Entropy biểu tình

Nước Nga có một luật như sau: nếu biểu tình từ 2 người trở lên thì phải xin phép, nhưng nếu chỉ có 1 người đứng giơ biểu ngữ lên thì không cần xin phép ai cả. Nhưng chỉ có thể làm thế nếu trong phạm vi 10 m không có ai khác cầm biểu ngữ (kể cả lúc hai biểu ngữ nói về hai vấn đề hoàn toàn khác nhau). Nếu có thì sẽ bị cảnh sát bắt.

1. Một đảng đối lập quyết định tổ chức biểu tình bằng cách tìm một bãi đất trống thật rộng, rồi huy động người của mình ra đứng ở bãi trống đó, mỗi người cầm một biểu ngữ, và sao cho khoảng cách giữa mỗi người đến người gần nhất là (10+\epsilon) m, trong đó \epsilon là đại lượng vô cùng bé. Hỏi làm thế nào để cực đại hóa được số người cầm biểu ngữ trong một diện tích cố định?

2. Giả sử những người đi biểu tình đã đứng vào vị trí tối ưu. Một đảng thân chính phủ quyết định phá buổi biểu tình trên bằng cách cử người của mình mang biểu ngữ đi xen vào đám người của đảng đối lập, chờ những người này giơ biểu ngữ lên thì cũng giơ biểu ngữ của mình lên. Theo luật những người đứng cách nhau dưới 10 m sẽ bị bắt (bản thân những người thân chính phủ cũng sẽ bị bắt, nhưng không sao). Ký hiệu số người đối lập đi biểu tình là N, và C_N là số tối thiểu người thân chính phủ ta cần để làm cho cả N người đối lập bị bắt. Tìm giới hạn C_N/N khi N\to\infty. Gọi số này là c.

3. Khi số lượng người thân chính phủ lớn hơn số tối thiểu một chút, (c+\epsilon)N, ta sẽ có nhiều cách xếp những người này sao cho tất cả N người đối lập bị bắt. (Các bạn tự tìm định nghĩa thế nào là hai cách xếp tương đương.) Ký hiệu số các cách xếp này là \Omega_N. Đánh giá entropy \ln \Omega_N.

23 responses to “Entropy biểu tình

  1. Không có bạn nào đưa lời giải. Em xin thử trước, có gì sai sót các bạn khác bổ xung tiếp.

    Câu 1 thì tưởng tượng cho mỗi người biểu tình đeo một cái vòng bán kính là 5m+ epxilon/2. Muốn có nhiều người nhất thì nghĩ ra cách xếp các hình tròn bán kính 5m sao cho chặt nhất ( diện tích các kẽ hở là nhỏ nhất). Cách xếp này sẽ giống như mạng graphene, tuy nhiên có thêm một nguyên tử nữa ở tâm hình lục giác. Với cách này thì trong mỗi hình tam giác cạnh 10m sẽ có 1/2 người.

    Câu 2 thì cách xếp những người thuộc đảng thân chính phủ, thì tưởng tượng mỗi người này là một hình tròn bán kính 10m. Cách xếp tối ưu là sao cho dùng các hình tròn này xếp kín được toàn bộ diện tích mà sao cho tổng phần diện tích bị giao nhau của các tròn là nhỏ nhất. Cách xếp cũng tương tự như trên, có điều lần này cạnh của hình lục giác trong mạng graphene lúc này là 10*sqrt(3) m. Nghĩa là trong một tam giác cạnh 10*sqrt(3) m cũng có 1/2 người. Tỷ số khi N tiến tới vô cùng sẽ bằng tỷ lệ diện tích của 2 tam giác và bằng 1/3.

    Câu 3 thì số cách sắp xếp chắc bằng số cách xắp xếp (c+epxilon)N hạt đồng nhất vào cN vị trí. Nếu với N lớn thì chắc là sẽ gần đúng bằng
    {\epsilon N}^{c N}/{\epsilon N}!
    Và entropy có cỡ bằng cN=N/3.

  2. Em có chút lỗi trong công thức latex, Phải là
    (\epsilon N)^{cN}/(\epsilon N)!

  3. Và kết quả entropy chính xác hơn một chút thì có cỡ cN*ln(epsilon*N)

  4. Em xin sửa lại, số cách xếp gần bằng:
    {(cN)^{\varepsilon N}}/(\varepsilon N)!
    Và Entropy gần đúng là
    \varepsilon N\ln (cN)

  5. Ở phần 2 và 3, khi những người đảng đối lập đã đứng vào chỗ rồi, họ không di chuyển đi nữa.

  6. Cảm ơn giáo sư đã chỉ rõ vấn đề. Nếu những người của đảng đối lập không di chuyển nữa, thì những người của đảng thân chính phủ không cần phải bao kín diện tích, mà các đường tròn đường kính 10m ở phần 2 chỉ cần bao đủ số người thuộc đảng đối lập ở các vị trí cố định. Cách bao hiệu quả nhất là mỗi người thuộc đảng thân chính phủ bao được 4 người thuộc đảng đối lập nằm ở 4 đỉnh của hình thoi có cạnh bằng 10 cộng với epxilon ( ghép bởi 2 tam giác đều có cạnh 10 cộng với epxilon). Thế nên c=1/4.

  7. Số hình thoi tạo bởi N người gần đúng bằng
    N - 2\sqrt N  + 1
    Số cách xếp khi có thêm người gần đúng bằng
    {\left( {N - 2\sqrt N  + 1} \right)^{\varepsilon N}}/\left( {\varepsilon N} \right)!
    Và cỡ của Entropy bằng
    \varepsilon N\ln \left( {N - 2\sqrt N  + 1} \right)

    • Bạn xếp các hình thoi như thế nào?

      • Trong một hình lục giác ghép bởi 3 hình thoi và có 3 người thuộc đảng đối lập. Như vây số hình thoi sẽ bằng N. Tuy nhiên khi xét đến những người đối lập nằm ở boundary, thì số hình thoi sẽ giảm đi cỡ 2 lần căn bậc 2 của N.
        Để tính ảnh hưởng của bondary, để đơn giản em tính cho một hình thoi lớn ghép bởi các hình thoi có trục song song với nhau. Để làm được điều này thi phải quay một số hình thoi trong các hình lục giác để cho trục song song với nhau. Thực tế thì nếu ta xóa đi các cạnh trong hình lục giác thì đỉnh các hình lục giác sau khi xếp có thể được vẽ lại thành nằm trên các hình thoi có trục song song với nhau.
        Cuối cùng cũng là trả lời câu hỏi của bạn Le Nhu Minh Tuệ. Em nghĩ đến hình lục giác là vì trong đầu có ấn tượng về hình ảnh của graphene khi nghiên cứu nó trước đây. Còn cách suy nghĩ hiệu quả hơn là nghĩ đến việc những người thuộc đảng đối lập nằm nút của một mạng các hình thoi, vì nó có tính đối xứng khi tịnh tiến theo 2 vector, và suy nghĩ để tính toán chắc cũng tiện lợi hơn.

      • Em sửa một chút là tập hợp đỉnh các hình lục giác cả tâm các hình lục giác có thể được hình dung lại thành đỉnh các hình thoi có trục song song với nhau.

      • Le Nhu Minh Tue

        Ừh nhỉ mình quên mất, khoảng cách để bắt trong phạm vi 10+e đầu mình lại luôn nghĩ thành 5+e/2. Như vậy chỉ cần đứng giữa giao điểm đường chéo hình thoi là có thể bắt được 4 người. Vậy thì c = 1/4 là chính xác rồi. Như vậy thì mình chỉ cần vẽ các hình thoi sát cạnh nhau là đủ ko cần các hình lục giác đều sát cạnh nhau mà đằng nào thì 3 hình thoi đó cũng ghép lại thành hình lục giá đều.Vậy thì tính toán trở nên đơn giản hơn rất nhiều😀.

      • Dung Nguyen: khi giải phần 3, bạn có đếm các kiểu xếp như thế này không?

      • Le Nhu Minh Tue

        Thưa giáo sư em không hiểu hình vẽ của giáo sư lắm. Tại sao có nhiều hình lặp giống nhau thế ạh. Theo em hiểu cách xếp tương đương là khi mình quay 1 đơn vị của mô hình thì thì các vị trí không thay đổi trong cấu trúc mạng. Như hình thoi mình chỉ có 3 kiểu xoay, nhưng trong hình vẽ của giáo sư lại có rất nhiều hình giống nhau. Còn 3 hình xoay còn lại 1 đường gạch ngang (6 kiểu xoay), 1 tam giác thiếu cạnh (4 kiểu xoay), 1 hình thoi thiếu 1 cạnh(4 kiểu xoay) thì chỉ mỗi hình chỉ có 1 kiểu.

      • Mỗi hình thoi thể hiện 4 người đối lập bị bắt vì đứng gần 1 người thân chính phủ (đứng ở giữa hình thoi). Vì hình vẽ giới hạn nên có nhiều nhình thoi không có đủ cạnh (như chỉ có 1 cạnh hay bị thiếu một nửa), nhưng bạn phải tưởng tượng toàn mặt phẳng được phủ bằng các hình thoi như vậy. Tôi cố tình làm các hình thoi có hướng quay lung tung không cùng một hướng, nhưng số các hình thoi vẫn là N/4.

      • Le Nhu Minh Tue

        Dạ vâng, vậy thì em đã hiểu cách xếp của giáo sư rồi ạh. Cách xếp của em cũng như của bạn Dung Nguyen giống như là 1 ô mạng với các nút mạng cố định vậy ,như 8 người thì tạo ra tới 3 hình thoi chứ không phải là 2. Bởi vậy nên bạn Dung Nguyen mới đưa ra công thức số hình thoi tạo bởi N người như ở trên. Còn cách xếp của giáo sư là cứ 4 người là tạo ra 1 diện tích hình thoi riêng, các hình thoi sắp ở các vị trí tùy ý vì bài toán ko đưa ra các dữ kiện diện tích khu đất được phép biểu tình. Với lại bài toán mang tên là entropy chứ ko phải là 1 bài toán hình học đơn thuần ^^.
        Vậy thì số trạng thái vi mô ở đây là các hình thoi ứng với số người từ N -> N + (c+e).N là (c+e).N/4. Từ đây ta sẽ có entropy là ln ((c+e).N/4).
        Tuy nhiên ở đây em có thắc mắc là nếu N không chia hết cho 4. Tức ta sẽ có 1 hoặc 2 hoặc là 3 người dư ra. (c+e).N cũng thế không chia hết cho 4. Vậy những người dư này sẽ ra sao và khi đó có còn phân biệt giữa người theo chính phủ và đối lập nữa hay ko ạh.
        Em có 1 liên tưởng để hiểu bài toán entropy thế này (em có nhiều ý tưởng lắm nhưng do vật lý căn bản còn kém nên giáo sư hay các bạn ở đây có đọc cũng đừng buồn cười) Giả sử ta có N/4 hạt phản vật chất và N/4+ (c+e)N/4 hạt vật chất khi gặp nhau thì triệt tiêu. Nhưng do vật chất nhiều hơn (c+e)N/4 nên ta mới có vật chất như vũ trụ hiện tại. Quay lại thắc mắc của em ở trên N và (c+e)N không chia hết cho 4 tức ta vẫn còn có số dư ra. Vậy số dư đó sẽ đi đâu và làm gì ạh.

      • Nếu tính số hình thoi với các cach xếp khác nhau, thì mỗi điểm là đỉnh của 12 hình thoi khác nhau. Nhưng 4 đỉnh share chung một hình thoi, nên số hình thoi sẽ gần bằng Nx12/4=Nx3 (bỏ qua ảnh hưởng của boundary). Tiếp đến là với mỗi tam giác đều thì sẽ được chia thành 4 vùng, vùng ở tâm là khi người thân chính phủ đứng vào sẽ chỉ bao được 3 người đối lập( đứng theo kiểu tam giác), còn 3 vùng còn lại thì mỗi người thân chính phủ đứng vào sẽ bao được 4 người ( đứng kiểu hình thoi), vậy nên có Nx3 cách đứng kiểu hình thoi.
        Trong mỗi tam giác có 1/2 người, nên sẽ có Nx2 (tam giác ) cách đứng kiểu hình tam giác.

      • Nếu coi mỗi người vượt quá N/4 có (Nx3 +Nx2) cách xếp thì sẽ có số các xếp cỡ
        (5N)^{(\epsilon N)}/(\epsilon N)!

      • Le Nhu Minh Tue

        Bạn Dung Nguyen có thể giải thích rõ hơn hay là vẽ ra cái hình mà bạn đếm được không. Tại ngay câu đầu tiên của bạn mình ko hiểu. Bạn nói là “1 điểm là đỉnh của 12 hình thoi khác nhau” trong khi đó hình thoi theo như yêu cầu bài toán cũng như bạn đã viết hình thoi đó phải được ghép từ 2 tam giác đều. tức hình thoi phải có 2 góc là 60 và 2 góc là 120. Với góc nhỏ nhất là 60 thì 1 điểm cũng chỉ có thể 6 hình thoi khác nhau thôi chứ.

  8. Le Nhu Minh Tue

    Hì mình nghĩ tại sao bạn ko để cách sắp xếp là hình lục giác dều có cạnh bằng nhau với các góc là 120 luôn. Tại ta sắp xếp trên 1 mặt phẳng diện tích thì chỉ cần có 3 điểm là tạo ra 1 diện tích rồi. Mà chỉ có diện tích của tam giác đều là có diện tích nhỏ nhất theo điều kiện của bài toán, với cạnh là 10 + e. Như vậy đỡ phải tốn thời gian sắp xếp các hình tròn cho các khe hở là nhỏ nhất trừ phi mỗi người là 1 quả bóng tròn rồi sau đấy đứng vào khu đất ấy rồi mỗi người ép sát lại với nhau giống như trước khi chơi bi da lỗ người ta xếp bóng vậy ^^.

    Còn câu 2 thì mình nghĩ vẫn là c= 1/3 bạn đưa ra. Đây là suy luận của mình. Tại do 1 tam giác đều như thế thì chỉ cần 1 người đứng ở trong tam giác đó là đủ rồi. Để cho dễ tính thì mình lấy là trọng tâm tam giác luôn.
    Nếu bạn vẽ các hình lục giác đều ra và chia mỗi lục giác đều đó thành 2 nửa hàng. Tức là bây giờ mình có n hàng ngang và mỗi hàng ngang đó có n tam giác đều. Thì ta sẽ thấy sự xen kẽ giữa hàng có người thân chính phủ nằm trọng tâm tam giác đều với lại hàng ko có bất kỳ người thân chính phủ nào. Với hàng có người thân chính phủ đứng thì ta có tỉ lệ cứ 1 tam giác có 1 người thân chính phủ đứng thì 2 tam giác kế tiếp ko có.
    Và vì vậy để cho tất cả người của chính phủ nằm ở trong diện tích của người biểu tình thì ta sẽ có 3 hàng với mỗi hàng n tam giác với 2 hàng có người thân chính phủ nằm ở ngoài và hàng ko có người thân chính phủ nằm ở giữa. Ta sẽ có tỷ lệ này = 2((n-1)/3+1)/(3n)
    Nếu n tam giác tiến tới vô cùng thì tỉ lệ này bằng 2/9
    Nhưng lại phức tạp ở chỗ nữa cứ xếp 3 hàng ở trên thành 1 cụm thì giữa mỗi cụm ta vẫn sẽ có thêm 1 hàng n tam giác không có người thân chính phủ nằm giữa. Trừ cụm cuối cùng ta sẽ ko có hàng này. Lại để cho đơn giản việc tính toán ta lại phải định nghĩa lại n hàng ở trên. Bây giờ mỗi hàng của ta lại là 1 cụm 3 hàng ở trên. Vậy với n hàng ta sẽ có tỉ lệ (2/3 . (n-1) + 2). n /(3.n.n + n-1). Kỳ lạ thay là nếu n tiến tới vô cùng nó vẫn cho ra 2/9. Cái này để mình suy nghĩ thêm. Rắc rối bài toán là mình lại phải đổi từ tam giác qua lại thành người. Nếu entropy với mỗi không gian con là 1 tam giác đều thì dễ hơn là mỗi người.
    Giờ theo công thức trên ta lại nhận thấy ở hàng có người thân chính phủ đứng thì số người thân chính phủ đứng nhân cho 3 lên sẽ ra toàn bộ số người biểu tình đứng ở mỗi hàng n tam giác là (n+2) và vì vậy nên tổng số người biểu tình đứng ở 3 hàng với mỗi hàng n tam giác trên ta chỉ cần lấy số người được tính ở trên nhân cho 2 tức là 2(n+2).
    Vậy giờ ta có tỉ lệ c tổng quát với n hàng với mỗi hàng là n tam giác là
    c = 2.n.n.((3n-1)/3+1)/(2.n.n.(n+2)) = 1/3

    Còn câu 3 theo mình nghĩ là cũng ko có sự giao hoán giữa người thân chính phủ khi sắp xếp. Mình cứ lấy kiểu sắp xếp người biểu tình như trên với mỗi người biểu tình như thế thì sẽ có 1 người thân chính phủ đứng cạnh. Tức cứ N người biểu tình thì có N người thân chính phủ đứng cạnh. Vậy ta có 1 cách sắp xếp khi số người chính phủ với biểu tình bằng nhau. Còn số người thân chính phủ dư (c+\epsilon) N, thì sau khi nhân vào ta sẽ lấy số nguyên là a. Rồi số người a đó ta cho đứng ở vị trí bất kỳ vị trí nào kể cả trọng tâm bất kỳ tam giác nào + vị trí mỗi đỉnh tam giác là (n+2) + n^2 . Cái này mình sẽ dùng tổ hợp C(a,n^2+n+2) để tính ra cách sắp xếp.
    Vậy giờ tổng các cách sắp xếp là 1 +C(a,n^2+n+2). Sau đó là ln lên😀. Dạo này nhiều chuyện xảy ra ko mong muốn cứ dồn dập tới nên chẳng làm được gì😛, thấy mỗi bạn Dung Nguyen trả lời nên mình cũng góp vui ^^.

  9. Chua co thoi gio giai duoc bai entropy nay cua bac Son, nhung muon bao cho moi nguoi la cai ten mien zetamu.com cua toi bi an trom mat roi. Bay gio lay ten la zetamu.net

  10. Thưa giáo sư,
    Em xin lỗi vì comment của em không liên quan đến bài viết về entropy, em định post nó vào bài post nguyên lý bất định, nhưng có lẽ phần comment ở đó đã bị đóng. Em muốn hỏi giáo sư một chút về việc Mặt trăng rơi vào Trái Đất. Có 1 ví dụ tương tự đó là tại sao Trái Đất không rơi vào Mặt trời ? Vì theo thuyết tương đối rộng, Mặt trời làm cong không-thời gian, và Trái Đất chuyển động quanh phần bị uốn cong đấy theo 1 đường trắc địa. Tưởng tượng trong không gian ba chiều, một quả tròn chuyển động quanh một vùng lõm, thì sớm muộn nó cũng sẽ đi theo 1 đường trôn ốc và đến tâm của vùng lõm ấy. Vậy trong không gian 4 chiều thì có gì khác không ? Nếu không khác thì không sớm thì muộn, Trái Đất cũng sẽ rơi vào Mặt Trời. Nếu ta thay Mặt trời bằng lỗ đen thì nếu Trái Đất sẽ bị rơi vào trong tâm lỗ đen. Vậy có phải lý do là do độ cong của không thời gian ở vị trí của lỗ đen bằng vô cùng khác với độ cong là hằng số gây ra bời Mặt Trời không ạ ?

    • Như tôi đã viết, nếu tính đến quá trình phát ra sóng hấp dẫn thì hai vật nào quay xung quanh nhau sớm hay muộn cũng rơi vào nhau. Vấn đề là bao nhiêu lâu thôi. Trong trường hợp trái đất với mặt trời thì quá trình này rất chậm, nhưng trong trường hợp hai sao nơtron quay xung quanh nhau thì quá trình này xảy ra với tốc độ có thể đo được. Ví dụ hai sao nơtron trong hệ pulsar đôi Hulse-Taylor sẽ rơi vào nhau trong khoảng 300 triệu năm.

  11. Nguyễn Hữu Định

    Tôi xin chia sẻ kinh nghiệm về bài này cho vui. Hôm trước tôi cũng nghĩ về câu 1 và 2, nhưng dưới dạng sắp đội hình của đội bóng để cực đại hóa diện tích kiểm soát trên sân khi tấn công và sắp đội hình để kèm đối phương khi phòng thủ. Mỗi tam giác đều phía trên là một đơn vị phối hợp, và các cầu thủ ngoài bìa sẽ tạo thành một hình bầu dục với một đầu là thủ môn và một đầu là tiền đạo trung tâm. Tuy nhiên không ai trong đội đồng ý, và các đội hình phổ biến như 1-4-4-2, 1-4-3-3 đều nhìn không giống vậy. Đề nghị bỏ luật việt vị cũng bị họ phản đối quyết liệt.
    Nhân tiện tôi muốn hỏi, theo tinh thần của định luật thứ 2 của nhiệt động học thì ta nên bỏ luật việt vị và để cầu thủ hai bên chạy chỗ tự do, hay bỏ luật lệ nhà nước và để kinh tế hoạt động tự do, hay bỏ quản lý trong nhiều lĩnh vực khác nữa, đúng không? Anh hay các bạn đọc có suy nghĩ gì về khả năng xã hội cũng tuân theo các định luật vật lý, bất chấp yếu tố con người (kiểu như sau này nhiều màu da sẽ trộn lại thành 1; như tuân theo những định luật phổ quát trong toán xác suất.) thì chia sẽ cho mọi người đọc.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s