Bài tập cơ lượng tử

Cho hai hạt identical bosons khối lượng m chuyển động trong thế V=mω2r2/2. Hai hạt còn tương tác với nhau bằng thế năng \alpha/r^2 trong đó r là khoảng cách giữa hai hạt. Như vậy Hamiltonian của hệ là

H=\displaystyle{\frac{{\bf p}_1^2}{2m}} +\displaystyle{\frac{{\bf p}_2^2}{2m}} +\displaystyle{\frac{m\omega^2}2}({\bf x}_1^2+{\bf x}_2^2) + \displaystyle{\frac\alpha{|{\bf x}_1-{\bf x}_2|^2}}

Tìm tất cả các mức năng lượng của Hamiltonian này.

Phần 2 (thêm 8/12/2010): bây giờ tổng quát hóa bài toán thành bài toán 3 hạt boson

H=\displaystyle{\frac{{\bf p}_1^2}{2m}} +\displaystyle{\frac{{\bf  p}_2^2}{2m}} +\displaystyle{\frac{{\bf p}_3^2}{2m}}+\displaystyle{\frac{m\omega^2}2}({\bf x}_1^2+{\bf x}_2^2+{\bf x}_3^2)

+\displaystyle{\frac\alpha{|{\bf x}_1-{\bf x}_2|^2}} + \displaystyle{\frac\alpha{|{\bf x}_2-{\bf x}_3|^2}} +\displaystyle{\frac\alpha{|{\bf x}_3-{\bf x}_1|^2}}

Thường các bài toán ba hạt không giải được chính xác. Bài toán là tìm năng lượng trạng thái cơ bản trong giới hạn \alpha\to+\infty (chính xác hơn: \alpha\gg\hbar^2/m).

36 responses to “Bài tập cơ lượng tử

  1. Đây đúng là bài tập cơ học lượng tử. Khi giải thử em thấy tốn khá nhiều technic, nhưng có thể là cách giải của em chưa được tốt hoặc là phức tạp hóa vấn đề.
    Em thử đưa ra lời giải:
    Nếu bài này mà hệ số tương tác 2 hạt mà bằng 0 thì tương đương với 2 dao động tử 3 chiều độc lập. Nhưng khi có số hạng tương tác khác 0, ta dùng thủ thuật biến đổi (hệ quy chiếu khối tâm):
    {\bf{r}} = {{\bf{x}}_1} - {{\bf{x}}_2}
    {\bf{R}} = \frac{{{{\bf{x}}_1} + {{\bf{x}}_2}}}{2}
    Ta sẽ có:
    \frac{{{{\bf{p}}_1}^2}}{{2m}} + \frac{{{{\bf{p}}_2}^2}}{{2m}} = \frac{{ - {\hbar ^2}}}{{2(m/2)}}{{\vec \nabla }_{\bf{r}}}^2 + \frac{{ - {\hbar ^2}}}{{2(2m)}}{{\vec \nabla }_{\bf{R}}}^2

    \frac{{m \cdot {\omega ^2}({{\bf{x}}_1}^2 + {{\bf{x}}_2}^2)}}{2} = \frac{{(m/2){\omega ^2}{{\bf{r}}^2}}}{2} + \frac{{(2m){\omega ^2}{{\bf{R}}^2}}}{2}

    Hamiltonian sẽ trở thành:
    H = \left[ {\frac{{ - {\hbar ^2}}}{{2M}}{{\vec \nabla }_{\bf{R}}}^2 + \frac{{M{\omega ^2}{{\bf{R}}^2}}}{2}} \right] + \left[ {\frac{{ - {\hbar ^2}}}{{2\mu }}{{\vec \nabla }_{\bf{r}}}^2 + \frac{{\mu {\omega ^2}{{\bf{r}}^2}}}{2} + \frac{\alpha }{{{{\bf{r}}^2}}}} \right]

    với
    M=2m
    \mu =m/2

    Phần đầu tiên của Hamiltonian mới là một giao động tử điều hòa 3 chiều và có năng lượng

    {E_1} = \hbar \omega ({N_x} + {N_y} + {N_z} + 3/2)

    với {N_i} là các số nguyên.

    Ta viết lại phương trình tìm giá trị riêng của năng lượng đối với phần còn lại:

    \left[ {\frac{{ - {\hbar ^2}}}{{2\mu }}{{\vec \nabla }_{\bf{r}}}^2 + \frac{{\mu {\omega ^2}{{\bf{r}}^2}}}{2} + \frac{\alpha }{{{{\bf{r}}^2}}}} \right]\psi ({\bf{r}}) = {E_2}\psi ({\bf{r}})

    Vì phương trình này mô tả chuyển động của hạt có đối xứng trung tâm, nên ta có thể viết nghiệm dưới dạng:

    \psi ({\bf{r}}) = Y_l^m(\theta ,\varphi )U(r)

    Dùng tính chất của hàm spherical hamonics, ta thu được phương trình cho phần phụ thuộc bán kính:

    \frac{{ - {\hbar ^2}}}{{2\mu }}\left[ {\frac{{{d^2}U(r)}}{{d{r^2}}} + \frac{2}{r}\frac{{dU(r)}}{r}} \right] + \left[ {\frac{{\mu {\omega ^2}{r^2}}}{2} + \frac{{(l(l + 1) + \alpha '){\hbar ^2}}}{{2\mu {r^2}}}} \right]U(r) = {E_2}U(r)

    với

    \alpha ' = \alpha  \cdot (2\mu /{\hbar ^2})

    Đến đây ta dùng phương pháp tiệm cận để giải (asymptotic ), với r tiến tới vô cùng, ta rút ra dạng của thành phần theo phương bán kính:

    U(r) = Z(r) \cdot {e^{\frac{{ - (\mu \omega /\hbar ){r^2}}}{2}}}

    Với r tiến tới 0, thì ta có phương trình tiệm cận:

    \frac{{ - {\hbar ^2}}}{{2\mu }}\left[ {\frac{{{d^2}U(r)}}{{d{r^2}}} + \frac{2}{r}\frac{{dU(r)}}{r}} \right] + \frac{{(l(l + 1) + \alpha '){\hbar ^2}}}{{2\mu {r^2}}}U(r) = 0

    Để tìm dạng của Z(r)

    Tiếp đó ta phân tích Z(r) thành chuỗi rồi lắp vào phương trình vi phân với r hữu hạn, và thu được phương trình liên hệ đối với hệ số. Điều kiện là chuỗi cut off đưa ta đến điều kiện của năng lượng:
    {E_2} = \hbar \omega \left( {n + \frac{{\sqrt {1 + 4{l^2} + 4l + 4\alpha '}  - 1}}{2} + \frac{3}{2}} \right)

    Và dĩ nhiên là năng lượng của hệ sẽ là tổng năng lượng

    E = {E_1} + {E_2}

    Nhận xét là với hệ số tương tác bằng 0, ta có:

    {E_2} = \hbar \omega \left( {n + l + \frac{3}{2}} \right)

    Ta thu lại được năng lượng của giao đông tử điều hòa 3 chiều đơn giản.

    Nếu công thức không hiện lên xin giáo sư sửa lại giúp em.

    • Ở đây em có một lỗi typing
      \frac{{dU(r)}}{r} phải đổi thành
      \frac{{dU(r)}}{{dr}} .
      Em cũng thử kiểm tra điều kiện chuẩn hóa của hàm sóng thấy cũng không vấn đề gì. Nhưng em cũng không ưng lắm kết quả vì thấy không đẹp như em nghĩ. Thêm nữa là với tương tác giữa 2 hạt là đẩy hoặc hút cũng khá khác nhau. Trong trường hợp bài này em xét là 2 hạt đẩy nhâu để \alpha dương. Nhưng trong trường hợp hút nhau thì phải sửa đổi kết quả một chút. Sẽ tồn tại những moment góc đủ nhỏ để 2 hạt dính với nhau thành một giao động tử 3 chiều duy nhất. Vì điều kiện của chuyển động trong trường hút đối xứng trung tâm để cho hạt không có khả năng chuyển động vào tâm là r^2 V(r) phải tiến tới không khi r tiến tới 0, trong trường hợp này không được thỏa mãn. Thêm nữa với tương tác hút cực lớn thì 2 hạt sẽ dính với nhau dễ dàng để chuyển động như một hạt duy nhất.

      • Le Nhu Minh Tue

        sau thời gian đọc lại mình có thể hiểu được cách giải của bạn Dung
        Nguyen 1 phần nào đó. Theo mình nghĩ thì bạn đã đi đúng hướng. Tuy nhiên có vài chỗ mình còn thắc mắc nếu như ta xem 2 hạt thành 1 hạt center of mass liên hệ theo khối lượng µ chuyển động trong thế tương tác V(r ) như thế thì ta sẽ ko thể nào xác định được riêng từng hàm sóng của mỗi hạt để có thể mô tả chính xác từng chuyển động riêng rẽ để tìm ra từng bậc năng lượng riêng mỗi hạt. Nếu như vậy ta lấy bài toán N hạt, cuối cùng bài toán quay lại 1 bài toán chuyển động cơ học cổ điển😀.

      • Thuc te la phan kho khan cua viec tach cac toa do nam o so hang tuong tac giua cac hat. Nen khong phai luc nao cung lam duoc dieu nay.

  2. Bổ xung thêm là với \frac{{\sqrt {1 + 4{l^2} + 4l + 4\alpha '}  - 1}}{2} không nguyên, thì ta chỉ chấp nhận giá trị n chẵn.

    • Điều kiện này từ đâu ra bạn có thể giải thích được không?

      • Bình thường khi giải bài toán tiệm cận thì thường chỉ quan tâm đến cut off bậc cao của lũy thừa. Bởi vì nếu lũy thừa trong chuỗi là nguyên thì khi lấy vi phân một chuỗi lũy thừa, số hạng bậc thấp nhất sẽ automatic là mũ 0 và lấy vi phân thêm thì sẽ thành 0. Nhưng trong trường hợp chuỗi lũy thừa có số mũ không nguyên, thì em nghĩ phải tính đến cả cut off ở bậc thấp nữa. Và trong liên hệ của các hệ số, muốn có cut off ở bậc thấp và số mũ là không nguyên thì cần có n chẵn.

      • Gỉa sử bạn cố định l rồi thay đổi \alpha. Chẳng lẽ ở một số giá trị của \alpha, một nửa số trạng thái mất đi, xong rồi lại xuất hiện lại ngay?

      • Hôm nay ở chỗ em mất điện cả ngày, nên giờ em mới reply được. Khi em thử ngẫm nghĩ thêm, thấy rằng điều kiện cho n chẵn áp dụng cho tất cả các giá trị của l\alpha. Vẫn là điều kiện cut off ở bậc thấp, để khi phân tích thành chuỗi, thì số mũ bậc thấp nhất phải thỏa mãn tiệm cận r tiến tới 0. Em cũng thử hỏi tại sao khi giải bài toán nguyên tử Hydrogen lại không thấy nói đến cut off bậc thấp. Và em phát hiện ra là nó được tự động thỏa mãn từ điều kiện hồi quy. Để sao cho số mũ của bậc thấp nhất trong phân tích thành chuỗi phải là l. Từ một bài toán khi nghĩ sâu thêm cũng khá thú vị. Khi đi học em cũng hay thắc mắc và tự trả lời. Ví dụ như em phát hiện công thức 3.136 trong Classical Electrodynamics của Jackson cũng bị lỗi khi tính toán cũng chỉ vì lý do rất tinh tế mà khi trao đổi thì giáo sư cũng khá bất ngờ.

  3. Có ai có nhận xét/bổ sung gì về lời giải của Dung Nguyen không?

  4. Thật sự là đã khá lâu rồi em ko coi lại cơ lượng tử và cũng vì phần hồi đó học ko thật sự hiểu nên cũng quên mất. Cộng với đọc lại trong thời gian khá ưh là ngắn và vật lý hạt chưa từng kinh qua😀 nên em chỉ đưa ra ý kiến theo mình hiểu. Còn của bạn Dung Nguyen thì em chịu ko có nhận xét gì😀. Chỉ thắc mắc ở chỗ mô hình của giáo sư theo 1 chiều nhưng bạn đó lại đưa vào 3 chiều. Theo như em tra lại trên mạng thì các hạt boson là hạt có spin nguyên gồm có các mô hình chuẩn sau:
    + Photon, hạt trung gian trong tương tác điện từ.
    + W và Z boson, hạt trung gian trong lực hạt nhân yếu.
    + 8 gluon, hạt truyền trung gian trong lực hạt nhân mạnh. 6 trong số các gluon được đánh dấu bằng các cặp “màu” và “đối màu” (ví dụ như một hạt gluon mang màu “đỏ” và “đối đỏ”), 2 gluon còn lại là cặp màu được “pha trộn” phức tạp hơn.
    + Higgs boson, hạt gây ra bất đối xứng trong các nhóm gauge, và cũng là loại hạt tạo ra khối lượng quán tính.
    Trong các mô hình trên với bài toán của giáo sư em chọn mô hình các hạt boson W và Z. Với giếng thế năng U’=m(ω^2)(r^2)/2 , U” = α/r^2 và U=U’+U”
    + Ta chọn x1 = 0, x2 = r
    suy ra x1^2 + x2^2 = r^2 và |x1-x2|=r

    + Với p^2/2m=(ћ^2 k^2)/2m
    và (ћ^2 k^2)/2m ψ(x)=-ћ^2/2m (d^2 ψ(x))/dx^2

    + U'(x) = U’ với x Є [-r,0] (region I) hoặc x Є [r,2r] (region III)
    U'(x) = 0 với x = {0, r} (region II)
    Để tưởng tượng ra ta sẽ có 1 hình biểu đồ sóng sin hình vuông với độ rộng của giếng là r, vùng cấm ngoài giếng cũng có độ dài r xen kẽ nhau. Hay giống như vùng cấm và vùng dẫn xen kẽ nhau trong bán dẫn. Nhưng ở đây ta chỉ chọn 1 trục hệ tọa độ 1 chiều có gốc O tại 3 vùng xen kẽ : ngoài giếng, trong giếng và ngoài giếng.
    Với các mức năng lượng của 2 hạt boson chuyển động trong U’ cho nên ta chỉ xét region III và region I
    Ta sẽ có năng lượng Hamilton của hạt thông qua hàm sóng của hạt theo phương trình Schrodinger ko phụ thuộc vào thời gian:
    (d^2 ψ)/(dx^2 ) – [(2m(U – E))/ħ^2 ]ψ=0 (1)
    Đặt G^2 = 2m(U-E)/ħ^2
    Ta viết lại pt Schrodinger
    (d^2 ψ)/(dx^2 ) – G^2ψ=0 (2)
    Từ đó ta sẽ có nghiệm pt
    ψI,III= C e^(Gx) + D e^(-Gx)
    Với x ψI= C e^(Gx)
    Với x>r thì bắt buộc C=0 =>ψIII= D e^(-Gx)
    Với 2 nghiệm như vậy buộc ta sẽ phải đi tìm các hằng số C và D để quay ngược lại tìm E
    Ta sẽ có các điều kiện biên tương ứng với lại nghiệm tổng quát của region II
    ψII = A sin kx + B cos kx
    với k = (2mE/ћ^2)^(1/2)
    Điều kiện biên
    ψI=ψII và dψI/dx = dψII/dx tại x=0
    ψII=ψIII và dψII/dx = dψII/dx tại x=l
    Tại x=0
    Ce^0= A sin0 hay C=B
    đạo hàm bậc 2
    GCe^0= kA cos 0 hay GC=kA
    Tại x= r
    De^(-Gr) = A sin kr + B cos kr
    -GDe^(-Gr) = A cos kr – B sin kr
    Từ các kết quả điều kiện biên đó ta sẽ tìm ra được các hằng số A, B, C, D và mức năng lượng E.
    Phù =.= em thấy mình làm giống như chép sách giáo khoa ra quá :)), đọc lại cơ lượng tử nhức cả đầu. Khi nào ôn lại môn này em sẽ làm bài tập kỹ hơn để hiểu rõ hơn😀.

  5. Le Nhu Minh Tue

    Trong bài có 1 số chỗ thiếu và bị sai em xin sửa chữa lại phần cuối
    + Với x<0 thì ψI= C e^(Gx)
    + Điều kiện biên ψII=ψIII và dψII/dx = dψII/dx tại x=r
    + Đạo hàm bậc 1 chứ ko phải bậc 2

  6. Tôi chưa có thời gian viết đáp án. Các bạn có thể làm tiếp phần 2 tôi mới thêm trong đầu bài.

  7. Mấy hôm mải việc khác quá, hôm nay em xin thử giải nốt phần 2.
    Với phép biến đổi Jacobian (có thể dễ dàng thử lại hệ thức bất định giữa tọa độ và xung lượng mới):
    {{\bf{R}}_1} = ({{\bf{r}}_1} - {{\bf{r}}_2})/\sqrt 2
    {{\bf{R}}_2} = (2{{\bf{r}}_3} - {{\bf{r}}_1} - {{\bf{r}}_2})/\sqrt 6
    {{\bf{R}}_3} = ({{\bf{r}}_3} + {{\bf{r}}_1} + {{\bf{r}}_2})/\sqrt 3
    Ta có thể check:
    {{\bf{P}}_1}^2 + {{\bf{P}}_2}^2 + {{\bf{P}}_3}^2 = {{\bf{p}}_1}^2 + {{\bf{p}}_2}^2 + {{\bf{p}}_3}^2
    và:
    {{\bf{R}}_1}^2 + {{\bf{R}}_2}^2 + {{\bf{R}}_3}^2 = {{\bf{r}}_1}^2 + {{\bf{r}}_2}^2 + {{\bf{r}}_3}^2
    Và khoảng cách giữa cách tương đối giữa các hạt:
    {{\bf{r}}_1} - {{\bf{r}}_2} = \sqrt 2 {{\bf{R}}_1}
    {{\bf{r}}_1} - {{\bf{r}}_3} = \left( {{{\bf{R}}_1} - \sqrt 3 {{\bf{R}}_2}} \right)/\sqrt 2
    {{\bf{r}}_3} - {{\bf{r}}_2} = \left( {{{\bf{R}}_1} + \sqrt 3 {{\bf{R}}_2}} \right)/\sqrt 2
    Ta có thể viết lại Hamiltonian:
    \frac{{{{\bf{P}}_1}^2}}{{2m}} + \frac{{{{\bf{P}}_2}^2}}{{2m}} + \frac{{{{\bf{P}}_3}^2}}{{2m}} + \frac{{m{\omega ^2}}}{2}({{\bf{R}}_1}^2 + {{\bf{R}}_2}^2 + {{\bf{R}}_3}^2) + \frac{{\alpha '}}{{{{\bf{R}}_1}^2}} + \frac{{4\alpha '}}{{{{\left( {{{\bf{R}}_1} - \sqrt 3 {{\bf{R}}_2}} \right)}^2}}} + \frac{{4\alpha '}}{{{{\left( {{{\bf{R}}_1} + \sqrt 3 {{\bf{R}}_2}} \right)}^2}}}

    với
    \alpha ' = \alpha /2
    Ta thu được phần giao động tử điều hòa độc lập của tâm quán tính normalized:
    \frac{{{{\bf{P}}_3}^2}}{{2m}} + \frac{{m{\omega ^2}}}{2}{{\bf{R}}_3}^2
    Năng lượng ở trạng thái cơ bản của phần này là :
    {E_3} = \frac{3}{2}\hbar \omega
    Phần còn lại sẽ là hệ 2 hạt:
    \frac{{{{\bf{P}}_1}^2}}{{2m}} + \frac{{{{\bf{P}}_2}^2}}{{2m}} + \frac{{m{\omega ^2}}}{2}({{\bf{R}}_1}^2 + {{\bf{R}}_2}^2) + \frac{{\alpha '}}{{{{\bf{R}}_1}^2}} + \frac{{4\alpha '}}{{{{\left( {{{\bf{R}}_1} - \sqrt 3 {{\bf{R}}_2}} \right)}^2}}} + \frac{{4\alpha '}}{{{{\left( {{{\bf{R}}_1} + \sqrt 3 {{\bf{R}}_2}} \right)}^2}}}

    Đến đây ta dùng một chút kiến thức của cơ học cổ điển. Với \alpha rất lớn, thì xét các trạng thái cơ bản là dao động nhỏ quanh vị trí cân bằng ( nghĩa là vị trí có thế năng cực tiểu)
    lấy \kappa  = \sqrt 3
    Ta có thể viết lại phần thế năng:
    W = \frac{{\alpha '}}{{{{\bf{R}}_1}^2}} + \frac{{4\alpha '\left( {2{{\bf{R}}_1}^2 + 2{\kappa ^2}{{\bf{R}}_2}^2} \right)}}{{{{\left( {{{\bf{R}}_1}^2 + {\kappa ^2}{{\bf{R}}_2}^2} \right)}^2} - 4{\kappa ^2}{{({{\bf{R}}_1}{{\bf{R}}_2})}^2}}} + \frac{{m{\omega ^2}}}{2}({{\bf{R}}_1}^2 + {{\bf{R}}_2}^2)

    Dễ dàng tìm được ( cũng không trivial, nhưng có thể nhìn được từ công thức thế năng và vài suy luận) cực tiểu thế năng ứng với cấu hình 3 hạt nằm tại 3 đỉnh của một tam giác đều như trong trường hợp cơ cổ điển, khi đó:
    {{\bf{R}}_2} = 0
    và :
    {R_1} = {R_0} = \sqrt[4]{{\frac{{18\alpha '}}{{m{\omega ^2}}}}}

    Thế năng cực tiểu là:
    {W_0} = \sqrt {18\alpha 'm{\omega ^2}}

    \alpha rất lớn , nên khi hạt dao động quanh cấu hình cân bằng, ta có:
    \frac{{{R_1} - {R_0}}}{{{R_0}}} \ll 1
    \frac{{{R_2}}}{{{R_0}}} \ll 1
    Thế nên khi khai triển tọa độ quanh vị trí cân bằng, ta chỉ cẩn quan tâm đến bậc 0 và bậc 2 ( bậc 1 thì đạo hàm bằng 0 để thỏa mãn cực tiểu)
    W = {W_0} + \frac{1}{{2!}}\frac{{{\partial ^2}}}{{\partial {{\bf{R}}_1}^2}}{\left. W \right|_{{{\bf{R}}_2} = 0,{R_1} = {R_0}}}{({R_1} - {R_0})^2} + \frac{1}{{2!}}\frac{{{\partial ^2}}}{{\partial {{\bf{R}}_2}^2}}{\left. W \right|_{{{\bf{R}}_2} = 0,{R_1} = {R_0}}}{R_2}^2
    Ta có:
    W = {W_0} + \frac{{27\alpha '}}{{{R_0}^4}}{({R_1} - {R_0})^2} + \frac{{m{\omega ^2}}}{2}{({R_1} - {R_0})^2} + \frac{{m{\omega ^2}}}{2}{R_2}^2

    Từ đó ta có thể viết lại Hamiltonian của giao động nhỏ:
    \left[ {\frac{{{{\bf{P}}_1}^2}}{{2m}} + \left( {\frac{{27\alpha '}}{{{R_0}^4}} + \frac{{m{\omega ^2}}}{2}} \right){{({R_1} - {R_0})}^2}} \right] + \left[ {\frac{{{{\bf{P}}_2}^2}}{{2m}} + \frac{{m{\omega ^2}}}{2}{R_2}^2} \right] + {W_0}

    Ta cũng thấy phần ứng với {{{\bf{R}}_2}} cũng làm thành một giao động điều hòa với năng lượng ở trạng thái cơ bản:
    {E_2} = \frac{3}{2}\hbar \omega
    Còn lại Hamilton cuối cùng với phương trình trị riêng:
    \left[ {\frac{{{{\bf{P}}_1}^2}}{{2m}} + 2m{\omega ^2}{{({R_1} - {R_0})}^2}} \right]\psi ({{\bf{R}}_1}) = {E_1}\psi ({{\bf{R}}_1})

    Phần còn lại này ta sẽ giải bằng phương pháp tiệm cận và sau đó cũng lấy điều kiện cut off ở bậc cao, khi giải hơi khác so với phần 1 một chút, đó là ở đấy ta có số hạng {{{({R_1} - {R_0})}^2}}, chứ không phải số hạng {{{\bf{R}}_1}^2}. Và ta tìm được năng lượng có dạng
    {E_1} = \hbar \omega (2l + 2k + 3)
    Khi đó trạng thái có năng lượng thấp nhất là:
    {E_1} = 3\hbar \omega
    Và năng lượng ground state của hệ 3 hạt sẽ là:
    E = {E_1} + {E_2} + {E_3} + {{\rm{W}}_0} = 6\hbar \omega  + 3\sqrt {\alpha m{\omega ^2}}

    Nếu công thức không hiện được xin giáo sư sửa giúp em.

    Em đã thử làm bài tập trong tập đề qualify exam của Washington University,
    nhưng chưa có bào nào tốn nháp như bài này.

    • Ý tưởng quan trọng nhất (dùng gần đúng cổ điển) là bạn đã đoán được rồi, còn chi tiết thì tôi chưa kịp xem.
      Thi qualifying giới hạn về thời gian, nên không có những bài nào như thế này.

  8. Bạn có thể share link cho mình download mấy tập đề qualify exam mà bạn có được ko, mình muốn làm thử xem bên đó ra đề như thế nào được ko🙂. Tại mình nghe nói bên đó ra đề khó lắm, ko giống như những cái được học mà pro giảng trên giảng đường mà đề theo kiểu dạng xem sinh viên hiểu bài như thế nào, trí tưởng tượng, sự liên kết giữa các vấn đề ra sao để đưa ra hướng giải quyết . Cám ơn bạn trước ^^.

    • Bạn vào đây http://www.phys.washington.edu/phd_quals.htm, nhấn chuột vào “Archived quals problems (pdf)” để lấy các bài thi cũ về. Các trường khác chắc cũng có các tuyển tập tương tự. Bạn cũng có thể tìm cuốn sách S. Cahn and B. Nadgorny, A guide to physics problems (2 tập), là tuyển tập các bài thi khá hay. Ngoài ra còn có bộ sách của Y.-K. Kim, Problems and Solutions on X trong đó X là đủ các môn (mechanics, electromagnetism, optics, thermodynamics and statistical mechanics, v.v.) rất nhiều bài nhưng ít chọn lọc hơn, và thấy bảo nhiều lời giải trong đó bị sai!

  9. Mình thấy nếu search trên google với từ khóa là qualify exam physics và thêm tên trường vào thì sẽ ra rất nhiều problems archive mà bạn có thể tham khảo.

  10. thưa giáo sư, cho phép cháu được post 1 chút thông tin về khóa học Quantum Mechanics mà cháu đang học ở blog này giáo sư. Hy vọng có thể được giáo sư chỉ dẫn hoặc làm quen được với nhiều bạn học vật lý để discuss.

    http://www.esnips.com/web/QuantumMechanics-SecondYear-LentTerm

    ( Nếu có bạn nào cần thông tin về các courses khác thì cứ bảo mình- mình sẽ up lên share với các bạn . Hiện tại mình đang học năm thứ 2 – khoa vật lý. )

    • It is very good material for undergraduate students. If you have time, I think Sakurai is very useful, I taught myself this book in undergraduate and it was my first challenge. Sorry I am using Linux and I did not install Vietnamese typing tool.

    • I read the handbook for your courses, you have wonderful courses in part III. Your undergraduate program is amazing.

  11. Dear Mr D.Nguyen,

    Thank you very much for your recommendation, but could you please give me in greater detail ?

    I have uploaded for sharing ( if you or others might need ) the complete set of materials of the Electromagnetism course I was taught last term. Here the link is :

    http://www.esnips.com/FoldersAction.ns

    • I’ve read the book in Quantum mechanics of Sakurai, I think it is very useful and interesting in my opinion, however at the time I read this book, I am not good at English, so I actually fight with this book and its problems are really non trivial.

      The undergraduate course in Quantum Mechanics in US may be similar level with your material, I attended one class of professor Sally Seidel at Hanoi but I found that it is not at my level, so I quitted but we still have good connection.

      About the mathematics papers, I’ve just reviewed the problem of IB and II 2010, I think you can find almost similar problems or how to solve them in the book “Method of Mathematical physics” by Michael Stone ( It is the best mathematics book for me in undergraduate ( at that time the book only has draft version), and I still refer it frequently now).

      In your program, I found that you have many courses which are extremely interesting and quite complicate for example Quantum Field Theory and Conformal Quantum Field or General Relativity. They were my dream courses when I was undergraduate however I could not take them in Vietnam.

    • The book of Michael Stone now has name “Mathematics for Physics , A guided Tour for Graduates students”. I think you can find it online. May be it is my favorite Mathematics reference book. I think that is also useful for you.

      • Please also help me with the past-papers which I’m currently doing to prepare for the upcoming exam. I’m getting buried in the workload.

        Here is the link for the Physics past-papers assessing second-year students in addition to Maths IB + II ( general ) exam papers :

        http://www.esnips.com/web/PhysicsPastPapers-Year2-CavendishLab/?refresh=1

        Thanks so much.

      • Sorry, but I am very busy now to prepare for my self study, I just solve problems for fun sometime. However the problems in IA are quite easy in my opinion. The problems in IB and II are more complicate but they are still solvable with reference books but they take time because they need careful calculation. You have time to prepare for the exam, believe in your self and you will do well.

  12. At present, I’m doing the past papers of my Maths course ( http://www.maths.cam.ac.uk/undergrad/nst-pastpapers/ ) to prepare for the upcoming exam. But I don’t know the right answers and solutions. If anyone find it interesting, please join me. I hope we can help each other.

    Dear Professor, if my comments make you feel uncomfortable, please let me know or remove them if necessary.

    • Le Nhu Minh Tue

      Hey, you have me ~_^. However, Could you give me your email and nick yahoo so that it is comfortable for contact and we can study well ?
      My email is conandolley103@yahoo.com . It is also my nick yahoo. Nice to meet you ^^ !

      • Please also help me with the past-papers which I’m currently doing to prepare for the upcoming exam. I’m getting buried in the workload.

        Here is the link for the Physics past-papers assessing second-year students together with Maths exam : http://www.esnips.com/web/PhysicsPastPapers-Year2-CavendishLab/?refresh=1

        Thanks so much.

      • Le Nhu Minh Tue

        Thật sự toán năm 2 của bạn làm mình phải choáng. Năm 1 của bạn thì y chang năm 1 mình từng học (lim, matrix, tích phân 2 3 lớp, chuỗi…)nên khi mới đọc vào mình nghĩ mình có thể làm cùng với bạn. Nhưng năm 2 thực sự quá khác biệt, mình không học sâu và nhiều đến cỡ đó. Mình chỉ học phương trình laplace trong Điện động lực học, hay giải pt vi phân toàn phần 2 biến x,y với các bài tập hay bài thi rất đơn giản. Hi vọng bạn quen được 1 sinh viên năm trên hoặc nhờ 1 nghiên cứu sinh từ trường bạn giúp đỡ thêm. Tháng 6 bạn mới thi nên bạn cũng đừng lo lắng quá. Mình phải kiếm sách đọc thêm rất nhiều may ra mới giải cùng bạn được. Mong bạn ko thất vọng ^^!.

  13. Hi,
    Thanks all. My email is hmtn2@cam.ac.uk. I have ONLY ONE exam – consisting of SIX 3-hours exam papers this June. My uni neither allows students to resit any papers they fail (i.e không có khái niệm thi lại ) nor gives them a second chance to retake the whole year ( i.e không có khái niệm học lại ). Hence if I fail the exam, I will be definitely kicked out. At present, I am really stressed because I find it so hard for me. To conplete the exam question within a very limited time, I realize I have to memorize ( learn by heart ) all the formulae so that I can manage to write down as fast as possible. But I am wrestling with this overwhelming work and fear that I will fail because everything will be cramped and examined at the same time. But I feel much better now when I have learnt that there are still people who I can talk to and discuss with. Thanks again. Please don’t hesitate to get in touch with me🙂

  14. @ bạn Tuệ : bạn đừng nghĩ thế. không phải cứ sinh viên Cambridge là giỏi đâu. thậm chí nhiều sv ở đây còn thua nhiều sv ở vn – mình là 1 minh chứng không thể chối cãi. chỉ có điều khoá học của mình ở đây quá intense ( với mình là như vậy – mình tiếp thu chậm ). thực ra mình cần giúp đỡ về vật lý hơn toán- thế nên bạn giúp mình về vật lý nhé !🙂

  15. Chào anh a!Em đang làm khóa luận tốt nghiệp về Giá trị trung bình của các đại lượng vật lí trong cơ học lượng tử.Cái phần giá trị trung bình của toán tử có phổ liên tục sao mà hiếm bài tập thế!Anh giúp em được không a?Cám ơn anh nhìu!Ah,nếu có file thì anh gủi cho em theo email Hatnangvotu90@gmail.com nha!Chuc anh lun vui và thành công trong cuộc sống nha!^^

  16. Chào bạn Hương, mình là Thu, đang học năm 2 ngành Vật Lý ở University of Melbourne. Mình cũng muốn làm quen với bạn, hy vọng có thể trao đổi bài vở cùng với bạn. bạn có thể gửi mail qua địa chỉ của mình là joni.phamle@gmail.com, hoặc autumleaves148@yahoo.com (nick chat yahoo và account facebook luôn).
    —–
    Xin lỗi giáo sư vì em không thấy email của bạn Hương nên đành post trả lời ở đây, làm loãng topic của thầy. Em rất ngưỡng mộ thầy và thấy các entry của thầy rất bổ ích, tuy rằng phần nhiều là em chưa đủ kiến thức để hiểu. Em chúc thầy sức khỏe và thêm nhiều công trình nghiên cứu về String theory.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s