Hai bài toán về đa diện

Người ta thường nói: toán học là công cụ cho vật lý. Nhưng đôi khi lại ngược lại, vật lý giúp chúng ta giải một số bài toán nhất định. Mời các bạn giải thử hai bài sau.

1. Ta lấy một đa diện lồi và chọn một điểm A nằm bên trong đa diện đó. Ta kẻ đường vuông góc từ A xuống các mặt của đa diện. Đôi khi chân đường vuông góc nằm ngoài mặt của đa diện, như hình dưới đây:

Có tồn tại một đa diện lồi và một điểm A nằm bên trong nó sao cho chân tất cả các đường vuông góc kẻ từ A xuống các mặt của đa diện đều nằm bên ngoài mặt đó không?

2. Lấy một hình đa diện. Từ mỗi mặt của đa diện ta dựng một véctơ vuông góc với mặt đó, hướng ra ngoài, với độ dài (tính bằng cm) bằng diện tích của mặt (tính bằng cm2), ví dụ như các véctơ \vec n_1, \vec n_2 dưới đây.

Chứng minh tổng tất cả các véctơ này bằng 0.

33 responses to “Hai bài toán về đa diện

  1. Em không biết giáo sư kiếm được những câu rất độc này ở đâu. Khi đọc đề bài em cảm thấy rất hào hứng. Nếu có thể giáo sư có thể giới thiệu tên sách hoặc tạp chí (nếu có ). Em cũng muốn phổ biến cách suy nghĩ độc đáo này cho nhiều bạn khác.

    Còn về phần câu hỏi thì có lẽ là rất thú vị với người đã học vật lý. Em thử trả lời xem sao.

    Ở câu 1 thì câu trả lời chắc là không có rồi, vì nếu tồn tại điều đó, ta đặt ở A một khối lượng điểm rất nặng so với khối lượng của đa diện, trọng tâm của hệ giờ sẽ nằm ở điểm A. Nếu có điểm A thỏa mãn yêu cầu thì ta sẽ kiếm được một vật thể không thể có cân bằng và vật sẽ đổ liên tục. Nếu coi mỗi lần đổ của vật xuống sàn có sinh ra việc giảm thế năng ( giảm thế năng này không thể là vô cùng nhỏ vì nó tỷ lệ với kích thước của vật) và giảm độ cao của trọng tâm, thì vật sẽ giảm độ cao của trọng tâm đến âm vô cùng , điều này hoàn toàn không chấp nhận được nếu coi độ cao thấp nhất có thể có của trọng tâm chỉ có thể là mặt nằm ngang.

    Còn ở câu hỏi thứ 2, thì ta giả sử khối đa diện là bằng khung rỗng với kích thước các cạnh có thể bỏ qua. Nhúng vái khung này vào trong một dòng chảy đều theo phương X, ta biết rằng dòng “đi vào” khối đa diện này sẽ bằng dòng “đi ra” ( ở trong khối đa diện không có nguồn) . Nếu ta coi dòng “đi vào” chính là dòng đi ra nhưng mang dấu âm. Thì tổng dòng “đi ra” đại số sẽ bằng 0. Và dòng “đi ra” đại số này tỉ lệ với tổng các vector “n” ở trên chiếu theo phương X. Do đó hình chiếu của tổng các vector “n” chiếu theo phương X bằng 0. Tương tự với phương Y và Z, ta có thể kết luận là tổng vector này bằng 0. Chắc là còn nhiều cách giải nữa, ví dụ như là đặt cái khung này trong điện trường đều chẳng hạn, nhưng có lẽ sẽ cùng dùng đến đính lý Gauss.

    • Lời giải cả hai bài đều đúng, nhưng bài 2 có cách giải nào đơn giản hơn không?

      Hai bài này là tôi nghĩ ra. Nếu bạn thích những bài kiểu này, bạn tìm đọc cuốn sách của Mark Levi, The Mathematical Mechanic: Using Physical Reasoning to Solve Problems. Trong cuốn này có nhiều thứ hay, ví dụ như chứng minh định lý Pytago bằng cơ học chất lỏng, hay chứng minh một số bất đẳng thức bằng mạch điện. Tôi thích nhất trong quyển đó là một cách chứng minh định lý Pappus bằng vật lý, và một định lý về vết xe đạp (xem đoạn cuối của posting này của HT THT, nhưng nên tự suy nghĩ mà không đọc lời giải ngay.)

      • Cảm ơn giáo sư đã nhắc nhở, đúng là có cách giả ngắn hơn thật. Giả sử nhúng khối hộp vào chất lỏng có độ sâu L rất lớn so với kích thước của khối hộp. Nếu tổng các vector “n” khác 0 thì ta sẽ có tổng hợp áp lực của chất lỏng lên khối hộp là rất lớn. Và dĩ nhiên là khối hộp sẽ chuyển động lung tung, một điều khó tin.

      • Hơn nữa với cách tiếp cận này còn cho chúng ta thêm một điều nữa là tổng mô men của áp lực cũng bằng 0 ( để khối hộp không tự quay cho ta động cơ vĩnh cửu và còn trái với nguyên lý của nhiệt đông lực học ). Em nghĩ là điều này còn rút ra thêm được kết luận khác nữa về tính hình học của khối hộp nhưng hiện tại em vẫn chưa clear được đó là gì.

      • Nếu như em đoán mò không lầm, thì các đường vuông góc với trọng tâm của mỗi mặt đa diện sẽ đi qua 1 điểm. Điều này có vẻ hơi kỳ lạ nếu nó là tổng quát cho mọi đa diện.

      • Em vừa check lại cẩn thận thấy kết luận trên không đúng, nhưng em vẫn băn khoăn là hẳn phải có gì đó đặc biệt.

  2. Điều kiện “hướng ra ngoài” của phần 2 có nghĩa là đa diện này xác định ra “phần trong” và “phần ngoài”, phải không ạ? Nếu chỉ coi đa diện là một hình được xác định bởi một số đỉnh, cạnh và mặt thì bài toán 2 không đúng nữa rồi. (Chẳng hạn lấy một hình lập phương rồi kéo dài một mặt ra thêm gấp 2, không thay đổi các mặt khác.) Vì thế cách giải bằng vật lý cũng đi đôi với các định nghĩa và sự kiểm chứng theo tiêu chuẩn vật lý; còn một chứng minh kiểu toán học thì rốt cuộc sẽ phải sử dụng các định nghĩa và tiêu chuẩn chứng minh kiểu toán học.

    • Đa diện là một hình khối được giới hạn bởi các đa giác phẳng. Không thể làm một mặt hình lập phương to lên gấp đôi mà không thay đổi các mặt khác, nếu các mặt đều phẳng.

  3. Le Nhu Minh Tue

    Câu 2 : Hình đa diện với các mặt nhỏ bằng nhau giới hạn tới 0. Khi nhìn ta sẽ thấy nó giống như 1 hình cầu tròn. Khi đó các vecto n sẽ đối xứng nhau từng đôi một qua tâm O của hình cầu. Khi đó tổng vecto n sẽ bằng 0.
    Ví dụ trong vật lý: 1 hình cầu được tích điện ở bề mặt ta sẽ thấy bên trong nó sẽ ko có điện trường do các véc tờ điện trường bị triệt tiêu.

    Câu 1: Muốn để có 1 chân đường vuông góc nằm ngoài 1 mặt đa giác cho sẵn thì điểm chiếu phải nằm ngoài hình trụ có hình như mặt cho sẵn. Tức xét hệ tọa độ trục đơn giản 2 chiều OXY ,mặt đa giác đó là 1 đường thẳng nằm trên đoạn ab còn điểm chiếu phải nằm ngoài đường thẳng ab có thể lớn hơn b hoặc nhỏ hơn a. Còn điểm A có tọa độ (x,y) với y khác 0. Khi đó ta sẽ loại bỏ các hình giao nhau của các trụ chứa các mặt phẳng đa giác đó, ta sẽ được điểm A nhưng trên thực tế nếu các mặt đa giác càng nhỏ , giới hạn tới o ta sẽ thấy hình đa giác đó cũng sẽ là hình cầu tròn với các mặt sẽ có các trụ chứa nó giao nhau tại tâm O của hình tròn. Vì vậy không thể tồn tại 1 giả thuyết đã đặt ra.

  4. Câu hỏi thứ nhất chắc là không tồn tại rồi phải không thưa giáo sư ^_^. Em nghĩ vội thế này, chẳng hạn điểm A đó nó “phồng to” lên thành một hình cầu với bán kính tăng dần thì kiểu gì “quả bóng” này cũng sẽ “chạm” vào một mặt nào đó của đa diện lồi.

    Câu hai em không lầm thì nó là định lý “con nhím” phải không ạ, ngày xưa em có đọc báo toán học tuổi trẻ thấy có định lý gần gần thế này ^-^

    • Bài 1 giải quyết như vậy là đúng (một cách giải khác của Dung Nguyen ở trên). Điểm hình cầu chạm vào mặt sẽ là chân của đường cao.

      Tôi không biết bài 2 có liên quan gì đến con nhím không, nếu liên quan nó phải là con nhím đang xù lông. Có một định lý là “không chải mượt được con nhím”, nhưng không liên quan đến bài này.

      • Bài 2 em nghĩ thế này, chia đa diện thành các tứ diện rồi chỉ cần chứng minh cho trường hợp tứ diện là xong. Với tứ diện ta xét một cạnh bất kỳ và tiếp tục chia tứ diện đó thành các tứ diện nhỏ hơn bởi các “nhát cắt” chứa cạnh này, cũng như trên, chỉ cần xét bài toán với các tứ diện nhỏ (về thể tích) này, nhưng một tứ diện nhỏ như thế sẽ có diện tích hai mặt dần về 0 và hai mặt gần bằng nhau nên khi đưa về giới hạn thì kết luận của bài toán là đúng. Bài toán đúng cho các tứ diện nhỏ sẽ suy ra đúng trong trường hợp tổng quát.

  5. Em tham, “cắt xé” nhiều quá nên sai rồi hì hì.

  6. Cám ơn các bạn đã đóng góp. Như vậy, lời giải hai bài như sau.

    Bài 1: Không thể có một hình như vậy. Nếu có, ta làm một hình đa diện bằng bọt biển, nhồi vào chỗ điểm A một cục chì nặng. Trọng tâm của hình bây giờ ở điểm A. Đặt hình đó xuống đất, nó sẽ lăn mãi, điều đó không thể có được.

    Bài 2: Làm một hình đa diện rỗng, vỏ mỏng, bằng kim loại chẳng hạn. Bơm khí nén vào trong lên một áp suất cao rồi hàn kín lại. Khí nén bên trong tác động lên mỗi mặt của đa diện một lực tỉ lệ thuận với véctơ \vec n của mặt đấy. Nhưng ta biết, một vật chứa khí nén bên trong không tự chuyển động được, do đó lực tổng cộng bằng 0, tức là tổng các véctơ \vec n bằng không.

  7. cháu không hiểu lắm về bài comment đầu tiên của anh dung nguyen
    bởi kể cả mỗi lần nó “lăn” thì nhỡ vẫn có trường hợp là trọng tâm chỉ hạ xuống 1 độ cao rất nhỏ thì sao ạ
    vả lại : cộng vô cùng các số vô cùng nhỏ thì cũng chưa biết được kết quả bằng bao nhiêu
    cũng có thể vô cùng đó là khi trọng tâm nằm sát mặt đất hoặc 1 độ cao nào đó rất nhỏ so với mặt đất

    • Mình xin lỗi nếu làm bạn khó hiểu, chẳng qua chỉ là một mẹo vặt của mình thôi. Mỗi lần đổ, độ cao trọng tâm phải giảm một đoạn nhất định tỉ lệ với kích thước. Và vì kích thước là hữu hạn, nên sự giảm độ cao trọng tâm trong các lần đổ phải ít nhất lớn hơn một giá trị hữu hạn nhất định là h>0 ( khác 0). Nếu sau N lần đổ thì độ giảm độ cao trọng tâm phải lớn hơn Nxh. Vì h>0 nên ta có thể hoàn toàn chọn N>>1/h. Lúc đó độ giảm độ cao trọng tâm là Nxh>>1. ( Nghĩa là ta có thể có số lần đổ để độ giảm độ cao của trọng tâm là lớn tùy ý)

    • Tung Bui: hình đa điện bao giờ cũng chỉ có một số lượng hữu hạn các mặt, nó không thể lăn vô hạn lần mà lần nào trọng tâm cũng hạ xuống được.

      • à cháu hiểu rồi ạ
        cháu cũng có 1 lời giải cho bài 2 là thế này : ta chia nhỏ khối đa diện thành các hình lập phương . Vì Vậy nên mỗi vecto đều có tổng bằng 0 sau đó tính tổng các vecto của các khối lập phương nhỏ đó lại ,thì các khối lập phương có chung 1 mặt thì có 2 vecto bằng nhau về độ lớn nhưng ngược chiều nên tự triệt tiêu cho nhau nên suy ra điều phải chứng minh
        cách đó có đúng không hả bác ?

  8. Lời giải của GS hay quá, một học sinh kém môn Lý như tôi cũng hiểu được🙂
    Tôi xin đóng góp thêm lời giải cho câu 2, không đặc sắc lắm nhưng thuần túy Toán. Mỗi một đa diện dều có thể được triangulate bằng các hình tứ diện. Trong một triangulation như thế, phần chung của hai tứ diện bất kỳ chỉ có thể là một mặt. Do đó nếu cộng tất cả các tổng vec-tơ n_i của tấc cả các tứ diện trong một triangulation, kết quả sẽ là tổng các vec-tơ n_i cho đa diện ban đầu (vec-tơ của các mặt “bên trong” triệt tiêu lẫn nhau). Vì vậy, nếu ta có thể chứng minh mệnh đề cho tứ diện thì ta sẽ có mệnh đề cho đa diện bất kỳ.

    Giả sử ABCD là một tứ diện bất kỳ. Đặt e_1, e_2, e_3 là các vec-tơ AB, AC, AD (gốc là A và đầu là B,C,D). Các vec-tơ cho các mặt chứa điểm Ae_1\times e_2, e_2\times e_3, e_3\times e_1 (cross product). Vec-tơ cho mặt còn lại là (e_3-e_1)\times (e_2-e_1). Tổng các vec-tơ này là 0.

  9. Một lời giải khác cho câu 2. Gọi đa diện là P và tổng các vecto n_i là S. Để chứng minh S = 0, ta chỉ cần chứng minh dot product của S với các vecto đơn vị i = (1,0,0), j = (0,1,0), k = (0,0,1) (tướng ứng với các trục tọa độ x,y,z) là 0. Giả sử n_i là vecto của mặt P_i của P. Ta có |n_i\circ i| = diện tích của hình chiếu vuông góc của P_i xuống mặt phẳng tọa độ yz. Vì hình chiếu của tất cả các mặt mà n_i\circ i > 0 trùng với hình chiếu của tất cả các mặt mà n_i\circ i < 0,
    ta suy ra S\circ i = 0. Tương tự, hai dot product kia cũng bằng 0.

  10. Bác cho cháu hỏi người máy ASIMO hoạt động như thế nào ạ?. Cháu hỏi ai cũng không biết, google tiếng việt cũng không có kết quả thuyết phục.

  11. Trong cuốn sách “The Mathematical Mechanic: Using Physical Reasoning to Solve Problems” giáo sư có nói “chứng minh định lý Pytago bằng cơ học chất lỏng, hay chứng minh một số bất đẳng thức bằng mạch điện. Tôi thích nhất trong quyển đó là một cách chứng minh định lý Pappus bằng vật lý”.

    Em băn khoăn một điều là những cách giải trong cuốn sách có mang tính chất quy nạp không, nghĩa là những giả thuyết vật lý dùng để chứng minh, có trực tiếp hoặc gián tiếp sử dụng điều cần phải chứng minh không.

    Ví dụ dùng định lý vật lý A để chứng minh định lý toán học B, nhưng để chứng minh được A thì phải dùng giả thuyết C chẳng hạn, trong khi để chứng minh được C lại cần đến B.

    • Bạn đọc thử xem thấy thế nào. Theo tôi thì cách chứng minh định lý Pytago trong cuốn đó không phải là một cách chứng minh như toán học đòi hỏi, vì nó dựa vào những kiến thức vật lý mà bản thân những kiến thức này có thể có dựa vào định lý Pytago (một cách trực tiếp hoặc gián tiếp). Nhưng cách chứng minh định lý Pappus trong cuốn sách đấy thì rất không tầm thường và theo tôi có thể coi (hoặc có thể biến thành) một cách chứng minh toán học chặt chẽ.

      • Ở định luật Pappus cho thể tích thì em nghĩ giống trong sách, còn định lý Pappus cho diện tích thì em dùng sức căng mặt ngoài của chất lỏng, sao đó đọc lại lời giải thì mới thấy là mình ngốc vì nó được suy trực tiếp từ định lý Pappus cho thể tích.

    • Bản thân em nghĩ quyển sách rất hay, mặc dù chứng minh bằng vật lý có lúc không được hoàn toàn chặt chẽ như toán học nhưng mỗi lần tự giải cũng như thưởng thức một cốc cafe ngon.

  12. I have a friend (Tadashi Tokieda, Cambridge, UK). When he was in Vietnam he gave a lecture about how to use mechanics to solve math problems similar to the ones posed by Prof Son🙂

  13. Son oi,

    The second problem is the easy part of Minkowski’s Theorem (circa 1895), the other part is the converse:
    “Suppose n_1, n_2,…, n_k are distinct, not co-planar vectors (in R^3) such that n_1 + n_2 +… + n_k =0, then there is a closed convex polyhedron such that n_j is the outward face vector of the j-th facet.”

    (See the book “Convex polyhedra”)
    By Aleksandr Danilovich Aleksandrov

    Hinh nhu co ca “uniqueness”, nhung anh ko nho ro.

    Tinh co nhin thay blog cua Son nen ghe tham.

    Best
    Anh Thang

  14. Đúng là viết blog học hỏi được nhiều điều. Cám ơn anh Thắng. Cách chứng minh định lý Minkowski trong cuốn sách của Aleksandrov dựa vào maximization. Không biết có cách nào chứng minh bằng cơ học được không? Tôi đã nghĩ thứ nhưng có vẻ không đơn giản lắm…

  15. Bác Sơn phải treo giải thì mới có người làm chứ😀

    Tôi thử “chứng minh cơ học” nhé:

    lấy một “cục bột nhão” (tức là chất lỏng incompressible về thể tích, nhưng có thể ép thành hình gì cũng được), nén nó lại từ các phía: mỗi phía là theo hướng của 1 vector trong bộ, với lực bằng cái độ dài vector. Cứ tưởng tượng là từ mỗi hướng nén theo toàn bộ cái mặt phẳng (tức là cục bột chỉ được nằm ở 1/2 không gian chặn bởi mặt phẳng), và các mặt cắt nhau thoải mái (nén vào không khí thì không tốn lực, nén vào bột mới tốn lực thôi). Sau một hồi nén thì cục bột sẽ ở vào vị trí cân bằng . Trạng thái cân bằng chính là đa diện cần tìm. Đại loại ý tưởng như vậy, nhưng còn phải chứng minh là nó về cân bằng😀

    • Em cũng có ý nghĩ tương tự giáo sư Zũng, nhưng rồi nghĩ thêm thì em cảm thấy không được khả thi, vì vài điểm. Thứ nhất là muốn transform từ lực sang áp suất thì các mặt phẳng phải cứng, nên cái chỗ cắt nhau thoải mái thì không biết giải quyết thế nào. Thứ hai là lực tác dụng bao gồm giá của lực là thứ chưa xác định. Tổng hợp lực có thể bằng 0, nhưng tổng momen lực thì có thể khác 0 nên chưa chắc đã cân bằng. Nếu ta chọn giá của lực trước để có cân bằng momen lực ngay từ đầu thì có thể mâu thuẫn với tính uniqueness.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s