Cắt miếng bánh

Hãy cắt miếng bánh trên thành 2 miếng có thể tích bằng nhau sao cho mặt cắt có diện tích nhỏ nhất.

About these ads

28 responses to “Cắt miếng bánh

  1. Lấy trung điểm của 2 cạnh tam giác ở 2 mặt đáy, đường cần cắt là đường nối 2 trung điểm =))

  2. Không có lời giải chính xác. Chỉ có phương pháp tính dựa trên miếng bánh cụ thể (độ lớn của các cạnh, đường).
    Có thể cắt theo phương thẳng đứng song song với cạnh đáy (cạnh nhỏ nhất). Hoặc cắt theo phương nằm ngang, tất nhiên là đi qua trung điểm của đường cao miếng bánh. :D Keeeee.

    • Cho đơn giản, đầu tiên ta xét trường hợp bánh 2 chiều. Coi miếng bánh là một tam giác cân, tìm đường cắt tam giác này thành 2 mảnh có cùng diện tích sao cho nó có độ dài nhỏ nhất.

  3. Nếu miếng bánh 2 chiều thì đường này sẽ là 1 đường thẳng đi qua trọng tâm (giao của 3 đường trung tuyến) và song song với cạnh đáy của tam giác cân phải ko ạ?

  4. Ta chỉ xét các đường thẳng thì theo em:
    Ta có thể hạn chế lại các đường thẳng cần xét bằng một tam giác con tạo bởi ba đường song song ba cạnh thỏa mãn yêu cầu câu hỏi. Mọi điểm nằm trong tam giác đó có ít nhất 1 đường thẳng thỏa mãn đi qua. Các đường không đi qua điểm nào trong tam giác đó không thỏa mãn.

    Bài toán này nhất định có 2 trường hợp:

    Trường hợp 1: Góc đỉnh đủ nhỏ thì đường thỏa mãn rất có thể là đường song song với cạnh đáy.

    Trường hợp 2: Góc đỉnh đủ lớn, thì đường thỏa mãn lại là đường cao từ đỉnh tam giác cân.

    Trường hợp 3: Góc nằm trong khoảng còn lại, thì là một trong hai trường hợp trên hoặc cả hai đều đúng.

  5. Gợi ý: đường cắt không nhất thiết là đường thẳng.

    • Ồ quả là nham hiểm. Đề bài là cắt miếng bánh nên ngay lập tức não bộ focus vào việc cắt bánh dùng dao, tức là đường thẳng, và ai cũng nghĩ đoạn thẳng vốn là ngắn hơn so với đường cong. Vậy nên khi chuyển sang 2 chiều đã tự bó hẹp không gian của chính mình. May quá giáo sư nhắc nhở.

      Nếu vậy khi chuyển sang 3 chiều có khả năng sẽ là một đường uốn éo chăng?

  6. Bác Sơn bây giờ nghiên cứu cực đại cực tiểu à
    Bài toán trên khó nhăn răng :D

    Để tôi đoán mò nhé: dùng phương pháp biến phân, xác định góc ở biên ra sao. Có thể phải là góc 90 độ. Nếu thế thì cắt theo cung tròn (với tâm là đỉnh nhọn của cái bánh) có vẻ hợp lý trong trường hợp 2 chiều. 3 chiều thì còn xem bánh cao bao nhiêu nữa. Cao quá thì ta cắt theo mặt ngang (chia nửa chiều cao) có vẻ gọn hơn

    Nhân tiện nhớ ra, là có quyển sách của Tikhomirov về “các bài toán cực đại cực tiểu” cho học sinh cấp 3 và sv viết quãng những năm 1990 (?) rất hay, nếu có ai dịch được sang tiếng Việt thì tốt (sách có thể tìm trên mạng)

  7. Theo em,

    Nếu góc \alpha nhỏ hơn \sqrt{2}, cắt đường vòng cung, tâm là tâm bánh, bán kính là 1/\sqrt{2} R; diện tích mặt cắt sẽ xấp xỉ \alpha/\sqrt{2} R h

    Nếu \alpha lớn hơn \sqrt{2} thì cắt thẳng từ tâm bánh ra, diện tích mặt cắt sẽ là R h.

    Còn nếu cái bánh quá cao, h lớn hơn \alpha/2 R thì mình cắt ngang cái bánh; diện tích mặt cắt sẽ là \alpha/2 R^2

  8. Tôi vừa tính thử cung tròn, thấy nó … hơi bị dài
    Vuông góc với cạnh thì ok OK, nhưng có vẻ là đường méo :D

  9. À không, tôi xin lỗi là ví dụ tôi tính bị sai, sau khi tính lại thì thấy cung tròn vẫn ngắn hơn mấy đường khác :D

    • Bác Dũng, (em học kém bác mười mấy khóa ở MGU ạ)

      Nếu mình không tự nghĩ ra các trường hợp biên để thử (ví dụ cắt ngang, cắt dọc, cắt chéo, etc.) thì form bài toán thành một bài toán thuần optimization (convex) thế nào ạ?

  10. GS có thể giới thiệu công cụ cần thiết để làm vấn đề này không? Nếu cắt theo đường cong(mặt cong) thì em chẳng biết phải dùng công cụ nào cả.

  11. Pingback: Bài toán chia đất « ZetaMu

  12. Với miếng bánh là hình tam giác, theo em thì có thể dùng định lý hàm số cosin để chứng minh nếu cắt theo đường thẳng thì nên cắt sao cho miếng bánh cắt ra là một tam giác cân có đỉnh là một đỉnh của tam giác. Có thể chứng minh tiếp là cách cắt đường thẳng luôn kém cách cắt theo cung tròn với tâm là đỉnh tương ứng của tam giác. Nhận xét tiếp theo là giới hạn cắt theo đường thẳng hay cắt theo cung tròn thì tốt nhất là chọn đỉnh tương ứng với góc nhỏ nhất.

    Xét một đường cắt bất kỳ đi qua 2 cạnh của tam giác. Chia hình bị cắt thành vô số hình nhỏ bằng các đường thẳng đi qua đỉnh của tam giác. Các hình nhỏ có thể xem là các tam giác rất nhỏ có 1 đỉnh là đỉnh của tam giác lớn, với công thức tính diện tích hình tam giác nhỏ ta thấy là cạnh đáy của hình tam giác nhỏ nên vuông góc với đường đường thẳng đi qua đỉnh tam giác lớn. Tiệm cận khi số tam giác nhỏ tiến tới vô cùng, đường cắt sẽ là một cung tròn.

    Có thể dùng vật lý để nghịch với bài toán tìm hình phẳng có diện tích nhỏ nhất với chu vi xác định bằng cách đặt một sợi chỉ nối 2 đầu vào màng xà phòng rồi đục một lỗ trên màng xà phòng bên trong sợi chỉ. Vật lý nói rằng kết quả co dãn của màng xà phòng sẽ làm lỗ hổng bên trong sợi chỉ có diện tích lớn nhất để cho thế năng của phần còn lại của màng xà phòng là nhỏ nhất. Và hiện tượng quan sát được là sợi chỉ sẽ có hình tròn.

    Nhờ vật lý khi thổi bóng, hoặc là bọt khí trong nước ta cũng biết hình có thể tích lớn nhất với cùng diện tích bề mặt là hình cầu.

    Qua đó ta có thể chứng minh tương tự là nếu xét miếng bánh có chiều cao nữa thì nếu cắt qua 3 mặt của một đỉnh thì nên cắt sao cho miếng cắt ra là một phần của hình cầu. Nhưng cũng có thể chứng mình là cách này không tối ưu ( Cần tí chút về góc khối) so với 2 cách sau.

    Xét cách cắt tối ưu khi đi qua 2 mặt đáy và 2 mặt bên dùng mẹo vật lý là mặt cắt nên đối xứng đối với mặt phẳng khi cắt đôi chiều cao bánh, tiếp tục lý luận tương tự khi cắt bánh làm 4 , 8 , 16 phần bằng nhau với cách cắt ngang chiều cao bánh, ta thấy mặt cắt tối ưu khi đi qua 2 mặt đáy và 2 mặt bên là cắt là một phần hình trụ song song song với chiều cao của bánh.

    Cách cuối cùng là cắt ngang chiều cao của bánh.

    Với kích thước cụ thể thì ta tính toán và chọn một trong 2 cách cuối cùng.

  13. Em tưởng tượng một thí nghiệm như sau: cho 2 chất lỏng A và B có hệ số bề mặt (surface tension) đủ lớn để lực trọng trường trở nên không đáng kể so với lực căng bề mặt. Chế tạo một cái hộp rỗng thỏa mãn 2 điều kiện sau: 1, hình dáng kích thước giống hệt cái bánh; 2, hệ số bề mặt của hộp đối với 2 chất lỏng trên là vô cùng nhỏ. Sau đó đổ 2 chất lỏng vào hộp, mỗi thứ một lượng bằng 1/2 thể tích hộp.

    Một hệ như thế này thì thế năng của nó chỉ phụ thuộc vào diện tích tiếp xúc giữa 2 chất lỏng. Hệ sẽ cân bằng khi thế năng nhỏ nhất, nghĩa là diện tích tiếp xúc nhỏ nhất.

    Kết luận: Bề mặt tiếp xúc giữa 2 chất lỏng là mặt cắt cần tìm (^_^).

  14. Lời giải 1:

    Nếu miếng bánh được chia từ một chiếc bánh, và chia đều, thì góc ở đỉnh là 2\pi/n, n là số nguyên. Lấy ví dụ n=8. Ta có thể thấy cách chia bánh bằng một đường thẳng không thể là tối ưu, nếu ta chia cả 8 miếng bánh và xếp lại như sau:

    8 vết cắt xếp lại thành một hình có diện tích bằng 1/2 diện tích chiếc bánh. Nhưng hình bát giác không phải là hình có chu vi nhỏ nhất trong các hình có cùng diện tích: hình có chu vi nhỏ nhất là hình tròn. Do đó cách cắt bánh tối ưu là theo một cung tròn có tâm ở đỉnh bánh.

  15. Lời giải của anh Đàm Thanh Sơn hay nhưng có 2 hạn chế nho nhỏ:
    -Một là lời giải chỉ áp dụng cho trường hợp góc ở đỉnh bánh bằng 2pi/n
    -Hai là lời giải thiếu chặt chẽ vì chưa chứng minh được 2 cạnh cắt có chiều dài bằng nhau. Nếu vậy, khi nối N miếng bánh với nhau không thể tạo ra đa giác để áp dụng kết quả hình học có sẵn.
    Việc chứng minh 2 cạnh của miếng cắt bằng nhau có thể chứng minh dễ dàng (tham khảo dưới đây) từ tập hợp của các điểm nhìn một đoạn thẳng cho trước dưới một góc không đổi (là một đường tròn).
    Sau đây là lời giải hình học sơ cấp cho trường hợp tổng quát và giả thiết góc ở đỉnh là khá nhọn. Trước khi đi vào lời giải, phải nói rằng đề ra vẫn còn chưa thức sự rõ ràng (ill-posed). Đề bài chỉ dựa vào một bức ảnh của một miếng bánh và do vậy người giải sẽ thừa nhận góc ở đỉnh là góc khá nhọn. Khi góc ở đỉnh là góc lớn hơn căn bậc hai của 2 (nghĩa là vào khoảng 81 độ) thì lời giải của anh không còn đúng nữa. Trong trường hợp này, cách cắt đi qua đỉnh miếng bánh hiệu quả hơn.
    Lời giải hình học sơ cấp:
    Đây là một biến dạng của một bài toán ở bậc phổ thông về đặc tính của hình tròn hay hình cầu. Đại loại là
    - Trong các hình có cùng chu vi, hình tròn có diện tích lớn nhất
    - Trong các khối có cùng diện tích mặt, hình cầu có thể tích lớn nhất.

    Bài toán của anh Đàm Thanh Sơn đưa ra (trong trường hợp 2 chiều cho đơn giản) có thể chuyển thành trong các đường cắt có cùng chiều dài, đường cắt tròn cho diện tích (tạo bởi 2 cạnh và đường cắt) lớn nhất. Chứng minh điều này có thể hoàn toàn bằng phương pháp suy luận. Chia đường cắt từ cạnh này sang cạnh kia thành N phần nhỏ, để có thể xấp xỉ mỗi đoạn là thẳng. Như vậy diện tích bằng tổng diện tích của N tam giác. Có thể modify cách chứng minh của hình tròn vào trường hợp cung tròn. Ta chứng minh theo các bước tuần tự như sau:

    -Chứng minh rằng nửa miếng bánh cắt ra fải là hỉnh lồi (tiêng Anh gọi là convex). Cài này dùng phản chứng, lấy 2 tam giác liền nhau của góc >180 độ. Tạo 2 tam giác mới có 2 cạnh đáy cùng chiếu dài, nhưng tổng diện tích lớn hơn.

    -Chứng minh rằng cạnh đấy của các tam giác con phải bẳng nhau. Lại dùng phản chứng tiếp (dùng định nghĩa của hình elíp là tập hợp của các diểm có tổng khoảng cách đến 2 tâm không đổi). Hoặc đơn giản hơn lúc chia N đoạn bằng nhau.

    -Chứng minh tổng 2 góc trong kể nhau của bất cứ 2 tam giác con kề nhau phải bằng nhau. Để chứng minh điều nằy, ta chứng minh vói một hình tứ giác có một cạnh cố định và 3 cạnh kia bằng nhau thì 2 góc trong tương ứng với 3 cạnh bằng nhau fải bằng nhau. Đơn giản nhất là suy từ công thức Bretschneider tính diện tích của một tứ giác lồi bất kỳ. Với các cạch có chiều dài cho sẵn, tứ giác với diện tích lớn nhất có 4 đỉnh nằm trên đường tròn ngoại tiếp.
    http://en.wikipedia.org/wiki/Bretschneider%27s_formula

    -Chứng minh 2 cạnh của 2 tam giác con ngoài cùng, tương ứng với 2 cạnh bánh, fải bằng nhau. Điều này dễ suy từ tập hợp của các điểm nhìn một đoạn thẳng cho trước dưới 1 góc không đổi là đường tròn đi qua 2 đẩu đoạn thẳng ấy. Diện tích tam giác tạo bởi một điểm bất kỳ trên đường tròn này và 2 đẩu đoạn thẳng lớn nhất khi là tam giác cân.

    Từ những lập luận ở trên, có thể đi đến kết luận là đường cắt lồi, đối xứng. Để chứng minh đường cắt sẽ là cung tròn có tâm là đỉnh bánh, ta lại chia miếng bánh ở đỉnh cắt được làm đôi. Như vậy ta sẽ có 2 miếng bánh con có diện tích bằng nhau (và bằng ¼ miếng bánh ban đầu) và 2 đường cắt con có chiều dài bằng ½ đường cắt ban đầu. Lại lập luận tương tự như trên cho mỗi nửa miếng bánh con, ta sẽ đi đến kết luận là mỗi nửa cũng phải lồi và đối xứng. Cứ như vậy nếu N tiến đến vô hạn thì suy ra miếng cắt ban đầu phải là cung tròn nhận tâm ở đỉnh bánh.

    Trong trường hợp 3 chiều, góc khá nhọn, thì mặt cắt nhỏ nhất là mặt trụ chứ không phải mặt cầu.

    • Nếu góc ở đỉnh là 2\pi/n, và n chẵn, thì có thể làm cho lời giải bao quát cả trường hợp 2 cạnh cắt khác nhau: chỉ cần khi gép các miếng bánh lại thành cái bánh nguyên, cách 1 miếng ta lại lật 1 miếng (mặt trên thành mặt dưới).

      • Kính chào giáo sư Đàm Thanh Sơn.Tôi làm việc tại Trung ương Đoàn TNCS Hồ CHí Minh, tới đây cơ quan có một số thông tin muốn trao đổi với Giáo sư.Mong Giáo sư cho tôi địa chỉ email để tiện liên lạc. Tôi xin cảm ơn Giáo sư !

      • Cám ơn anh. Tôi hết tuổi Đoàn đã lâu. Nếu anh thắc mắc gì về vật lý thì tôi sẽ cố gắng giải đáp ở blog này.

  16. Em chưa thấy được nó là ngắn nhất (dù không tìm được cái ngắn hơn)

  17. Chưa phải ngắn nhất giáo sư ạ, nếu n=2 hoặc bằng 4 nhé
    Bạn già của giáo sư có thể hồ đồ chăng ?

  18. Em nghĩ lời giải của anh Sơn có thể sửa lại để đúng cho mọi trường hợp.
    1. Để khắc phục trường hợp 2 cạnh cắt có độ dài không bằng nhau ta ghép đối xứng.
    2. Như vậy lời giải của anh Sơn đúng khi góc bánh bằng $2\pi / 2n$.
    3. Để dễ hình dung ta xét trường hợp góc bành bằng $2 \pi / n$. Ví dụ
    $2\pi /7$. Nếu dùng 7 miếng bánh thì tạo thành 1 hình tròn nhưng đường cắt không khép kín. Nhưng nếu dùng 14 miếng ghép liên tiếp 7 miếng sau đặt lên trên 7 miếng đầu thì sẽ tạo ra 2 bánh tròn. Điểm đầu của bánh dưới “trùng” với điểm cuối của bánh trên (nếu chiếu xuống). Tưởng tượng miếng bánh rất mỏng, như 2 tờ giấy (để dễ trình bày). Ta cắt và gián 2 tờ giấy tại “cạnh” đầu miếng bánh 1 với cạnh cuối của miếng bánh 14. Khi đó ta sẽ cắt thành 2 phần rời nhau. Xong!
    4. Nếu góc bánh là $2\pi a/b$ thì làm như trên: dùng 2b miếng bánh để tạo ra 2a bánh tròn.
    5. Nếu góc bánh là $2\pi \alpha$ với $\alpha$ là số vô tỉ thì ghép liên tiếp. Sử dụng tính chất của liên phân số (continued fraction) sẽ giải được bài toán.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s