian t và theo các điều kiện ban đầu (năng lượng giải phóng E, mật độ \rho) . Như vậy r có thể được biểu diễn như sau:

    r = CE^m\rho^nt^l

    trong đó C là một hắng số. Các số mũ m, n, l có thể được xác từ việc cân bằng đơn vị ở hai vế. Đơn vị của r là L, của E là ML^2T^{-2}, của \rhoML^3 và của t là T. Do đó m=1/5, n=-1/5 và l=2/5. Nếu coi C=1, ta nhận được công thức biểu diễn bán kính theo thời gian như sau :

    r=\left(\dfrac{E}{\rho}\right)^{1/5}t^{2/5}

    Thay số liệu vào ta nhận được r(1000 năm) = 21,8.10^{15} (m), tương đương với khoảng 10 triệu lần bán kính mặt trời (quá lớn ???)

    Cách tính này không thật sự chặt chẽ lắm vì hằng số C không được xác định mà được giả thiết là bằng một đơn vị.

  2. GS Sơn, đúng là em đã có sự nhầm lẫn khi thay số. Thật ra em vẫn thay 1000 năm. Nhưng do các con số trong phép tính quá lớn so với khả năng tính của máy tính bỏ túi mà em dùng (bị hạn chế ở 10 ^60) nên kết quả tính không còn đúng nữa. Em vừa tính lại, r(1000 năm) = 137E15 (m).

    Ngoài ra em có một câu hỏi. Có cách nào xác định được giá trị của hằng số C không? Em không biết có hiện tượng vật lý nào tương tự như hiện tượng này để ước lượng đươc C hay không? Em có “cảm giác” hằng số này sẽ phụ thuộc vào tính chất vật lý của vật chất trong siêu tân tinh, mà phải là các đại lượng không thứ nguyên (kiểu như hằng số đoạn nhiệt \(\gamma\) )

    Qua nay xem blog của GS, thấy các bài viết rất hay và đôi khi rất là hài hước. Em chúc GS sức khỏe để tiếp tục phát triển blog. Em cũng xin gửi lời chào tới các bạn thành viên trong blog.

  3. Lần thứ 2 mình bất ngờ về một kết quả ước lượng dùng thứ nguyên trên Blog. Mình thử chút xíu thì phải ước lượng khối lượng vỏ của supernova, phải dùng đến hằng số hấp dẫn và một phép tích phân. Kết quả cũng ra cỡ ~10^17 m như của bạn. Cách dùng thứ nguyên có vẻ hiệu quả hơn mình nghĩ, nhưng dù sao mình vẫn thích một công thức toán học dẫn từ khái niệm vật lý hơn.

  4. Dear bạn CCT, mình có 1 chút thắc mắc- mong bạn gỡ rối giùm. Đó là về cách dùng thứ nguyên để thiết lập phương trình. Mình muốn nhờ bạn thiết lập định luật Coulomb mà không biết trước rằng lực tỷ lệ thuận với bình phương điện tích và tỷ lệ nghịch với bình phương khoảng cách ! Bởi vì khi mình thử làm thì mình nhận ra rằng bạn không thể nghiễm nhiên mặc định hằng số C trong bài toán siêu tân tinh là hằng số không có đơn vị ! ?

    Với lại theo công thức mà bạn derive ra được thì khi t tiến đến vô cùng, r cũng sẽ tiến đến vô cùng. Xin lỗi mình không hiểu lắm. Rốt cuộc là quả cầu sẽ to cỡ nào ?

    Thưa giáo sư, cháu không hiểu gì về các ngôi sao cũng không hiểu rõ đề bài cho lắm. Nhưng theo cháu hiểu thì E ở đây là tổng năng lượng giải phóng ra ( tức là từ lúc mới nổ cho đến khi kết thúc ) và E có thể coi bằng gravitational potential energy đúng không ạ ? Nếu thế thì dùng công thức E=Mc^2 và dùng tích phân sẽ tính ra được khối lượng ban đầu và bán kính ban đầu A của ngôi sao. E= (3/5)GM^2/A.

    Giờ tưởng tượng có 3 quả cầu đồng tâm – quả cầu nhỏ nhất có bán kính A – là quả cầu đặc và chính là ngôi sao ban đầu. Quả cầu này nằm trong 1 quả cầu rỗng thứ 2 có bán kính B. Quả cầu rỗng thứ 2 này lại nằm trong quả cầu đặc thứ 3 có bán kính C. Như vậy có phải khoảng không gian chứa vật chất với mật độ như đề bài cho là khoảng không gian đặc giữa quả cầu thứ 2 và thứ 3 không ạ ? Sau 1 hồi tính toán thì cháu ra được 1 đẳng thức là (C^5-B^5)/ [((C^3-B^3))^2 ] = 1/A.

    Nhưng cháu không hiểu mật độ vật chất xung quanh siêu tân tinh cho trong đề bài là đo được vào thời điểm nào ? Có phải là thời điểm cuối cùng tương ứng với năng lượng E được giải phóng ra ở trên không ạ ? Với lại ta phải coi C hay B ở trên là bán kính của quả cầu ạ ? Mặt khác cháu cũng không biết làm thế nào để relate bán kính cầu với thời gian. Cháu thực sự không hiểu rõ bản chất vấn đề lắm. Mong giáo sư không cười cháu ạ :”>

    Có gì mong anh Dũng giải thích hộ em vì giáo sư không có nhiều thời gian. Em cảm ơn ạ.

    • Mình nghĩ rằng thứ nguyên không tốt ở tất cả mọi chỗ. Chỉ với điện tích và khoảng cách giữa 2 vật thì khó có thể tính lực bằng phương pháp thứ nguyên. Tuy nhiên phương pháp thứ nguyên có vẻ hữu ích trong rất nhiều bài toán ước lượng.

      Việc bán kính R tiến tới vô cùng khi t tiến tới vô cùng bị ngăn cản bới lực hấp dẫn có lẽ là điều mà cách giải thứ nguyên chưa tính đến ( Có trường hợp R tiến tới vô cùng nhưng mình nghĩ không phải bài toán này). Thế năng hấp dẫn của lõi ngôi sao ban đầu cộng với thế năng hấp dẫn của chính vỏ cầu là supernova sẽ ngăn cản, đến khi động năng của vỏ bằng 0 và thế năng cực đại thì theo như bài toán cổ điển nó sẽ co lại. Tuy nhiên phương pháp thứ nguyên chỗ này lại khá tốt theo mình nghĩ ( và mình cũng thử tính một chút) là bởi vì thời gian còn quá nhỏ để lực hấp dẫn đóng vai trò chính trong việc cản chuyển động ra của vỏ. Bạn tưởng tượng là một con lắc lò xo trong môi trường có lực cản hay ma sát nhớt, nếu động năng ban đầu và khối lượng của con lắc lớn và độ cứng của con lắc là nhỏ, thì trong thời gian nhỏ ban đầu, ta có thế xem chuyển động của con lắc không bị kéo lại bởi lò xo. Thang thời gian chỗ này năm ở chu kỳ của con lắc, nếu nhỏ so với chu kỳ là được.

      Trong bài toán này, lực hấp dẫn cũng có vai trò tương tự cái lò xo, tuy nhiên chu kỳ của quá trình là lớn hơn nhiều so với 1000 năm. Thế nên việc bỏ qua lực hấp dẫn chỗ này có thể chấp nhận ở một mức nào đó.

      Việc bạn tính khối lượng của supernova dùng công thức Einstein có lẽ không hợp lý, vì như thế là tất cả năng lượng chỉ của một khối nằm yên chứ không có vụ nổ, và nếu tính theo công thức của bạn thì khối lượng của ngôi sao nhỏ hơn rất nhiều khối lượng mặt trời là không hợp lý. Mình nghĩ năng lượng E ở đây chỉ tính đến động năng của vật chất bị đẩy ra thôi.

      Mật độ vật chất ro là mật độ của không gian xung quanh vụ nổ. Cách mình thử tính là dùng định luật bảo toàn năng lượng. Năng lượng E ban đầu được chuyển thành động năng của lớp vỏ chuyển động ra ( khối lượng của lớp vỏ tăng theo thời gian vì nó quét thêm vật chất bên ngoài), sự thay đổi thế năng hấp dẫn ( tính cả trường hấp dẫn của lõi ngôi sao) của khối vật chất xung quanh ngôi sao khi từ dạng đồng nhất bị dồn thành một vỏ cầu. Nếu bỏ qua tương tác hấp dẫn vào thời điểm 1000 năm thì có vẻ công thức thứ nguyên khá tốt.

      Đấy là suy nghĩ của mình, chắc vài ngày nữa giáo sư sẽ đưa ra cách giải chính thức. Nhưng dành thêm thời gian chắc các bạn sẽ có thêm nhiều ý tường thú vị hơn.

    • Hi ban hmtm2, mình không nghĩ rằng người ta có thể tìm được định luật Coulomb bằng phương pháp thứ nguyên. Phương pháp này chỉ dùng để ước lượng mà thôi. Theo mình, nó có 2 nhược điểm là:

      1, Nó không cho lời giải duy nhất. Nguyên nhân: 1, cách bạn chọn hằng số C (nếu vì một lý do nào đó bạn suy đoán được giá trị và thứ nguyên của C, bạn sẽ có một biểu thức khác); 2, cách bạn đặt vấn đề. Ví dụ bạn hoàn toàn có thể nói bán kính r phụ thuộc vào cả áp suất xung quanh quả cầu, và trong trường hợp này bạn sẽ có một biểu thức khác nữa

      2, Rất khó để có thể xác định nguồn gốc của công thức thu được từ phương pháp (nghĩa là ta không biết yếu tố nào đã được bỏ qua, yếu tố nào đã được tính tới và tính tới ở mức độ nào).

      Vấn đề r tiến tới vô cùng đến từ 2 nhược điểm trên. Bạn có thể hình dung ở thời điểm t rất lớn, vận tốc giãn nở (thu được bằng cách đạo hàm r) tiến tới 0. Ta có thể tưởng tượng ở thời điểm đó quả cầu hết động năng giãn nở, nên nó sẽ phải bị co lại do áp suất của môi trường xung quanh. Do khi đặt bài toán, ta không tính tới áp suất nên hiệu ứng này không xảy ra. Tất nhiên đó chỉ là ví dụ thôi, mình tin là áp suất ảnh hưởng rất nhỏ lên quả cầu, thực tế mình nghĩ hiệu ứng liên quan tới hấp dẫn (như bạn Dung Nguyen nói) đóng vai trò quan trọng hơn nhiều.

      • @ CTT: vay la ban da tu nhan ra duoc van de trong phuong phap dung thu nguyen cua ban khi ban giai bai toan sieu tan tinh roi` day’ !

        Minh nghi cong thuc cua ban ra giong’ voi cong thuc trong atomic bomb ( theo Buckingham pi theorem ) la do trung hop ngau nhien thoi nen ban moi ra ket qua co E17.

        Tom lai, cho` giao su cho loi giai chinh thuc.

        PS: minh dung may tinh cua truong – khong cai Vietkey duoc. xin loi vi da viet tieng Viet khong dau’.

  5. à quên mất, vì mật độ xung quanh siêu tân tinh đã được cho như đề bài nên tính được C^3-B^3 rồi tính được C^5-B^5. Giải hệ 2 phương trình này để tìm ra B và C nhưng cháu chưa giải ạ. Vì cũng không biết phương pháp này có đúng không nữa. Tại vì nếu sai thì đỡ mất công giải. Hì hì…

  6. chúng ta có thể tìm lời giải cho câu đố của GS trong phần cuối của bài viết (atomic bomb) :
    http://en.wikipedia.org/wiki/Buckingham_pi_theorem

  7. Mình thấy đề bài của giáo sư ghi là chỉ cần sử dụng vật lý sơ cấp nên mình giải thử. Cách mình giải thì ko dùng đến hằng số hấp dẫn như của bạn Dung Nguyen. Mong bạn có thể ghi ra cách giải cho mình tham khảo thêm ^^. Sau đây là cách giải của mình.
    m = tích phân của p.dV = tích phân của p.4.pi.r^2.dr
    Ta có E = 1/2 m.v^2 với v= r/t
    thay m và v ở trên vào pt E ta được
    E = (1/2).p.4.pi. (r^5 / 5) .(1/ t^2)
    thay số vào ta rút ra được r = 1.31 E 17 metre . Tức bán kính phải phụ thuộc vào mật độ và năng lượng tỏa ra ban đầu của supper nova. Thấp hơn của bạn CTT 1 tí. Tức khoảng 13.9 năm ánh sáng ko biết đúng hay ko tại con số này thấy cao quá vì chỉ có 1000 năm, chắc ngôi sao này khối lượng khá lớn trước khi chết.😀

    • Mình nghĩ phương pháp thứ nguyên là 1 cách rất hay để mình có thể kiểm chứng công thức gốc mà ta giải ra có đúng hay ko. Như lời giải trên của mình thì hằng số C của bạn CTT đã được tìm ra rồi đấy ^^

    • Mình thấy bài giải của mình tuy có ra tỉ lệ mũ giống như cách giải thứ nguyên, nhưng nó có vài chỗ sau khi suy nghĩ lại chính mình cũng thấy thắc mắc, có thể cách mình giải ko chính xác. Trong cách mình giải E và p giống như hằng số vậy. Khi tính ra m theo tích phân thì p là hằng số nó ko phụ thuộc vào V cho dù V có tăng. V tăng thì p phải giảm chứ tại ban đầu vật chất của ngôi sao có giới hạn mà. Trừ phi vỏ của quả cầu rỗng ngày càng mỏng theo thời gian nhưng p ở vỏ vẫn ko thay đổi. Tức tính m với tích phân từ a tới b theo r với hiệu a-b càng ngày càng nhỏ theo thời gian. Ừh nhỉ vậy thì m,p,V của vỏ super nova vẫn sẽ ko thay đổi theo thời gian, mà chỉ là hình dạng của vỏ thay đổi theo thời gian. Mình suy luận thế không biết có đúng ko nữa ^^.

  8. Các bạn có thể tham khảo thêm về Crab nebula: http://en.wikipedia.org/wiki/Crab_Nebula
    Đây là tàn dư của một siêu tân tinh nổ năm 1054, tới nay cũng gần 1000 năm, và kích thước của nó cũng đại khái như các bạn đã tìm ra.

  9. Tôi đang bận nên viết ngắn.

    CTT: bạn đánh biểu thức toán học như sau: $latex a^2+b^2=c^2$.

    1. Như bạn CTT và TTKH chỉ ra, bài này có thể giải bằng phương pháp thứ nguyên, nhưng chỉ trong trường hợp có thể bỏ qua lực hấp dẫn. Công thức bạn CTT tìm ra đôi khi gọi là công thức Sedov-Taylor. Ta không cần bỏ qua áp suất, chỉ cần giả thiết chất khí có một hệ số đoạn nhiệt \gamma không đổi. Bài toán có thể đưa về việc giải một hệ phương trình vi phân. Hệ phương trình này có lời giải giải tích (xem Landau and Lifshitz, Fluid Mechanics, 2nd English edition, §106). Hệ số C trong công thức của bạn CTT phụ thuộc vào \gamma, muốn tìm được nó thì các lập luận về thứ nguyên không đủ, mà phải giải phương trình vi phân. Kết quả là khi \gamma=5/3 thì C≈1.17, khi \gamma=7/5 thì C≈1.03. Có thể xem thêm F. Shu, Physics of Astrophysics II. Gas Dynamics, chương 17.

    2. Nếu các bạn không muốn dùng thứ nguyên thì có thể dùng lập luận vật lý như sau. Khối lượng của vỏ là m\sim \rho R^3, chuyển động với vận tốc v\sim R/t. Động năng mv^2\sim \rho R^5/t^2 phải cỡ bằng E, từ đó tìm ra công thức như của bạn CTT.

    3. Bài toán này được giải quyết vào thời chiến tranh lạnh. Bài toán lúc đó là: có một quả bom nguyên tử nổ trên không, quả cầu lửa sẽ nở ra theo thời gian như thế nào? Có thể đưa bài toán về việc tìm nghiệm self-similar của một hệ phương trình vi phân. Bài toán đã được Sedov ở Liên Xô, von Neumann và G.I. Taylor ở phương Tây giải độc lập, G.I. Taylor không tìm ra lời giải giải tích, nhưng ông ta dùng công thức giống công thức của bạn CTT để phân tích cuốn phim quay vụ thử bom nguyên tử năm 1945 ở New Mexico và tìm ra được năng lượng giải phóng trong vụ nố. Ông ta công bố giá trị này (khoảng 1014 J), lúc ông ta công bố thì công suất của vụ nổ còn là bí mật, nhưng cuốn phim quay vụ nổ đó thì công khai.

    3. Theo cuốn sách của Shu thì khi t lớn hơn khoảng 105 năm thì công thức Sedov-Taylor không còn đúng nữa, vì sự mất mát năng lượng do bức xạ không thể bỏ qua.

  10. hôm nay đang học Astrophysical Fluid Dynamics, cháu chợt nhớ tới bài tập về siêu tân tinh của GS. Hồi đó, cháu chưa đủ công lực nhưng cứ lanh cha lanh chanh tấn công problem.

    Cháu xin phép GS chia sẻ với các bạn trên blog cuốn textbook của môn Astrophysical Fluid Dynamics được dạy trong Lent term năm 3 undergrad của cháu.

    http://www.cambridge.org/gb/knowledge/isbn/item1172954/?site_locale=en_GB

    ( Các bạn có thể vào http://www.library.nu để download về )

    ————-
    Cuốn sách này thực chất chỉ là tập hợp lại 24 tiếng lectures thôi nên nó không quá nặng nề ( mình nghĩ ai không có background về fluid dynamics vẫn sẽ hiểu được vì năm 2 undergrad mình cũng chỉ được dạy qua loa về Fluids trong vẻn vẹn có 4 tiếng lectures. )

    Nếu có bạn nào đã kinh qua cuốn này, nội công thâm hậu thì giúp mình giải quyết 1 số problems trong cuốn này nhé ! mình sắp thi😀

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s